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电路原理习题答案相量法
第八章相量法
求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法,就是电压、电流用相量表示,RLC元件用阻抗或导纳表示,画出电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,因此,应用相量法应熟练掌握:
(1)正弦信号的
相量表示;
(2)KCL,KVL的相量表示;(3)RLC元件伏安关系式的相量形式;(4)复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8-1将下列复数化为极坐标形式:
(1)F15j5;
(2)F24j3;(3)F320j40;
(4)F4j10;(5)F53;(6)F62.78j9.20。
解:
(1)F15j5a
a(5)2(5)252
5
arctan135
5(因F1在第三象限)
(2)F2
4j3(4)232arctan(34)5143.13(F2在第二
象限)
(3)
F3
20
j40202402
arctan(4020)44.7263.43
(4)
F4
10j
1090
(5)
F5
3
3180
(6)
F6
2.78
j9.202.782
9.202arctan(9.202.78)9.61
73.19
注:
一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型或指数型表示,即
Fa1
ja2
a
ae
j
它们相互转换的关系为:
故F1的极坐标形式为F1
52135
arctan2
a1
a1acosa2asin
及实部a1和虚部a2的正负
8-2将下列复数化为代数形式:
(1)
F1
10
73
;
(2)F215
112.6;(3)
F31.2
152;
(4)
F4
10
90
;(5)F1
180;(6)
F110
135。
解:
(
1)
F1
10
7310cos(
73)j10sin(73)
2.92j9.56
(2)
F2
15
112.6
15cos112.6
15sin112.6
5.76
j13.85
(3)
F3
1.2
152
1.2cos152
1.2sin152
1.06j0.56
(4)
F4
10
90
j10
(5)
F1
5
180
5
(6)
F1
10
135
10cos(135
)10sin(135
)7.07
j7.07
8-3若100
0
A
60175
。
求A和
。
解:
原式
=100Acos60jasin60175cos
j175sin
根据复数相等的
定义,应有实部和实部相等,即
Acos60100175cos
A2100A206250
1001002420625102.07
解得
202.069
解:
F1
F510
73
5
180
10cos(
73)
j10sin(
73)5
2.08
j9.56
9.78
102.27
F1F5
1073
2
73
1802107
F5和F1F5。
30.34
8-4求8-1题中的F2?
F6和F2F6
48.05216.3248.05143.68
8-5求8-2题中的F1
120)
故i1,i2和i3的相量表达式为
3)i1(t)的波形图见题解图(b)所示
(4)若将i1(t)中的负号去掉,意味着i1的初相位超前了180。
即i1的参考方向反向。
5)i1(t)的周期和频率分别为
注:
定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,因此在比较相位差时,两个正弦量必须满足
(1)同频率;
(2)同函数,即都是正
弦或都是余弦;(3)同符合,即都为正号或都为负号,才能进行比较
100Hz。
求:
8-7若已知两个同频正弦电压的相量分别为
U15030V,U2100150V,其频率f
(1)写出u1,u2的时域形式;
(2)u1与u2的相位差。
(1)u1(t)502cos(2ft30)502cos(628t30)V
u2(t)1002cos(2ft150)1002cos(628t150180)V1002cos(628t30)V
(2)因为U15030V,U2100150V10030V故相位差为30300,即u1与u2同相位。
8-8已知:
u1(t)2202cos(314t120)V
u2(t)2202cos(314t30)V
(1)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率f和周期T;
(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差;
(3)如果把电压u2的参考方向反向,重新回答
(1),
(2)。
解:
(1)波形如题解8-8图(a)所示。
题解8-8图
有效值为u1u2220Vu2
周期
f50
T1T2
0.02s
3
10cos(10t110)V,故u和i的相量分别为
2)u1和u2的相量形式为
U222030V
U1220120V
故相位差为1212030150相量图见题解图(b)所示。
(3)u2的参考方向反向,u2(t)变为-u2(t),有效值、频率和周期均不变,-u2(t)的相量为U222030180200150V
故u1和u2的相位差为12120(150)30波形图和向量图见题解图(a)和(b)。
8-9已知一段电路的电压、电流为:
3
u10sin(103t20)V
3
i2cos(103t50)A
1)画出它们的波形图和向量图;
(2)求出它们的相量差
解:
(1)u10sin(103t20)
10
8-10已知图示三个电压源的电压分别为:
ua2202cos(t10)V,ub2202cos(t110)V,
uc2202cos(t130)V,求:
(1)3个电压的和;
(2)uab,ubc;(3)画出它们的相量图
解:
ua,ub,uc的相量为
Ua22010V
Ub220110V
Uc220130V
(1)应用相量法有
UaUbUc22010220110220130
0
即三个电压的和
