三角形三边关系.docx
- 文档编号:16201718
- 上传时间:2023-07-11
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:311.43KB
三角形三边关系.docx
《三角形三边关系.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形三边关系.docx(21页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
三角形三边关系
三角形三边关系
1.三角形按边进行分类:
(1)三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形。
(2)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边都叫做腰,另外一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。
(3)三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.三角形按角分类
3.三角形三边关系
(1)三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边,
三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
(2)判断三条线段能否组成三角形
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段,便可构成三角形;若不满足,则不能构成三角形.
4.三角形内角及内角和
三角形三个内角的和等于180︒;
【例1】
1.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( )
A.3,8,4B.4,9,6C.15,20,8D.9,15,8
2.(2012•长沙)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形,那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是( )
A.1,3,5B.1,2,3C.2,3,4D.3,4,5
【例2】1.(2011•河北)已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为
2.(2010•自贡)为估计池塘两岸A、B间的距离,杨阳在池塘一侧选取了一点P,测得PA=16m,PB=12m,那么AB间的距离不可能是( )
A.5mB.15mC.20mD.28m
3.若三角形的三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是
4.(2010•台湾)如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝的距离之最大值为何( )
A.5B.6C.7D.10
5.△ABC中,已知AB=AC=x,BC=6,则腰长x的取值范围
【例3】1.下列各项中,给出的三条线段不能组成三角形的是( )
A.a+1,a+3,a+2(a>0)B.三边之比为5:
6:
10
C.30cm,8cm,10cmD.a=2m,b=3m.c=5m-1(m>1)
2.如果x,y,z分别是三角形的三条边,那么下列结论错误的是()
A.x+y>zB.x-y
3.设a,b,c为三角形的三边,化简|a+b-c|+|a-b-c|.
4.若以正整数a,b,c为三边长的三角形,其中两边长a,b同时满足等(2a-62+|7/2-b/2|=0,则这样的三角形的周长最小值
作业:
1.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.7,8,1B.10,10,1C.4,6,1D.7,15,7
2.一个三角形的三边长分别为4,7,x,若x为正整数,则这样的三角形个数为.
3.
(1)已知三角形的三边长分别为4,5,x+1,则x不可能是( )
A.3B.5C.7D.9
4.已知三角形的两边的长分别为2cm和7cm,第三边的长为ccm,则c的取值范围是
5.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则第三边长是
6..已知a、b、c满足
(1)求a、b、c的值;
(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形?
若能构成三角形,请求出三角形的周长,若不能,请说明理由.
【例4】1.在
中,
,则
_____________;
2.(2012•肇庆)如图,已知D、E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=40°,则∠A的度数为
3.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,a∥b,∠1=50°,∠2=60°,则∠3的度数为
4.如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=25°,∠COD=80°,则∠C=
【例5】1.三角形三个内角的比为2:
3:
4,则最大的内角是度
2.△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则它们的相应邻补角的比为______
3.在△ABC中,∠A=100°,∠B=3∠C,则∠B=度.
4.在
中,
(1)
,则
_____________;
(2)
,则
_____________;
(3)
,
,则
_____________.
(4)△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则它们的相应邻补角的比为______.
【例6】已知:
如图,DE⊥AB,∠A=25°,∠D=45°,则∠ACB=______.
作业:
1.在
中,
,
,则
_____________.
2.如图,AB∥CD,∠A=48°,∠C=22°.则∠E等于
3.小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上,测得∠α=120°,则∠β的度数是
4.△ABC中,
(1)若∠A+∠C=2∠B,则∠B=______.
(2)△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则∠A=______,∠B=______,∠C=______.
(3)若∠B-∠A=15°,∠C-∠B=60°,则∠A=∠B=∠C=
5.已知:
如图,△ABC中,∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,则∠A=______
三角形的高、中线与角平分线
知识点:
(1)角平分线:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
(2)中线:
连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.
