数列放缩大题及详细解析.docx
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数列放缩大题及详细解析
2015年度高二数学理科模拟考试卷
试卷副标题
1.(本小题满分14分)设数列{an}满足:
ai=1,an+i=3an,n€N.设Sn为数列{bn}的前n项和,已知b"0,2bn-b1=S?
S,n€N*.
(I)求数列{an},{bn}的通项公式;
(n)设Cn=bn?
logsan,求数列{cn}的前n项和Tn;
*1113
(川)证明:
对任意n€N且n>2,有+++v—.
a2b2asbsa.bn2
2.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且ai2@8,as24,
{an12an}为等比数列.
(I)求证:
{》}是等差数列;
1一
(n)求的取值范围.
Sn
3.(本小题满分14分)已知Sn为数列an的前n项和,S.nan3n(n1)(nN*),
且a211.
(1)求a1的值;
(2)求数列an的前n项和Sn;
(3)设数列{bn}满足bn/—,求证:
b1b2Lbn2~2.
VSn3
4.(本小题满分12分)已知数列{an}是等比数列,首项a11,公比q0,其前n项和为Sn,且Sa1,S3a3,S>a2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足an1(^)anbn,Tn为数列{g}的前n项和,若Tnm恒成立,
2
求m的最大值.
5.(本小题满分16分)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足
an+12=4Sn+4n3,且a2,a5,ai4恰好是等比数列bn的
前三项.
(1)求数列an、bn的通项公式;
*3
6恒成立,
(2)记数列bn的前n项和为Tn,若对任意的nN,仃n—)k3n
2
求实数k的取值范围.
6•已知数列an满足an0,a1
1
an1an
3
2anan1n2,n
(1)求证:
是等差数列;
(2)证明:
日2a22an2-
4
7.(本小题满分
14分)已知数列
an的前n项之和为Sn(n
),且满足
anSn2n1.
(1)求证:
数列
an2是等比数列,并求数列
an的通项公式;
(2)求证:
2a1a?
1
2a?
a3
1
n
2anan1
参考答案
1.(I)&=3n-1.bn=2n-1.(H)Tn=(n-2)2n+2.(川)见解析
【解析】
试题分析:
(I)由已知{an}是公比为3,首项a1=1的等比数列;
讨论知,{bn}是公比为2,首项bi=1的等比数列•得到它们通项公式.
(H)已有Cn=bn?
log3an=2n-1log33n-1=(n-1)2n-",故利用"错位相减法”求和
(川)由
anbn
n2n2、
2(32)
故可利用
“放缩法”
1
+++v
a2b2a3b3an
bn
111
+++—
30313"2
1、
歼)v
3
2.
•an+1=3an,—{an}是公比为3,
n-1
=3(1-
2
试题解析:
(I)
•••通项公式为an=3"'.2
•/2bn-b1=S?
Sn,.・.当n=1时,2b1-b1=S?
S,
S1=b1,b1丰0,•b1=1.3
••当n>1时,bn=Si—S-1=2bn—2bn-1,.•bn=2bn
•{b"}是公比为2,首项b1=1•通项公式为bn=2"-1.
(H)Cn=bn?
log3an=2"1log33"Tn=0?
20+1?
21+2?
22++(n—2)2'2Tn=0?
2+1?
2+2?
2++(n—2)2"'+(n—1)2①-②得:
-Tn=0?
20+21+22+23++2"-1—(n—1)2=2"—2—(n-1)2"=—2—(n—2)2"
n
•Tn=(n—2)2+2.
的等比数列,
一1n
=(n-1)2
-2
+(n-1)2
-n-1,.
5
-1
-1
10
首项
(川)—
an
a1=1的等比数列,
分
=1=1
b"=3n12"1=33"22"13"22(3"22"2)
1
+——
a2b2a3
11
++—
b3anbn
31
1
3n2
=3(1
2
考点:
1、3
nr)v
3n12
1.数列的通项;
14
2.等比数列及其通项公式;3.数列的求和、“错位相减法”
2.(I
)见解析;(H)
11
s"(0,1]
【解析】
试题分析:
(I)由{an12an}为等比数列可得an12务42n1,两边同除2n1得
Sn
【解析】
数列,再利用等差数列的通项公式可得数列an的通项公式,进而即可得数列an的前n项
2j
和Sn;(3)先将bn放缩,化简,利用裂项法,即可证明baLbn\3n2.