ua(t)
ub(t)
uc(t)0
(2)Uab
UaUb
220
10220
110
2203
40V
Ubc
UbUc
220
110220
130
2203
80
V
3)相量图如题解8-10图所示
8-11已知图(a)中电压表读数为V1:
30V;V2:
60V;图(b)中的V1:
15V;
题8-11图
解法一:
(a)图:
设回路中电流II0,根据元件的电压、电流相量关系,可得
题8-11图
URRIRI0300V
ULjXLIXLI906090V
b)图:
设回路中电流相量II0A,因为
URRIRI0150V
ULjXLIXLI908090V
元件
相量关系
有效值关系
相位关系
相量图
电阻R
URRIR
URRIR
ui
UCjXCIXCI
9010090V
所以总电压
USURULUC
15j80100j15j20V
故us的有效值为
US13220225V
解法二:
利用相量图求解。
设电流I
U
I0为参考相量,电阻电压UR与
I同相位,电感电压UL超前I90,电容电压
Uc要滞后I90,总电压Us与各元
件电压向量构成一直角三角形。
题解8-11
图(a)
和(
b)为对应原图(a)和(b)
的相量图。
由题解图(a)可得
US
UR2UL2
302
602
67.08V
由题解图(b)可得
USUR2(UC
UL)2
152
(100
80)2258V
题解8-11图
注:
这一题的求解说明,R,L,C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系(如下表所示)是我们分析正弦稳态电路的基础,必须很好地理解和掌握。
电感L
ULjXLIL
ULjXLI
ui90
电容C
UCjXCIC
UCXCIC
ui90
8-12已知图示正弦电流电路中,电流表的读数分别为A1:
5A;A2:
20A;
A3:
25A。
求:
(1)图中电流表A的读数;
(2)如果维持A1的读数不变,而把电源的频率提高一倍,再求电流表A的读数。
解法一:
1)R,L,C并联,设元件的电压为
根据元件电压、电流的相量关系,可得
应用KLC的相量形式,总电流相量为
22
即,电流表的读数A5240240.31A
题解8-12图
解法二:
利用相量图求解。
设UU0URULUC为参考向量,根
据元件电压、电流的相位关系知,IR和U同相位,IC超前90,IL滞后U90,
相量图如题解8-12图所示,总电流I与IR,IC和IL组成一个直角三角形。
故电流表的读数为
IR2(ICIL)2A
22
即
(1)52(2520)27.07A
(2)52(2510)240.31A
注:
从8-11题的解法二,可以体会到应用向量图分析电路的要点,那就是首先要选好一个参考相量,这个参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电压、电流相量,根据电路的具体结构及参数特点逐一画出,把所给的条件转化成相量图中的几何关系。
最后根据相量图中的相量关系,使问题得到解决。
一般对串联电路,选电流作参考方向较方便,如8-11题。
对并联电路,则选电压作参考相量较方便,如8-12题。
有些问题通过相量图分析将很直观和简便。
8-13对RL串联电路作如下两次测量:
(1)端口加90V直流电压(0)时,
输入电流为3A;
(2)端口加f50Hz的正弦电压90V时,输入电流为。
求R和
L的值。
题解8-13图解:
由题意画电路如题解8-13图所示。
(1)
当us为90V直流电压时,
电感
L看作短路,
则电阻
us
90
Rs
30
i
3
(2)
当us为90V交流电压时,
设电流II0
1.80A,根据相量法,
有
US
RIjXL
I30
1.8jXL
1.8
故
US
901.8
302
XL2
902
2
XL
(1.8)
302
40
X
LXL
40
0.127H
XL
L
根据
L,解得
2f
100
8-14某一元件的电压、电流(关联方向)分别为下述4种情况时,它可能是
什么元件?
u10cos(10t45)V
u10sin(100t)V
1)
i2sin(10t135)A
(2)
i2cos(100t)A
u10costV
u10cos(314t45)V
3)
isintA
(4)
i2cos(314t)A
解:
(1)把电流变为余弦形式有i
2cos(10t135
90)2cos(10t45)A,
u和i的相量为
50
即电压、电流同相位,根据元件电压、电流相位关系可知这是一个5的电阻元
件
(1)
把电压变为余弦形式有
u
cos(100t
j90)V
U
10
45I
2
(2)
u和i的相量为
2
220A
U
5
则
I
5
45(1
2
j)RjXL
5
XL
5
即这
是一个
R
2的电阻和
2
的电感的串联组合。
3
8-15电路由电压源us100cos(10t)V及R和L=串联组成。
电感端电压的有效值为25V。
求R值和电流的表达式。
b)所示。
由于
100
2
3
XLL1030.02525
故电流的有效值为
题解8-15图
由图(b)知电阻电压的有效值为
所以电阻为
I滞后US的角度(因为是感性电路)为
因此电流的瞬时表达式为
3
i(t)2cos(103t20.70)A
8-16已知图示电路I1I210A。
求I和US。
解:
设US为参考相量。
I1与US同相位,I2超前US90,相量图如题解8-16图所示。
由图可知
题解8-16图
题解8-16图
2222
II1I22102102102A
由电路图知
Z
US
arctan
RI1
arctan145
I1
1010100V
故US和I分别为
US
100
0V
I
IZ
10245A
8-17图示电路中IS
20A。
求电压U
IS
IR
IL
解:
U
jXL
U
即
20
245
题8-17图
3)绘出i1的波形图;
4)若将i1表达式中的负号去掉将意味着什么?
解:
(1)i15cos(314t60)5cos(314t60180)5cos(314t
i210sin(314t60)10cos(314t30)
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