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xxx年教师评职称竞赛教育教学论文
浅谈简易方程的教育教学方法
xxx学校姓名:
xxx
内容摘要《简易方程》是五年级上册第五单元的知识,是学生在小学阶段第一次系统接触代数知识。
这一单元学生掌握的好坏将直接影响到他们初中代数知识的学习。
因此,我将其放在十分重要的地位。
《简易方程》是五年级上册第五单元的知识,也是这册内容的重点和难点。
本单元的内容分为两节,第一节的主要内容是用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系。
第二节的主要内容是方程的意义,等式的基本性质和解简易方程,以及列方程解决一些比较简单的实际问题。
很多时候,遇到稍复杂的题,列算式解决时,解题思路常常迂回曲折,很难理解,而列方程解决实际问题,解题思路往往直截了当,降低了思维难度,它让学生从一个简单的思路——找相等关系来解题。
所以说,这个单元的知识如何教好,是至关重要的。
1、 用字母表示数量关系的教育教学方法
“用字母表示数”着重教学式的知识,它是方程的基础。
“在具体的情境中会用字母表示数”是课程标准的要求。
在教学这一部分知识时,要注重学生对数量关系的理解,也就是说要加强学生用含字母的式子表示数量的训练。
所以,在这里一定要向学生强调并反复练习用含有字母的式子表示数量,让学生明白以往学习的所有数量关系在用含有字母的式子表示数量中都能用到。
体会到含有字母的式子的数量关系和以前是一样的,只是现在用符号来代替数字了。
一、在写出含有字母的式子过程中感受意义,体验用字母表示数的概括性
1.由熟悉的算式引出含有字母的式子。
都是从学生熟悉的不含字母的算式引出含有字母的式子。
要切实引导学生经历由具体的数到抽象的数,由具体的算式到含有字母的式子的学习过程,因为从具体的数到用字母表示数是认识上的一次飞跃,对学生来说是很抽象的,也是相当困难的。
这样教学能降低认知坡度,使学生对含有字母的式子产生兴趣,初步感受用字母表示数的意义。
两道例题在不含字母的算式和含有字母的式子之间的省略号,既可提示学生迁移类推,也体现了含有字母的式子的抽象性和概括性。
2.根据数量关系写出含有字母的式子。
借助熟悉的算式为依托,通过类比写出含有字母的式子,不仅比较麻烦,而且思维水平也较低。
所以,用字母表示数不能停留在这一层面。
第106页中间的那道例题,用文字形式叙述了一组相差关系,学生在写出24+x时,可能仍然由24+6、24+9这两个算式类推,也可能根据“美术组人数加合唱组比美术组多的人数”这一数量关系进行思考。
要有意识地引导学生通过交流接受通过数量关系进行思考的方法,提高学生用字母表示数的思维水平。
第107页“想想做做”的多数习题,都要求学生能依据数量关系写出含有字母的式子。
第108页下面的例题没有为学生提供通过迁移类推写出含有字母的式子的过程,引导学生直接写出含有字母的式子。
教材的场景图展示了事件及其过程,要让学生通过看图体会数量关系:
冷水壶里的橙汁减去倒入3个杯里的橙汁,是剩下的橙汁。
这里,学生可能写出1100-x-x-x或1100-3x。
这两个式子是同一数量关系的不同表达,但后者比前者简便,可以让学生通过交流自主选择简便的式子。
学生依据数量关系写出含有字母的式子后,教师还应引导他们感受用字母表示数量关系比语言叙述简便,这是在本单元教学中应该获得的体验。
3.理解用字母表示数的意义。
理解字母以及含有字母式子的意义是各道例题的教学重点。
第106页的例题在写出a×3这一式子后,教材提出问题:
这里的a可以表示哪些数?
