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qm07
致遠管理學院
工業管理學系
課程:
實驗設計
主講人:
林東成助理教授
時間:
2002/9/**~2003/1/**
參考資料
1.DouglasC.Montgomery,DesignandAnalysisofExperiments,5thEdition,JohnWiley&Sons,Inc.
2.黎正中譯,實驗設計與分析,高立圖書有限公司。
3.白賜清編著,工業實驗計劃法,中華民國品質學會發行。
4.吳玉印著,新版實驗計劃法,中興管理顧問發行。
5.陳耀茂譯,田口實驗計劃法,滄海書局。
6.吳柏林著,現代統計學,五南圖書出版公司。
7.陳順宇、鄭碧娥著,統計學,華泰書局。
8.王文中著,Excel於資料分析與統計學上的應用,博碩文化股份有限公司。
授課目錄
第1章簡介
第2章簡單比較性的實驗
第3章一因子實驗:
變異數分析
第4章隨機化集區,拉丁方陣,與相關設計
第5章因子設計簡介
第6章2k因子設計
第7章2k因子設計的集區劃分與交絡
第8章2水準部份因子設計
第9章3水準與混合水準因子和部份因子設計
第10章配適迴歸模式
第11章反應曲線法與其他製程最佳化法
第12章有隨機因子之因子實驗
第13章套層及分裂圖設計
第14章其他設計與分析題目
第7章2k因子設計的集區劃分與交絡
Chap7.BlockingandConfoundinginthe2kFactorialDesign
7-1簡介(Introduction)
有多種情況實驗者無法在均一的條件下進行2k因子實驗的所有試驗,如原料不足、或故意改變實驗條件,以確保處理於實際上可能遇到的狀況能一樣地有效(i.e.,即穩健的)。
此種情況用到的設計技巧是集區劃分(Blocking),本章集中於2k因子設計的一些特殊的集區劃分技巧。
7-2集區劃分一個反覆的2k因子設計
(BlockingaReplicated2kFactorialDesign)
假設2k因子設計反覆n次,此情況與第5章討論的完全相同,每一種不同的條件就是一個集區,而每個反覆就在集區內,在各個集區(或反覆)的試驗以隨機順序進行。
**************
範例7-1
考慮在6-2節所描述一反應濃度(ReactionConcentration)和觸媒量(Catalyst)對化學反應過(製)程合格率效果的研究。
假設單一批原料只容納4次試驗,所以,需要3批原料來進行3次反覆,其中每一原料批對應到一個集區,
SSblock=
Bi2/4-y2/12=6.50
由ANOVA分析,集區效果不顯著。
****************
7-32k因子設計的交絡(Confoundinginthe2kFactorialDesign)
許多情況是在一個集區裡進行一次完整的2k因子設計是不可能的。
交絡(Confounding)是一個設計技巧,可安排一個完整的因子實驗到數個集區,其中集區的大小是小於一次反覆中處理組合的個數,此技巧造成某些處理效果(通常指高階交互作用)的資訊成為無法區分於(In-distinguishablefrom)或交絡於(Confoundedwith)集區效果。
本章集中於2k因子設計的交絡系統。
7-42k因子設計交絡於2個集區
(Confoundingthe2kFactorialDesigninTwoBlocks)
假設進行一個未反覆的2k因子設計,22=4種處理組合均需要一些原料,而每一批原料只夠試驗2個處理組合,因此共需2批原料,倘將原料批視成集區,則須指訂4種處理組合中的2種到每一個集區裡。
(a)
幾何上視之
(b)置於2集區裡的4個試驗
圖7-12集區之2k因子設計
上圖(a)顯示相對對角的處理組合被安置到不同的集區,圖(b)視出集區1包含處理組合
(1)與ab、集區2包含處理組合a與b,當然,在集區裡處理組合的試驗順序是隨機決定的,且隨機決定集區順序。
則A與B的主效果(與似無發生集區般)為,
A=[ab+a-b-
(1)]/2
B=[ab+b-a-
(1)]/2
A與B均無受到集區劃分的影響,因為上式中各有來自每個集區的一個正的與一個負的處理組合,亦即,集區1與集區2之間的任何差異均被抵消矣。
