大学物理第7章真空中的静电场答案.docx
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大学物理第7章真空中的静电场答案
dq=d,设棒的延
长线上任一点
第七章真空中的静电场
7-1在边长为a的正方形的四角,依次放置点电荷q,2q,-4q和2q,它的几何中心放置一个单位正电荷,求这个电荷受力的大小和方向。
解:
如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消,单位正电荷所受的力为
4(q2a)2(14)=
40(2a)2
7-2如图,均匀带电细棒,长为L,电荷线密度为λ。
(1)求棒的延长线上任一点P的场强;
(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。
解:
(1)如图7-2图a,在细棒上任取电荷元dq,建立如图坐标,P与坐标原点0的距离为x,则
方向沿轴正向。
40x(xL)
Q与坐标原点0的距离为y
2)如图7-2图b,设通过棒的端点与棒垂直上任一点
dE
dx
2
40r2
代入上式,则
0
ExdExsind
xx40y0(1cos0)=(11),方向沿x轴负向。
40y40yy2L2
EydEy40y0cosd
40ysin0=40yy2L2
7-3一细棒弯成半径为R的半圆形,均匀分布有电荷q,求半圆中心O处的场强。
解:
如图,在半环上任取dl=Rd的线元,其上所带的电荷为dq=Rd。
对称分析Ey=0。
7-4如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2
的均匀带电直线在同一平面内,二者互相垂直,求它们间的相互作用力。
解:
在λ2的带电线上任取一dq,λ1的带电线是无限长,它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为,
λ1
λ2
两线间的相互作用力为
习题7-4图
12lnal,如图,方向沿x轴正向。
20a
7-5两个点电荷所带电荷之和为Q,问它们各带电荷多少时,相互作用力最大?
解:
设其中一个电荷的带电量是q,另一个即为Q-q,若它们间的距离为r,它们间的相互作用力为
q(Qq)
40r2
相互作用力最大的条件为
7-7设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行,计算通过此半球面电场强度的通量。
习题7-7图
EdSEdSEdS0SS1S2
7-8求半径为R,带电量为q的空心球面的电场强度分布。
习题7-18图
解:
由于电荷分布具有球对称性,因而它所产生的电场分布也具有球对称性,与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等,方向沿径向。
在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。
对S1与S2,应用高斯定理,即先计算场强的通量,然后得出场强的分布,分别为
2
dSE4r20
得E内0(r EdSE4r2q S20 E 外4q0r2r? (r>R) 7-9如图所示,厚度为d的“无限大”均匀带电平板,体电荷密度为ρ,求板内外 的电场分布。 解: 带电平板均匀带电,在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零,取坐标原点在此街面上,建立如图坐标。 对底面积为A,高度分别为x Ad EdSEA2S20 7-10一半径为R的无限长带电圆柱,其体电荷密度为0r(rR),ρ0为常数。 求场强分布。 解: 据高斯定理有 V2q(1rR1R1)(R1rR2); 0rR2R3 V44q0r(rR3). V2q(11)(R1rR2);V30(R2rR3),V40(rR3). 40rR2 (3)再把内球接地,内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡,内球带q/, 球壳内表面带-q/,外表面带q/-q。 )(rR1), (R1R2)q 40(R2R3R1R3R1R2) 7-12一均匀、半径为R的带电球体中,存在一个球形空腔,空腔的半径r(2r 试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场,其方向沿带电球体球心O指向球形空 腔球心O/。 P产生的电场分别据〔例7 证明: 利用补缺法,此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R的大球和一个半径为r与大球电荷密度异号完整的小球组成,两球在腔内任意点 -7〕结果为 oo 30 上式是恒矢量,得证。 7-13一均匀带电的平面圆环,内、外半径分别为R1、R2,且电荷面密度为σ。 一 质子被加速器加速后,自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。 若质子到达O点时的速度 恰好为零,试求质子位于P点时的动能EK。 (已知质子的带电量为e,忽略重力的影响, OP=L) 解: 圆环中心的电势为 R22rdr V0R2(R2R1) R140r20 圆环轴线上p点的电势为 r2L2(R22L2R12L2) 20R12021 质子到达O点时的速度恰好为零有 E0EPEkEkE0Ep EkeV0eVp=e(R2R1)e(R22L2R12L2) 2020 e(R2R1R22L2R12L2) 20 7-14有一半径为R的带电球面,带电量为Q,球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线,线电荷密度为λ,长度为L(L>R),细线近端离球心的距离为L。 设球和细线上的电荷分布固定,试求细线在电场中的电势能。 解: 在带电细线中任取一长度为dr的线元,其上所带的电荷元为dq=dr,据(7-23)式带电球面在电荷元处产生的电势为 Q 40r 电荷元的电势能为: dWQdr drr 40r 细线在带电球面的电场中的电势能为: *7-15半径为R的均匀带电圆盘,带电量为Q。 过盘心垂直于盘面的轴线上一点P 到盘心的距离为L。 试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。 解: P到盘心的距离为L,p点的电势为 7-16两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。 求: (1)各区城电势分布,并画出分布曲线; (2)两球面间的电势差为多少? 解: (1)据(7-23)式的结论得各区城电势分布为 2)两球面间的电势差为 7-17一半径为R的无限长带电圆柱,其内部的电荷均匀分布,电荷体密度为 E 20r 习题7-18图 由上式可得: Wp 40a 20lnR2R1 (R1rR2) 所以EenUen 20rlnR2R1r 7-19在一次典型的闪电中,两个放电点间的电势差约为109V,被迁移的电荷约为 30库仑,如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成00C的水,则可融化多少冰? (冰的 熔 解热为3.34×105J﹒kg-1) 解: 两个放电点间的电势差约为109V,被迁移的电荷约为30库仑,其电势能为 Wp30109J 3010上式释放出来的能量可融化冰的质量为: m301058.98×10kg 3.34105 7-20在玻尔的氢原子模型中,电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。 (1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功? (2)电子在玻尔轨道上运动的 总能量为多少? 解: 电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动,其电势能为 ee 1)把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为: W外Wp 2)电子在玻尔轨道上运动的总能量为: WWp 40a EkWp1mv2 2 v=mmv Ek1mvk2 80a 电子的总能量为: WWp 1mv 2 2 e2 40a80a 80a
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