三角形的中线把原三角形分成面积相等的两个三角形。
(3)高:
从三角形的一个顶点向它的对边(或其延长线)引垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
【例1】1.分别画出△ABC的三条高、中线和角平分线AD、BE、CF.
2.如图,根据图形填空:
(1)AD是△ABC中∠BAC的角平分线,则∠==∠=
∠
(2)AE是△ABC中线,则==
(3)AF是△ABC的高,则∠==∠=90°
3.下列说法中错误的是( )
A.三角形三条角平分线都在三角形的内部
B.三角形三条中线都在三角形的内部
C.三角形三条高都在三角形的内部
D.三角形三条高至少有一条在三角形的内部
4.三角形的三条高所在的直线相交于一点,这个交点的位置在( )
A.三角形内B.三角形外
C.三角形边上D.要根据三角形的形状才能定
5.下面四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是( )
A.
B.
C.
D.
【例2】1.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为
2.如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,若∠BAC=128°,∠C=36°,则∠DAE的度数是
3.如图所示,CD是△ABC的中线,AC=9cm,BC=3cm,那么△ACD和△BCD的周长差是
cm
4.已知:
△AB3.已知:
如图,O是△ABC内一点,且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB.
(1)若∠A=46°,求∠BOC;
(2)若∠A=n°,求∠BOC;
(3)若∠BOC=148°,利用第
(2)题的结论求∠A.
作业:
1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC且与BC相交于点D,∠B=40°,
∠BAD=30°,则∠C的度数是
2.如图所示,BD是△ABC的中线,AD=2,AB+BC=5,则△ABC的周长是
3.如图,在等腰
中,
,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.
4.已知:
如图,在
中,
,BD、CE分别是边AC、AB上的高,BD、CE相交于H,求
的度数.
5.在ΔABC中,∠B=340,∠ACB=1040,AD平分∠BAC,AE为BC边上的高,则∠DAE=。
6.在ΔABC中,∠B=490,∠C=560,求∠A的平分线与BC边上的高所夹的角的度数。
7.已知:
△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分,求此三角形各边的长.
命题与证明
1.命题
【例1】1.下列句子中,不是命题的是()
A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;
C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.
2.下列命题是真命题的是()
A.若
=
,则
=
B.若
=
,则2-3
﹥2-3
C.若
=2,则
=±
D.若
=8,则
=±2
3.下列命题:
①正多边形都是轴对称图形;②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况;③方程
的解是
;④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等.其中真命题的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【例2】写出下列命题的条件和结论及逆命题。
(1)同旁内角互补,两直线平行;
(2)对顶角相等。
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形
作业:
1.下列语句中不是命题的是()
A.延长线段AB;B.自然数也是整数
C.两个锐角的和一定是直角;D.同角的余角相等
2.下列命题中,为真命题的是( )
A.对顶角相等B.同位角相等
C.若a2=b2,则a=bD.若a>b,则-2a>-2b
3.下面给出的四个命题中,假命题是( )
A.如果a=3,那么|a|=3B.如果x2=4,那么x=±2
C.如果(a-1)(a+2)=0,那么a-1=0或a+2=0
D.如果(a-1)2+(b+2)2=0,那么a=1或b=-2
4.下列命题中正确的是()
A.因为2的平方是4,所以4的平方根是2;
B.因为-4的平方是16,所以16的负的平方根是-4;
C.因为任何数的平方都是正数,所以任何数的平方根都是正数;
D.任何数的算术平方根都是正数.
5.写出下列命题的条件和结论及逆命题。
(1)平行于同一条直线的两条直线平行;
(2)两角相等的三角形是等腰三角形
(3)全等三角形的对应角相等
2.举反例
【例1】1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或
等于60°”时,首先应假设这个三角形中( )
A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°
C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°
2.试用举反例的方法说明下列命题是假命题.
举例:
如果ab<0,那么a+b<0,
反例:
设a=4,b=-3,ab=4×(-3)=-12<0,而a+b=4+(-3)=1>0,
所以,这个命题是假命题.