續考慮AB交互作用效果
AB=[ab+
(1)-a-b]/2
因2個正號的處理組合[ab與
(1)]在集區1裡、而2個負號的處理組合[a與b]在集區2裡,集區效果與AB交互作用效果是完全相等的,亦即,AB是交絡於集區。
此理由可從2k設計的正負符號表明顯視出,
處理
組合
因子效果
A
B
AB
(1)
+
-
-
+
a
+
+
-
-
b
+
-
+
-
ab
+
+
+
+
這作法可用來交絡任何效果(A,B或AB)於集區。
如
(1)與b指訂到集區1及a與ab指訂到集區2,則A的主效果將被交絡於集區。
一般是將最高階交互作用效果交絡於集區。
上述作法可用來交絡任何2k設計於2個集區。
建構集區的其他方法
(OtherMethodsforConstructingtheBlocks)
此為利用線性組合,
L=1x1+2x2+…+kxk(7-1)
其中xi是出現在處理組合中第i個因子的水準,與i是要被交絡的效果中第i個因子的冪次(Exponent)。
對2k系統,i=0或1,及xi=0(低水準)或xi=1(高水準)。
式(7-1)稱之為定義對比(DefiningContrast),會產生相同L(Mod2)的可能值只有0與1,如此指訂2k個處理組合正好到2個集區裡。
茲考慮23設計而且交絡ABC於集區,在此x1對應A、x2對應B、x3對應C,與1=2=3=1,因此,對應於ABC的定義對比為,
L=x1+x2+x3
因此處理組合
(1)在(0,1)的符號表示下為000;所以,
L=1(0)+1(0)+1(0)=0=0(Mod2)
同理,處理組合a為100;所以,
L=1
(1)+1(0)+1(0)=1=1(Mod2)
故
(1)與a將分屬不同的集區。
對於其他的處理組合,
b:
L=1(0)+1
(1)+1(0)=1=1(Mod2)
ab:
L=1
(1)+1
(1)+1(0)=2=0(Mod2)
c:
L=1(0)+1(0)+1
(1)=1=1(Mod2)
ac:
L=1
(1)+1(0)+1
(1)=2=0(Mod2)
bc:
L=1(0)+1
(1)+1
(1)=2=0(Mod2)
abc:
L=1
(1)+1
(1)+1
(1)=3=1(Mod2)
所以,
(1),ab,ac,bc屬於集區1;a,b,c,abc屬於集區2,這與用正負符號表所產生的設計完全相同。
另一種建構這些設計的方法,包含處理組合
(1)的集區稱之為主集區(PrincipalBlock),在此集區裡的處理組合有一個很有用的群理論性質(Group-TheoreticProperty),即它們以乘法Mod2的運算而形成之一”群”(Group),此意謂著主集區內的任何元素[除
(1)外]可由主集區內任2個元素(處理組合)相乘法的Mod2得到,如ABC交絡之23設計在2個集區的主集區,
abac=a2bc=bc;abbc=ab2c=ac;
acbc=abc2=ab
因此主集區的元素為
(1),ab,ac,bc。
而另一集區,可由一個非主集區的元素(處理組合)乘以主集區的每一個元素Mod2產生。
其中,b是在另一集區裡,故另一集區的元素為,
b
(1)=b;bab=ab2=a;bac=abc;
bbc=b2c=c
其結果與先前得到的一致。
誤差的估計(EstimationofError)
當因子數目很小時(2k,LevelFactor),如k=2或3,通常有必要反覆實驗以獲得一個誤差估計值。
如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡,實驗者決定反覆設計4次,如下圖,
圖7-3反覆4次ABC被交絡之23設計
此設計總共32個觀測值和31個自由度,有8個集區即7個自由度,此7個自由度分解為A=B=C=AB=BC=AC=ABC=1,而誤差平方為反覆與因子效果(A,B,C,AB,AC,BC)之二者交互作用。
考慮視交互作用為零且將其均方作為誤差估計值的作法是成立的,此均方誤差可以檢定主效果與2-因子交互作用效果。
ANOVA---反覆4次且交絡ABC之23設計
變源
自由度
反覆
3
集區(ABC)
1
ABC的誤差(反覆集區)
3
A,B,C,AB,AC,BC各
