量子力学习题及答案.docx
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量子力学习题及答案
量子力学习题及答案
【篇一:
量子力学习题及解答】
>第二章波函数和薛定谔方程
2.3一粒子在一维势场
?
?
,x?
0u(x)?
?
?
0,
0?
x?
a?
?
?
,x?
a中运动,求粒子的能级和对应的波函数。
解:
u(x)与t无关,是定态问题。
其定态s—方程2
?
?
d
22mdx
2
?
(x)?
u(x)?
(x)?
e?
(x)
在各区域的具体形式为Ⅰ:
x?
0?
?
2
d
22mdx2
?
1(x)?
u(x)?
1(x)?
e?
1(x)2Ⅱ:
0?
x?
a?
?
2
d
2mdx2
?
2(x)?
e?
2(x)2Ⅲ:
x?
a?
?
2
d
2mdx
2
?
3(x)?
u(x)?
3(x)?
e?
3(x)由于
(1)、(3)方程中,由于u(x)?
?
,要等式成立,必须
?
1(x)?
0?
2(x)?
0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程
(2)可变为d2
?
2(x)dx
2
?
2me?
2
?
2(x)?
0
令k2?
2me?
2
,得
d2
?
2(x)dx
2?
k2
?
2(x)?
0
①
②
③
1
其解为?
2(x)?
asinkx?
bcoskx④根据波函数的标准条件确定系数a,b,由连续性条件,得?
2(0)?
?
1(0)⑤
?
2(a)?
?
3(a)⑥
⑤?
b?
0
?
asinka?
0⑥
?
a?
0?
sinka?
0
?
ka?
n?
(n?
1,2,3,?
)
∴?
n?
2(x)?
asina
x
由归一化条件
?
(x)2
dx?
1
?
a
得a
2
?
sin
2
n?
a
xdx?
1
a
由
?
m?
?
ab
sin
a
x?
sin
na
xdx?
2
mn
?
a?
2
a
?
?
2
2(x)?
n?
asiax?
k2?
2me?
2
2
2?
e?
?
2
n?
2ma
2
n(n?
1,2,3,?
)可见e是量子化的。
对应于en的归一化的定态波函数为
?
2?
t)?
?
?
asinn?
a
xe?
i
e?
nt,0?
x?
an(x?
?
0,x?
a,x?
a#
2.4.证明(2.6-14)式中的归一化常数是a?
?
1a
2
证:
?
n
n?
?
?
asin(x?
a),?
a?
?
?
0,?
x?
ax?
a
(2.6-14)
由归一化,得
1?
?
22
n?
?
2n
dx?
?
a
?
a
a?
sina
(x?
a)dx
?
a?
2
?
a
1n?
?
a
2
[1?
cosa
(x?
a)]dxa
?
a?
2
a?
2
a
n?
2
x
?
2
?
?
a
cosa(x?
a)dx
?
a
2
?
2
a?
a?
?
a
n?
a
?
a2
n?
sina
(x?
a)
?
a
?
a?
2
a
∴归一化常数a?
?
1#
a
2.7一粒子在一维势阱中
?
u(x)?
?
u0?
0,x
?
a?
?
?
0
x?
a
运动,求束缚态(0?
e?
u0)的能级所满足的方程。
解法四:
(最简方法-平移坐标轴法)2
Ⅰ:
?
?
2?
?
1
?
2
2?
?
?
2
?
2
2?
?
?
3
?
?
u0?
3
3
?
2?
(u?
?
0?
e)1?
?
?
?
1?
0?
?
2
?
?
?
?
?
2?
?
2?
e?
2?
0?
?
2
?
?
?
?
?
3?
?
2?
(u0?
e)
?
2
?
3?
0?
?
20
(1)k22
1?
?
?
k1?
1?
1?
2?
(u0?
e)?
?
?
?
?
2?
?
k22?
2?
0
(2)k22?
2?
e?