这是引导学生体会字母a及式子a×3的意义。
多数学生会先想到a表示5、6、7……因为a×3是接着3×3、4×3写出来的。
接着会想到a还可以表示1、2、3、4,这样就体会了字母a表示三角形的个数,能代表所有的自然数。
如果组织学生进一步比较4×3与a×3,理解前者只表示摆4个三角形所用小棒的根数,后者表示摆任意个三角形所用小棒的根数,就能初步感受字母a及式子a×3的抽象性与概括性。
在接下来的例题中,学生写出24+x后,要引导学生理解这里的x是合唱组比美术组多的人数,可以表示任意非零的自然数。
同时,还要让学生计算x=10、x=14时,合唱组有多少人,引导学生感受用字母表示数既有概括和不确定的一面,也有具体与确定的时候,从而对含有字母的式子在表示数量和数量关系时的特点,有进一步的体会。
第108页下面的例题,求x=250时,1100-3x的值,是字母及式子从一般到个别的具体化过程。
1100-3x里的x代表许多数,250是其中的一个数。
在含有字母的式子里,一旦字母有了确定的值,式子的值也相应确定了。
这一内容,既有助于学生继续体会用字母表示数的意义,还示范了求式子值的方法和书写格式。
求含有字母的式子值的方法可应用于依据字母公式或数量关系进行计算(如例题后的“试一试”,根据长方形周长公式求周长),也可应用于检验方程的解。
在书写格式上要注意两点:
一是先写出含有字母的式子,再把字母的值代入式子并进行计算;二是字母表示的是数,把字母的值代入式子,求出的式子的值也是一个数,所以,单位名称一般在答句中写出。
二、通过书写规则和化简的教学,体会用字母表示数的简洁性
1.结合用字母表示公式,教学用字母表示数的书写规则。
第106页下面的那道例题教学两个内容,一是用字母表示正方形的周长和面积公式,二是有关用字母表示数的书写规则。
三年级(上册)教学正方形的周长时,要求学生根据周长的含义计算周长,没有概括出公式。
三年级(下册)教学正方形的面积,揭示了文字表达的计算公式。
例题首先规定正方形的边长、周长、面积分别用字母a、C、S表示,然后要求学生根据正方形的周长是它四条边长度的和,写出正方形的周长公式C=a×4;根据正方形面积=边长×边长,写出正方形的面积公式S=a×a。
在写字母公式的过程中体会字母公式比文字公式简练,比数学语言讲述方便,从而感受字母作为有意义的符号,易于表达和记忆。
教学这一内容要注意两点:
一是所选用的字母及各字母表示的数量要与教材一致,由教师告诉学生或者让学生看书都可以,不要在选用字母上随意地发散或多样化;二是学生独立写出字母公式后,要充分交流写公式时的思考和体会,感受用字母表示数的简洁性。
用字母表示数在乘法或除法运算中,书写格式有严格规定。
这道例题只教学有关乘法式子的书写规则,至于除法的书写规则,学生尚不具备学习的条件,小学数学不安排教学。
教材通过实例示范的方式进行教学,“a×4或4×a通常可以写成4·a或4a”讲的是数与字母相乘,乘号可以写成“·”或者不写。
如果把乘号写成“·”,数应写在乘号的前面;如果不写乘号,数要写在字母前面。
“a×a可以写成a·a,也可以写成a2”讲的是两个相同的字母相乘,乘号可以写成“·”,也可以不写。
如果不写乘号,式子应该写成a2。
教学这些规则,要突出都是关于乘法式子的书写规定,在其他运算的式子中,不存在这样的规定。
在把乘号简写成“·”与乘号省去不写这两种表示中,要提倡后一种,少用或者不用前一种表示,因为“·”容易与小数点混淆。
在应用时还要对书写规则作三点延伸:
一是两个不同的字母相乘,也可以把乘号写成“·”,或者不写乘号,这可以在第107页第5题写计算路程的公式S=vt时教学。
二是a×1或1×a,可以写成a,在例题和“想想做做”第1题里教学。
三是在较复杂的情境里应用,如第108页“试一试”写长方形的周长公式C=2(a+b),其中加号不能省写,乘号可以不写,2要写在含有字母的括号前面。
学生掌握书写规则并形成习惯需要过程。
教师一方面在学生完成第107页“想想做做”的时候,要经常提醒用字母表示数的书写规则,随时纠正不规范的写法,逐渐帮助学生养成习惯。
另一方面要引导学生体会应用这些规则,能方便地用字母表示数、数量关系或计算公式,从而自觉遵守规则。
2.学习化简含有字母的式子,进一步提高用字母表示数的能力。
第110页的例题教学形如ax+bx的式子。
这个式子具有两个乘式相加的结构,而且两个乘式里有相同的字母,这样的式子可以应用乘法分配律进行化简。
例题仍然采用用小棒摆图形的情境,有利于学生通过看图写出不同的式子。
教材直接提出摆a个三角形和a个正方形一共用了多少根小棒的问题,是要求学生根据数量关系写出含有字母的式子。
学生通过前面的学习已经具有这样的能力,并且应该达到这样的思维水平。