1
誤差(反覆效果)
18
總和
31
倘實驗資源允許反覆的交絡設計,較佳方式是稍微以不同方式來設計各個反覆的集區,此方式包括在每個反覆中交絡不同的效果,使得所有的效果都能有一些資訊,此法稱之為部分交絡(PartialConfounding)。
倘k不算太小,即k4,且只一次反覆時,實驗者常假設高階交互作用效果是可忽略的,並將其平和合併為誤差。
範例7-2
回顧再續範例6-2,一個化學產品於一壓力槽內生產,在實驗工廠進行因子實驗來研究產品的過濾比率(FiltrationRate),4個因子為溫度(A)、壓力(B)、甲醛濃度(C)、與攪拌速度(D),各因子均有2水準,單次反覆。
有興趣於極大化過濾比率。
用此實驗來說明一個未反覆設計集區劃分與交絡的概念,假設24=16種處理組合無法利用一批原料進行所有的試驗,實驗者由一批原料可以試驗8個處理組合,所以一個24交絡於2個集區的設計是適當的,且交絡最高階交互作用效果(ABCD)於集區。
******************
假設二批原料中有一批的品質低劣,造成所有的反應值均比用另一批原料所得值低20,即原始反應值減去20,低劣品質原料是集區1與良好品質原料批為集區2。
計算結果,
◎4個主效果、6個2-因子交互作用效果、4個3-因子交互作用效果的估計值均與無集區效果的例6-2所得之效果估計值完全相同。
當劃出這些效果估計值的常態機率圖時,因子A、C、D與AC、AD交互作用為顯著重要效果。
◎ABCD交互作用效果的估計值原為1.375,但在此實驗其估計值為-18.625,因ABCD交絡於集區,ABCD交互作用效果的估計值是原1.375加上區集效果(-20),即ABCD=1.375+(-20)=-18.625。
集區效果亦可由二個集區平均反應差得之,即
集區效果=
=406/8–555/8=-18.625
所以,此效果真正估計=集區+ABCD
◎此實驗倘非以集區方式進行,且前8次試驗均減去20,則結果可能會非常不同。
7-52k因子設計交絡於4個集區
(Confoundingthe2kFactorialDesigninFourBlocks)
建構一個交絡於4個集區而每個集區有2k-2個觀測值的2k因子設計是有可能的,這種設計對於因子個數k4而集區大小卻相當小時特別有效。
茲考慮25設計,如每個集區只能容納8次試驗,則需要4個集區,選出2個效果交絡於集區,如ADE與BCE,此二個效果所對應之定義對比為,
L1=x1+x4+x5
L2=x2+x3+x5
則每一個處理組合會產生一個L1(Mod2)與L2(Mod2)的特定成對值,即(L1,L2)=(0,0),(0,1),(1,0),或(1,1),產生相同的(L1,L2)值的處理組合將被指訂至同一集區,如,
L1=0,L2=0
(1),ad,bc,abcd,ab,ace,cde,bde
L1=1,L2=0a,d,abc,bcd,be,abde,ce,acde
L1=0,L2=1b,abd,c,acd,abce,ae,bcde,de
L1=1,L2=1e,ade,bce,ab,abcde,bd,ac,cd
圖7-5交絡ADE,BCE與ABCD之4個集區之25設計
仔細思量,除了ADE與BCE外,尚有另一個效果被集區交絡,因4個集區有3個自由度,而ADE與BCE各有1個自由度,明顯地另有一個1個自由度的效果亦被交絡矣,此即ADE與BCE的廣義交互作用(GeneralizedInteraction),其定義為ADE與BCE的乘積Mod2,因此,ADE與BCE的廣義交互作用為(ADE)(BCE)=ABCDE2=ABCD,且亦交絡於集區。
注意,對某個特定集區裡的任何2個效果的符號相乘(e.g.,ADE與BCE)帶來該集區另一個效果的符號(即ABCD)。
因此,ADE,BCE與ABCD都是交絡於集區。
由25設計的正負符號,可知處理組合被指派至集區如下
處理組合在
ADE的符號
BCE的符號
ABCD的符號
集區1
-
-
+
集區2
+
-
-
集區3
-
+
-
集區4
+
+
+
在上節7-4中提及之主集區的群理論性質仍成立,主集區裡的2個處理組合的乘積產生主集區裡的另一個元素,亦即,如,
adbc=abcd;abebde=ab2de2=ad