2
束缚态0<e<u0?
?
?
?
3?
?
k2
1?
3?
0(3)?
1x
1?
ae
?
k?
be
?
k1x
?
2?
csink2x?
dcosk2x
?
3
?
ee
?
k1x
?
fe
?
k1x
?
1(?
?
)有限?
b?
0?
3(?
)有限?
e?
0
因此k1x
?
?
1?
ae?
3
?
fe
?
k
1x
由波函数的连续性,有
?
1(0)?
?
2(0),?
a?
d(4)
?
1?
(0)?
?
?
2
(0),?
k1a?
k2c(5)?
?
(2a)?
?
1a
3?
(2a),?
k2ccos2k2a?
k2dsin2k2a?
?
k?
2k2
1fe(6)
?
1a
2(2a)?
?
3(2a),?
csin2k2a?
dcos2k2a?
fe
?
2k(7)
(7)代入(6)
csin2kk22a?
dcos2k2a?
?
kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5),得
k1k2kasin2k2a?
acos2k2a?
?
acos2k2a?
2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?
2k)sin2k2a?
2cos2k2a]?
0
1?
a?
0
?
(
k1?
k2k)sin2k2a?
2cos2k2a?
0
2
k1
两边乘上(?
k1k2)即得
(k2
2
2?
k1)sin2k2a?
2k1k2cos2k2a?
0
4
#
2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
?
?
x?
0,?
u(x)?
?
u0?
0,
?
x?
a,?
?
u1,a?
x?
b,
?
?
0,b?
x,求束缚态的能级所满足的方程。
解:
势能曲线如图示,分成四个区域求解。
定态s-方程为2
?
?
d
22?
dx
2
?
(x)?
u(x)?
(x)?
e?
(x)
对各区域的具体形式为Ⅰ:
?
?
2
2?
?
1?
?
?
u(x)?
1?
e?
1(x?
0)
Ⅱ:
?
?
2
2?
?
?
2
?
?
u0?
2?
e?
2(0?
x?
a)Ⅲ:
?
?
2
2?
?
?
3
?
?
u1?
3?
e?
3(a?
x?
b)Ⅳ:
?
?
2
2?
?
?
4
?
?
0?
e?
4(b?
x)对于区域Ⅰ,u(x)?
?
,粒子不可能到达此区域,故?
1(x)?
0
而.?
?
?
?
2?
(u0?
e)
2
0?
2
?
2?
①
?
?
2?
(u1?
e)
3
?
?
?
2
?
3?
0②
?
?
2?
e4
?
?
?
2
?
4
?
0
对于束缚态来说,有?
u?
e?
0
∴?
?
?
?
k21?
2?
0k22?
(u0?
e)
2
1?
?
2
③
④5
【篇二:
量子力学习题集及答案】
xt>一、填空题
1.2.
设电子能量为4。
索末菲的量子化条件为(pdq?
nh),应用这量子化条件求得一维谐振子的能级en?
。
3.
德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的(电)子衍
?
?
射实验所证实,德布罗意关系(公式)为(e?
?
?
)和(p?
?
k。
?
?
?
r?
=(三维空间自由粒子的归一化波函数为?
p
p?
r1?
e),3/2
(2?
?
)
i?
?
?
4.
?
5.
?
?
?
?
?
?
?
r?
d?
?
(?
(p?
?
p))。
?
?
?
pp?
?
r?
p?
r?
1*?
?
?
(r)?
(r)d?
?
e),?
?
p?
p?
(2?
?
)3/2
?
i?
?
?
?
?
?
?
?
(r)?
动量算符的归一化本征态?
p(?
?
(?
(p?
?
p))。
6.
t=0时体系的状态为?
?
x,0?
?
?
0?
x?
?
2?
2?
x?
,其中?
n?
x?
为一维线性谐振子的定态波函数,则?
?
x,t?
?
(?
0(x)e
i
?
?
t2
?
2?