(1)如果a+b>0,那么ab>0;反例:
(2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数.反例:
作业:
1.判断下列命题的真假,若是假命题,举出反例.
(1)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等;
(2)若ab=0,则a+b=0
2.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是( )
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
3.证明
【例1】完成以下证明,并在括号内填写理由:
已知:
如图所示,∠1=∠2,∠A=∠3.
求证:
AC∥DE.
证明:
因为∠1=∠2( ),所以AB∥___( ).
所以∠A=∠4( ).
又因为∠A=∠3( ),所以∠3=( ).
所以AC∥DE( ).
【例2】证明:
两条平行线被第三条直线所截,一组同位角的平分线平行。
【例3】如图,已知DE∥BC,FG∥CD,求证:
∠CDE=∠BGF.
练习:
1.如图,已知∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,求证AB∥OE∥CD.
2.如图,AB//DE,∠B=130°,∠D=140°,则∠C的度数是
4.三角形的外角
1.定义:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做。
2.性质:
(1)三角形的一个外角与它互补。
(2)三角形的一个外角等于。
(3)三角形的一个外角任何一个与它不相邻的内角。
(4)外角和定理:
三角形的外角和是.
【例1】1.(2013•遵义)如图,直线l1∥l2,若∠1=140°,∠2=70°,则∠3的度数是
2.将一副三角板按图1中方式叠放,则角α等于
图1
图2
图3
3.已知如图2,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于
4.(2013•湘西州)如图3,一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板,拼成如下图形,其中∠C=90°,∠B=45°,∠E=30°,则∠BFD的度数是
【例2】1.下图能说明∠1>∠2的是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图,∠1、∠2、∠3的大小关系为
3.如图,在ΔABC中,DE//BC,F是AB上一点,FE的延长线交BC的延长线于G点,求证:
∠EGH>∠ADE
4.如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D点,E为AD上一点,试问∠CED和∠B的大小关系如何。
【例3】如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线和外角∠ACD的角平分线相交于点E,如果已知∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的大小?
【例3】
(1)如图所示,已知△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.试说明
∠BOC=90°+
∠A;
(2)如图所示,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线.试说明∠D=90°-
∠A;
(3)如图所示,已知BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC外角∠ACE的平分线,且与BD交于点D,试说明∠A=2∠D.
【例4】(2010•玉溪)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
(1)如图a,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D,得∠BPD=∠B-∠D.将点P移到AB、CD内部,如图b,以上结论是否成立?
若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?
请证明你的结论;
(2)在图b中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图c,则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系?
(不需证明)
(3)根据
(2)的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
作业:
1.如图1,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数等于
图1
图2
图3
2.如图2,将一等边三角形剪去一个角后,∠1+∠2等于
3.如图3,直线a∥b,直线AC分别交a、b于点B、C,直线AD交a于点D.若∠1=20°,∠2=65°,则∠3=
图4
图5
图6
4.如图4,直线AB∥CD,EF⊥CD,F为垂足.如果∠GEF=20°,那么∠1的度数是
5.如图5,已知∠1=100°,∠2=140°,那么∠3=
6.如图6,∠1=
7.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E,∠A=45°,∠BDC=60°,求∠BED的度数.
8.如图,已知∠DAB+∠D=180°,AC平分∠A,且∠CAD=25°,∠B=95°
(1)求∠DCA的度数;
(2)求∠ACE的度数.
9.如图,△ABC中,∠A=40°,∠B=72°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE交CE于F,求∠CDF的度数
10.探究与发现:
探究一:
我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?
已知:
如图1,∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角,试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系.
探究二:
三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系?
已知:
如图2,在△ADC中,DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD,试探究∠P与∠A的数量关系.
探究三:
若将△ADC改为任意四边形ABCD呢?
已知:
如图3,在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系.
探究四:
若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF(图4)呢?
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系:
11.如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 三角形 三边 关系