要建構另一集區,則選一個不在主集區裡之處理組合(如b)與主集區裡的處理組合乘以b,則,
b
(1)=b;bad=abd;
bbc=c;babcd=acd
如此會產生集區3裡之8個處理組合。
實務上,主集區可以從定義對比與群理論性質得到,而其他集區之處理組合由上述方法決定。
建構一個4集區的2k設計的一般步驟:
◎選擇2效果與集區交絡,自然會有第3個效果(即是前2個的廣義交互作用)與集區交絡,
◎利用2個定義對比(L1,L2)與主集區的群理論性質來建構所要的設計,
◎在選擇交絡於集區之效果時務必謹慎,以免有興趣的效果被交絡。
犧牲3因子交互作用的資訊比犧牲2因子交互作用更合意
(ADE與BCEABCD;ABCDE與ABDCE)
7-62k因子設計交絡於2p個集區
(Confoundingthe2kFactorialDesignin2pBlocks)
上述方法可擴至建構一個交絡於2p(p 另外,恰有2p-p-1個其他效果亦被交絡,即初選之p個獨立效果的廣義交互作用,當然,選出p個獨立交絡效果時須謹慎,以免一些有興趣之效果被交絡矣。 這些設計之統計分析,即所有效果平方和的計算如無集區劃分般,而集區平方和則為被交絡效果平方和之和。 假設建構一個26設計而交絡在23=8個集區,且每個集區有8個試驗,茲選ABEF,ABCD,與ACE作為p=3個獨立將被集區交絡之效果,同時亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交絡,即這些為3個(ABEF,ABCD,與ACE)之廣義交互作用,則為, (ABEF)(ABCD)=A2B2CDEF=CDEF (ABEF)(ACE)=A2BCE2F=BCF (ABCD)(ACE)=A2BC2DE=BDE (ABEF)(ABCD)(ACE)=A3B2CDE2F=ADF 7-7部份交絡(PartialConfounding) 除非實驗者有一個誤差的事先估計值,或假設某些交互作用可忽略,否則必須反覆設計以得到一個誤差的估計值, 如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡,實驗者決定反覆設計4次,如下圖, 圖7-3反覆4次的ABC被交絡之23設計 由上圖(7-3)與其ANOVA表知,交互作用ABC的資訊是完全喪失,因每次反覆中ABC均與集區交絡,此稱之為完全交絡(CompletelyConfounded)。 圖7-6部份交絡之23設計 如上圖(7-6),仍是23因子實驗,反覆設計4次,但每次反覆所交絡的交互作用卻不一樣,如, ◎反覆1交絡ABC、反覆2交絡AB、反覆3交絡BC、反覆4交絡AC, ◎ABC的資訊可由反覆2,3,4資料得知、AB的資訊可由反覆1,3,4資料得知、AC的資訊可由反覆1,2,4資料得知、AC的資訊可由反覆1,2,3資料得知。 稱此可得到3/4資訊的交互作用,因為4次反覆中有3次反覆無被交絡,Yates(1937)稱比值3/4為交互作用的相對資訊(RelativeInformationfortheConfoundedEffect),此設計稱之為部分交絡(PartialConfounding)。 另其ANOVA表如下, ANOVA---反覆4次且比值3/4交絡之23設計 變源 自由度 反覆 3 反覆內的集區[或ABC(rep.1)+AB(rep.2)+BC(rep.3)+AC(rep.4)] 4 A,B,C各 1 AB(從反覆1,3,4) 1 AC(從反覆1,2,3) 1 BC(從反覆1,2,4) 1 ABC(從反覆2,3,4) 1 誤差 17 總和 31 *************** 範例7-3---一個部份交絡之23設計 考慮範例6-1,探討有關碳酸百分比(A)、操作壓力(B)、速度(C),對碳酸飲料充填高度影響之研究,假設每一批糖漿只能測試4種處理組合,因此,每一次23設計之反覆須在2個集區裡進行,計反覆2次,反覆 交絡ABC、反覆 交絡AB,其資料如下, 經ANOVA分析,三個主效果均顯著的。 **********************
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