2(x)e
5i?
?
t2
2
)。
7
.按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w=),几率流密度=
i?
。
?
*?
?
?
?
?
?
*)
2?
?
2?
?
?
的设?
(r)描写粒子的状态,(r)是(),在?
(r)中f
?
?
dx?
*?
dx)平均值为=(?
*f。
(
8.
?
?
?
?
9.
波函数?
和c?
是描写(同一)状态,?
ei?
中的ei?
称为(相因子),
ei?
不影响波函数?
i?
?
1)。
10.11.
定态是指(能量具有确定值)的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为
零)的状态。
ee
?
(x,t)?
?
1(x)exp(?
i1t)?
?
2(x)exp(?
i2t)是定态的条件是
?
?
(e1?
e2),这时几率密度和()都与时间无关。
(粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象)称为隧道效应。
(无穷远处波函数为零)的状态称为束缚态,其能量一般为(分立)谱。
3.t=0时体系的状态为?
?
x,0?
?
?
0?
x?
?
?
3?
x?
,其中?
n?
x?
为一维线性谐振
12.13.14.
15.
?
?
3(x)e子的定态波函数,则?
?
x,t?
?
(0(x)e。
粒子处在0?
x?
a的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为
i?
?
t2
?
7i?
t2
2?
2?
2?
2
x)()
。
2
a?
a
16.基态是指(能量最低)的状态,写出一维线性谐振子的基态波函数:
(n0e?
?
22
x/2
)。
17.
3
一维线性谐振子的第一激发态的能量为(?
?
)、第一激发态的波函数
2
为(n12?
xe?
?
18.19.20.21.22.
22
x/2
)。
(对应于同一本征值的本征函数的数目)称为简并度,不考虑电子自旋
时,氢原子的第n个能级的简并度为(n2)。
一维无限深势阱第n个能级的简并度为
(1),不考虑电子自旋时,氢原
2
子的第n个能级的简并度为(n)。
一维线性谐振子第n个能级的简并度为
(1),考虑电子自旋以后,氢原
2
子的第n个能级的简并度为(2n)。
氢原子的状态为r32(r)y21(?
?
),角动量平方是2、角动量z分量。
?
的定义是:
对于两任意函数?
和?
等式厄密算符f
?
?
dx?
(f?
?
)*?
dx)成立。
(?
?
*f?
23.24.
25.26.
27.28.
力学量算符的本征值必为(实数),力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必(相互正交)。
力学量算符的属于(不同本征值)的本征函数必相互(正交)。
量子力学中,力学量算符都是(厄米)算符,力学量算符的本征函数组成(完全)系。
?
z=算符在其自身表象中的矩阵为(对角)矩阵,例如在?
z表象中?
?
10?
(?
。
?
0?
1?
?
)
?
?
?
]=0,?
存在组成?
,g?
,g?
2,l?
的如果[f则f(完全)系的共同本征态,l
z
共同本征态是(ylm(?
?
))。
?
存在有组成(完全)系的共同本征态,则[f?
]=(0)?
,g?
,g如果f,
?
2,l?
的共同本征态是(y(?
?
))l。
lmz
29.30.31.32.
对易子[
dx
?
l?
]?
(?
i?
l?
),[l。
e]?
xyxz
dx
?
l?
]?
(i?
l?
)?
y]?
?
x]?
[x,p,[x,p,[l。
xyz
d?
x
?
y]?
?
x]?
()。
[y,p,[y,p。
e]?
?
xdx
,x和px的测不准关系是[
?
2(?
x?
?
p?
)。
4
____
2
____
2x
33.在一维情况下,若粒子处于状态?
(x,t)中,则在动量表象中的波函数为
?
?
c(p,t)?
(?
?
(x,t)e
?
?
i?
px?
dx)。
34.
35.
36.37.38.39.40.
?
的本征态?
(x)的迭加态?
(x)?
3?
(x)?
4?
