中考数学压轴题精编甘肃篇试题及答案.docx
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中考数学压轴题精编甘肃篇试题及答案
中考数学压轴题精编一甘肃篇
83.(甘肃省兰州市)如图1已知矩形ABCD的顶点A与点0重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线y=—x2+bx+c经过坐标原点0和x轴上另一点E(4,0).
(1)当x取何值时,该抛物线有最大值,最大值是多少?
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(OWtw3),直线
AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
1
ME上,并说明理由;
当t=H时,判断点P是否在直线
4
2
5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可
以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为
83.解:
(1)v抛物线y=—x2+bx+c经过坐标原点0(0,0)和点E(4,0)
•••c=0,b=4
抛物线的解析式为y=—x2+4x1分
■/y=—x2+4x=—(x—2)2+4
•••当x=2时,该抛物线有最大值,最大值是42分
(2)①点P不在直线ME上
•••M(2,4),E(4,0),设直线ME的关系式为y=kx+b
4k+b=0k=—2
则解得
2k+b=4b=8
所以直线ME的关系式为y=—2x+83分
由已知条件易得,当t=11时,OA=AP=11
44
•P(耳,口)
44
.••当x=11时,y=—2x11+8=5工11
4424
•••当x=11时,点P不在直线ME上
4
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5
•••点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,•OA=AP=t
•••点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,—t2+4t)6分
•AN=—t2+4t(0WtW3)
AN—AP=(—t2+4t)—t=—t2+3t=t(3—t)>0
•••PN=-12+3t7分
(i)当PN=0,即卩t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形
的高为AD
11
•S=_DC-AD=-x3x2=3
22
(ii)当PN丰0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是梯形
•/PN//CD,AD丄CD
•••S=1(CD+PN)-AD=1(3-t2+3t)x2=-12+3t+38分
22
当—t2+3t+3=5时,解得t=1或t=29分
因为1、2都在0 当t=2时,N点的坐标为(2,4)11分 说明: (ii)中的关系式,当t=0和t=3时也适合(故在阅卷时没有(i),只有(ii)也可以,不扣分) 84.(甘肃省天水市、庆阳市、定西市、白银市、嘉峪关市等九市联考)如图,抛物线与x轴交于A(-1, 0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标; (2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗? 为什么? (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似? 若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 84.解: (1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c 由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c=-3 即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3 把A(-1,0)、B(3,0)代入,得 a-b-3=0 9a+3b-3=0 解得a=1,b=-2 •••抛物线的解析式为y=x2-2x-33分 •/y=x2-2x-3=(x-I)2-4 •顶点D的坐标为(1,-4)4分 (2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形5分 理由如下: 如图1,过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F 在Rt△BOC中,0B=OC=3,•BC2=186分 在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,•CD2=27分 在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,二BD2=208分 •BC2+CD2=CE2,「.ABCD为直角三角形9分 (3)如图2,连接AC,可知Rt△COAsRt△BCD,得符合条件的点为O(0,0) +4..3x-6.3 (3)能.设AP=x 85.解: (1)设AP=x,贝UBP=4-x •••/ACB=90°/A=30°AB=4,「.BC=2,/B=60°•/PE//Be,: /APE=ZB=60°/AEP=ZC=90 二PE=lx1分 2 •••ZBPD=90°/BDP=30°•••BD=2BP=8-2x •••CD=BD—BC=8-2x-2=6-2x2分 •••PE//CD,•当PE=CD时,四边形PEDC为平行四边形 112: 2x=6-2x,解得x=T 故此时AP的长为12 5 (2)当PD过直角顶点C时,EC=PE-tan30°=x--=-x 236 又EC=AC-AE=3(4-x),•3x="(4-x),解得x=3 262 i)如图1,当0Vx<3时,设PD与AC的交点为O,则动角和 △ABC重叠部分的图形为RtAPOE 111173x32 …y=—PE-OE=—•_x•_x-=——x 2222324 即y=x2(0vxw3) 24 ii)如图2,当3VxV4时,动角和AABC重叠部分的图形 为直角梯形PDCE •/DC=BC-BD=2-(8-2x)=2x-6 •y=1(DC+PE)-EC=i(2x-6+1x)-3(4-x)=-空x 222285J3- 