3
试题解析:
(1)解:
由S2aha22a232(21)和a211可得a152
分
(2)解法1:
当n2时,由anS*Sn1
得annan3n(n1)(n1)an13(n1)(n2)
2&3n242)2J3n2
33
命题得证14分
考点:
1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前n项和公式;3、数列的求和;4、不等式
的证明.
n1
1
4.
(1)an—;
(2)m的最大值1.
2
【解析】
试题分析:
⑴等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题,解决这类问题的关键在
于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n
项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程;
(2)解题
时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质,不要把两者的性质搞混了;(3)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列
bn的
anbn的前n项的和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列
2(1
(1)afx恒成
n
12nn“
n2(1n)21
12
Tn1(n1)2n
Tnm恒成立,只需(Tn)min
公比,然后做差求解;(4)对于恒成立的问题,常用到以下两个结论:
2
n+1=4Sn+4n3,当n2
【解析】试题分析:
(1)利用数列和项与通项关系,求数列递推关系:
Q
时,
an2=4§1+4n13an+12an2=4SS.14=4an4
2
an+1
22
an4an4an2
2,n2,利用递推关系求数列通项公式:
Qan
an
0恒成立,an+1
(Cn)maxC
「k2
27,27.
试题解析
:
(1)
Q
2
an+1=4Sn+4n3
当i2时,
2
an=4Sn1+4n13
2
an+1
2/an=4
Sn
Sn14=4an4
22
an+1an
4an4
2
an
Qan0
恒成立,
an+1an2,n2
当i2时,
an是公差d
2的等差数列.
3
分
Qa2,a5,a14
构成等比数列,
2
a5a2a〔4
a2
2
8a2a224
解得比3
5分
当n2时,an32n
22n1
由条件可知,
2
a2=4a1+43
a126
分
数列9n
an
的通项公式为
2,n1
2n1,n2
8
分,
b3,b29
数列{bn}的通项公式为bn
3n
Tn
(2)
d(1qn)
1q
3(13n)
13
—?
)k
22
3n
恒成立,
2n4
N恒成立,
11
令Cn
2n4
2n
n
2n
n
3n1
2(2n7)
3n
3时,Cn
cn1当
n4时,
13分
(cn)maxC3
2
27.16分
考点:
由数列和项求通项,等比数列通项及和项
6.
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:
(1)证明数列为等差数列只需按数列定义证明即证:
当
2时,
—为
an1
常数即可;
(2)
根据
(1)可知数列1的通项公式,
可得到:
an
an
2n1
2an
1
2
2n1
1
4n2
——利用裂项相消法证明
4n
2
a2
2
an
试题解析:
(1)Q
an1
an
2anan1n2
2n2
an1
是以3为首项,
2为公差的等差数列.
(2)由
(1)知:
122n
an
2n
2
an
2n
4n2
1
4n
4n
2
a1
2
a2
2
an
12
考点:
7.(Dan
1.等差数列的定义;
1
尹
【解析】
试题分析:
(1)
由题意a1
2.
数列求和.
由an
S1
Sn
Sn
an2
n=1
可求数列
an的通项公式
1
2a.an1
1
2n21
2n1
2n21~2*1~
2n11
2n
2n2
求和即可得到
结论
试题解析:
(1)QanSn2n1
QanS!
2n1
an1S!
12n11,n2,nN
整理
1
an1
an
2
2n
两式相减,得2an
an1
2a〔3,
3
2,
1
2
1
an22(an12),n
数列an
2是首项为
a1
公比为丄的等比数列
2
an2
an
(2)
n
2a.an1
n1
2n——
1
12n21
2*2*1
2n1
2n112n21
1
1
1
2
2&a22
a2a3
n
2anQn1
1
1
11
11
221
23
1231241
2n112n21
11
1
32n2
1
3
考点:
数列的通项公式,裂项求和法
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