(x)一维线性谐振子处在hn24
55
-4/5,0,…))。
斯特恩—革拉赫证实电子具有(自旋)角动量,它在任何方向上投影只
?
?
能取两个值()和(?
)。
22
?
?
?
?
?
?
?
x?
?
y?
?
?
y?
?
x=(2i?
?
z)?
,s?
s=。
?
2,l?
]=(0)?
x?
?
y?
?
?
y?
?
x=()?
,[l。
z
?
cos?
?
?
?
s在sz表象中,粒子处在自旋态?
?
?
中,=(。
cos2?
)z?
sin?
?
2?
?
?
cos?
?
在?
z表象中,粒子处在自旋态?
?
?
。
?
sin?
?
?
中,?
x=?
?
?
?
01?
2?
1?
?
?
?
?
?
s?
?
,则在状态中,=()。
x?
?
?
?
2?
1?
2?
10?
2
41.全同性原理的内容是:
(在全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换
不引起物理状态的改变)。
42.泡里原理的内容是:
(不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态)。
43.描写电子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而电子体系的自
旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
44.电子是(费密)子,服从(费密-狄拉克)统计,描写电子体系的波
函数只能是(反对称)波函数。
45.描写玻色子体系的波函数只能是(对称)波函数,而玻色子体系的自旋
波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
46.描写费密子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而费密子体系的自
旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
47.光子是(玻色)子,服从(玻色-爱因斯坦)统计,描写光子体系的
波函数只能是(对称)波函数。
――――――――――――――――――――――――――――――
在sz表象中,sx?
二、计算、证明题
?
0,0?
x?
a
1.粒子在一维势场u(x)?
?
中运动,试从薛定谔方程出发求出
?
?
x?
a,x?
0?
粒子的定态能级和归一化波函数.
解:
当x?
0,x?
a,u?
?
?
(0)?
0
22?
d?
?
?
e?
?
?
?
?
e?
.当0?
x?
a,h22?
dx
2?
ed22
令k?
得?
?
k?
?
022
?
dx
?
(x)?
c1sinkx?
c2coskx
?
?
(0)?
0,?
c2?
0,?
(r)?
c1sinkx?
?
(a)?
0,?
sinax?
0,ak?
n?
(n?
1,2,3,?
)
n?
n2?
2?
2
?
(x)?
csinx,en?
1
a2?
a2
a
2
(n?
1,2,?
)
?
nd?
?
1?
c1?
2
a
2.一粒子在一维势场u?
x?
?
1
?
?
2x2?
bx中运动,试求粒子的能级和归一化定态2
波函数(准确解)。
解:
22222
?
d1bb?
d12222?
?
?
?
?
?
(x?
)?
h?
?
?
x?
bx?
?
2?
dx222?
dx22?
?
22?
?
2
d2d2
令x?
?
x?
则2?
22
?
?
dxdx?
b
?
2d21b222
h?
?
?
?
?
?
x?
?
2?
dx222?
?
2?
2d21b222
?
?
?
(?
?
x?
?
)?
?
e?
222?
dx22?
?
?
2d21b222?
?
?
?
?
x?
?
?
e?
?
e?
?
e?
2?
dx222?
?
2
?
x?
21
?
?
?
?
(n?
),?
n(x?
)?
nne2hn(?
x?
),en
21b2
?
?
?
?
(n?
)?
en,
22?
?
2
?
2
(n?
0,1,2,?
)
?
?
2?
b?
?
?
b
?
?
?
?
n(x)?
nnexp?
?
x?
h(?
x?
),(n?
0,1,2,?
)n2?
?
2?
2?
?
?
?
?
?
?
?
3.一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为
?
0,r?
r0;
u?
r?
?
?
?
?
?
r?
r0.
试从薛定谔方程出发求粒子在s态中的能级和定态波函数(不必归一化)。
1d22
(rf)}{提示:
在s态中?
f?