即y=—^3x2+4-3x—6.3(3VxV4) 图4 8 若PD=ED,如图3,则/PED=ZDPE=30°/-ZEDC=30°DC=-^ED,•/2x-6=—■•.3(4-x) 22 解得x=249分 图5 7若PD=PE,如图4,则、3(4-x)=1x 2 解得x=488310分 11 若PE=DE,贝UPE2=DE2=DC2+EC2•/(1x)2=(2x-6)2+[三(4-x)]2 22 整理得: 3x2-20x+32=0,解得xi=4(舍去),X2=-(舍去) 311分 ii)当点D在BC延长线上时,如图5 •••ZPED>90°/若厶PED为等腰三角形,只能PE=DE •••ZPDE=ZDPE=30°/ZPED=120°/ZCED=30° 1 •DE=2CD,•——x=2[2((4-x)-2]2 解得x=812分 3 综上所述,当AP=24或4883或8时,△PED能成为等腰三角形 7113 2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,BC//x轴,点A在x轴上,点 86.(甘肃省张掖市)如图,抛物线y=ax C在y轴上,AB平分ZCAO,P是抛物线对称轴上的动点. (1)求该抛物线的解析式; (2)若P在x轴下方,且△PAB是直角三角形,求点P的坐标;(3)是否存在这样的点P,使得以坐标;若不存在,请说明理由. 令x=0,得y=4,•/C(0,4) 2 86.解: (1)在y=ax-5ax+4中, ••抛物线的对称轴为: x=5a=5,•/B(5,4) 2a2 又BC//x轴,AB平分/CAO,•••/CAB=ZBAO=ZCBA[来源: 学+科+网] •AC=BC=5 在Rt△CAO中,TAC=5,OC=4,•OA=3 •A(-3,0),代入y=ax2-5ax+4,得a=-- 6 •抛物线的解析式为y=——x2+—x+4 66 (2)t点P是抛物线对称轴上的动点,故可设P(-,m) 2 •/AB2=(-3-5)2+(4-0)2=80 若AB为直角边,则有(-3-5)2+m2+80=(5-5)2+(m-4) 22 解得: m=-11 或(—3-5)2+m2-80=(5-5)2+(m—4)2 22 解得: m=7(T点P在x轴下方,•m>0舍去) 5 •-P1(5,-11) 2 若AB为斜边,则有(—3-5)2+m2+(5—5)2+(m—4)2=80 22 解得: m=2+也](舍去)或m=2-^71 22 5c、71、 •P2(,2-) 22 (3)假设存在,设P(5,y) 2 ny A 6分 若点P在x轴上方,则ZBAO的角平分线与抛物线对称轴的交点即为 Pi点 设抛物线对称轴与 由A(-3,0), AB交于点D,与x轴交于点E B(5,4)可得直线的解析式为y=1x+3 22 •AE=3+5=11,AD=(11)2+(11)2=115,DP1=11-y 22.2444 PiE TAP1平分ZDAE,•P1E DR AE AD 11 即石J=^-,解得y 11y11^5 44 5115 •P1(,-11)… 22 若点P在x轴下方,则BA延长线与x轴夹角 11 的角平分线与抛物线对称轴的交点即为 P2点 易知AP2丄APi 10分 •••Rt△AP2ESRt△P1AE,「.变AEAE 87.(甘肃省甘南自治州)如图1,在RtAAOB中,OB=8,tan/OBA=3,若以O为坐标原点,OA所在 4 直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点C在x轴负半轴上,且OB=4OC,抛物线y=ax2+bx+ c经过A、B、C三点. (1)求该抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为D,求四边形OADB的面积; (3)如图2,动点P、Q同时从点O出发,其中点P以每秒2个长度单位的速度沿折线OAB按O~B的路线运动,点Q以每秒4个单位长度的速度沿折线按OfBtA的路线运动,当P、Q两点相遇时,它们都停止运动,设t秒时△OPQ的面积为S. 1 求S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围; 2 判断在①的过程中,时,△OPQ的面积最大,是多少? 3 •••OA=_OB=6,•A(6,0) 4 又0B=40C,「.OC=2,「.C(-2,0) 设该抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-6) 把B(0,-8)代入,得: -8=a(0+2)(0-6), 解得 •••该抛物线的解析式为 2 -(x+2)(x-6) 3 22 (2)ty=x-二x-8= 3 如图1,过 2(x-2)2-32,•D(2,-32) 333 3 D作DE丄x轴于E 32 DE=,AE=6-2=4 3 S四边形OADB=S梯形OEDB+SaaDE =丄X(8+32)X2+-X4X322323 =40 (3)①TAB2=OA2+OB2=62+82=100,•AB=10 设t秒时,P、Q两点相遇,则: 2t-6+4t-8=10,解得: t=4(s) 点P在OA上运动的时间为: 6十2=3(s) 点Q在OB上运动的时间为: 8-4=2(s) 当OWt<2时,如图2,点P在OA上,点Q在OB上, OP=2t,OQ=4t •S=-OP•OQ=-X2tX4t=4t2 22 即S关于t的函数关系式为: S=4t2(0WtW2) 当2vtW3时,如图3,点P在OA上,点Q在BA上, OP=2t,BQ=4t-8 过点Q作QF丄OB于F,由△QFBAOB得: FB844 即一^=—,•FB=4(4t-8),•OF=8-- 4t81055 (4t-8) 二S=】OP•OF=-x2tX[8-4(4t-8)]=-16『+72t 555 J iy Ja- p B V D 7分 图3 FB_OB BQ=BA 即S关于t的函数关系式为: S=-^t2+72t(2vt<3) 55 当3vtW4时,如图4,P、 PQ=AB-(AP+BQ)=10-(2t-6+4t-8)=24-6t △AOB的AB边上的高=6-^=24 105 •••S=-x(24-6t)x24=-72t+288 2555 即S关于t的函数关系式为: S=-Z? t+空8(3Vt<4)55 9分 ②当OWt<2时,S最大=4X22=16 当2vtW3时,S=-^t2+兰t=—(t-9)2+ 55545 当t=-时,S最大=聖 45 当3VtW4时, 72 S最大=——x3+ 288 5 72 5 81 5 12分
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