2
rdr
解:
当r?
r0,u?
?
?
(r)?
0
222?
?
d2?
?
?
e?
?
?
?
r?
?
?
e?
.?
?
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?
当r?
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2?
rdr
2?
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得(r?
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k(r?
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022
?
dr
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(r)?
(c1coskr?
c2sinkr)r
c
?
?
(0)有限,?
c1?
0,?
(r)?
2sinkr
r
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0,?
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0,r0k?
n?
(n?
1,2,3,?
)en?
n2?
2?
22?
r0
2
?
n(r)?
c2n?
si,rr0
(n?
1,2,?
)
?
u0?
0?
当0?
x?
a?
?
u0
4.粒子在一维势场u?
x?
?
?
中运动,试从薛定
?
?
当x?
0,x?
a?
谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。
解:
1.当x?
0,x?
a,u?
?
?
(0)?
0
22?
d?
?
?
e?
?
?
?
?
u0?
?
e?
.当0?
x?
a,h
2?
dx2
2(e?
u0)d22
令k?
得?
?
k?
?
022
?
dx
?
(x)?
c1sinkx?
c2coskx
?
?
(0)?
0,?
c2?
0,?
(r)?
c1sinkx?
?
(a)?
0,?
sinax?
0,ak?
n?
(n?
1,2,3,?
)
n?
n2?
2?
2
?
(x)?
csinx,en?
?
u,10
a2?
a2
a
2
(n?
1,2,?
)
?
nd?
?
1?
c1?
2
a
?
本征函数?
(x)的正交归一完全性,证明5.利用力学量算符fn
*?
本征值。
?
?
(x)dx?
?
c2式中,?
为f?
(x)f?
nnn?
n
解:
?
?
?
?
?
fnnn
?
?
?
cn?
n
n
**?
c?
(x)dxc?
nn?
?
m?
m(x)fm
n
*?
?
(x)dx?
?
?
(x)f
**=?
?
cmcn?
n?
?
m(x)?
n(x)dxm
n
*=?
?
cmcn?
n?
mnm
n
?
?
?
ncn
n
2
?
有一组共同本征态?
,?
和g?
和6.求证:
如果算符f而且?
n组成完全系,则算符fn?
对易。
g
?
?
?
?
?
解:
设fnnn
?
?
?
?
?
gnnn
任一波函数?
可展开为?
?
?
cn?
n
n
【篇三:
量子力学习题解答】
>第一章量子理论基础
1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律:
能量密度极大值所对应的波长?
m与温度t成反比,即
;?
mt=b(常量)
并近似计算b的数值,准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式
8?
hv3
?
vdv?
3?
c
1
hvkt
dv,
(1)
e?
1
以及?
v?
c,
(2)
?
vdv?
?
?
vd?
,(3)
有
dvd?
?
c?
d?
?
?
?
?
?
?
?
v(?
)
d?
?
(?
)?
v?
c
?
?
?
?
?
?
8?
hc?
5?
?
1e
hc?
kt
?
1
?
?
?
8?
hc
?
6
?
e
1
hc
?
kt
?
hc1?
?
5?
?
hc?
?
?
kt?
?
kt?
1?
1?
e?
?
?
0?
?
?
?
?
5?
hc
?
?
kt
?
hc?
kt
11?
e
?
hc?
kt
?
0
?
5(1?
e
如果令x=
)?
hc
?
kt
hc
,则上述方程为?
kt
5(1?
e?
x)?
x
这是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:
x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:
x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有
hc?
mt?
xk
把x以及三个物理常量代入到上式便知
?
mt?
2.9?
10?
3m?
k
这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1.2在0k附近,钠的价电子能量约为3ev,求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系,可知
e=hv,
hp?
?
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(e动?
?
?
ec2),那么
p2
e?
2?
e
如果我们考察的是相对性的光子,那么
e=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3ev,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即0.51?
106ev,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有
?
?
h
p
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