如果学生先分别算出小华和小芳两人各用小棒的根数,列出的式子是3a+4a;如果从摆1个三角形和1个正方形用7根小棒着眼,列出的式子是7a。
直观图画和不同的列式方法能让学生初步理解3a+4a=7a的合理性。
在此基础上,教材还通过计算过程虚线框里的“(3+4)a”以及应用了什么运算律这一问题,引导学生深层次地理解3a+4a=7a的必然性,从而自觉地用7a这个比较简便的式子来表示数。
“试一试”和“想想做做”围绕写出并化简类似含有字母的式子而设计。
回答小芳比小华多用多少根小棒这个问题,可引导学生分别写出4a-3a以及a,并对4a-3a=a作出解释,扩展例题的内容范畴。
“想想做做”第1题让学生重温写出类似的式子并化简的过程,巩固知识。
第2题专项练习化简这样的式子,初步形成技能,并自觉地应用于后面的习题中。
二、以等式的基本性质为解方程的依据的教育教学方法
一、新课程为什么要用等式的基本性质解方程
过去,在小学教学解方程,依据的是四则运算之间的关系,如“加数=和-另一个加数”,“因数=积÷另一个因数”.等等。
由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时.早就不断有所感知,积累了比较丰富的感性经验,所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成,运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。
但是,这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远,一到中学就被彻底抛弃,取而代之的是等式的基本性质。
而且小学依据四则运算关系解方程教得越多,练得越巩同,初中方程教学的负迁移就越明显,入门障碍就越大。
既然一到中学就被取代,并将彻底遗忘.为什么就不能改变,寻找一条新的可持续发展的出路呢?
现在,为了减少过渡性的、很快被淘汰的知识,为了避免中小学数学教学各自教一套,避免中学“另起炉灶”,为了促进学习的正迁移,将等式基本性质作为小学解方程的依据,使中小学解方程的思路得到基本统一,解释趋于一致。
这是一项很有意义的改革,值得我们为之尝试、探索,积累经验。
通过实践还进一步发现,以等式基本性质为依据,有利于凸显等量关系,有助于渗透初步的方程思想和初步的数学建模思想。
这些则是改革初衷之外的收获了。
二、利用等式的性质解方程的一些困惑
利用等式的性质解方程,对于小学数学教师来说需面对并妥善解决一系列的教学实际问题。
光知道要过河,如果没有可操作的过河方法,仍然无济于事。
从已有教学实践来看,不少教师常感为难的问题主要有以下几个。
1.如何理解“等式的基本性质”?
新课程下的小学数学概念性的东西不多,一般都是在例题中或者练习中依靠学生自己归纳总结,而新教材对于等式的基本性质确实给出了明确的解释(见小学数学五年级上册第64页和第65页),对于这一性质,有的老师将其称为“天平原理”或者“天平平衡原理”,这都是可行的,学生理解起来也相对形象一些。
2、如有学生运用四则运算的关系解方程怎么办?
初学解方程时我一直要求学生利用等式的基本性质,但有些聪明的同学却能利用四则运算的关系来解方程。
比如,在教学解方程例1:
X+3=9时,如果利用等式的性质就应该这样解:
X+3-3=9-3解得X=6,讲到这个地方,班上有个叫谭英杰的同学就说:
“老师,我有更简单的方法。
”我问:
“你用的什么方法?
”他说:
“在X+3=9中,X是一个加数,加数=和-另一个加数,所以X=9-3,解得X=6,比你刚才讲的方法简单多了。
”他一说到这个地方,其他的同学也跟着附和,赞同他的方法而否定用等式的性质解方程。
还比如,在教学例3:
20-x=9时,用等式的性质解是这样的:
20-x=9
解:
20-x+x=9+x
20=9+x
9+x=20
9+x-9=20-9
X=11
而有的同学说这样太麻烦了,所以就出现了下面这种解法:
20-x=9
解:
x=20-9
x=11
这样做的学生说:
在这个方程里,x是减数,减数=被减数-差,这样解比用等式的性质解方便多了
面对这种情况,我当时就闷了,当时也就只是一再强调必须用等式的性质来解,而没有讲清理由,所以那节课后学生的作业基本上都是用的四则运算的关系解的方程。
后来,我请教以前上过这个知识的老师,也翻过《小学数学新课程标准》,知道答案,因此我就给学生讲解:
运用四则运算间的关系解方程,是可以的,但应该根据教材突出用等式性质解的思考方法为宜。
同时,给学生强调新的思考方法以后到中学解更复杂的方程时一直有用,以提高学生学习掌握根据等式基本性质解方程的积极性。
三、利用等式的性质解方程的一些教学策略
1.初学解方程,学生不习惯运用等式的基本性质时
首先,教学等式基本性质时,可以安排一些口答练习,如:
a—8=39,a=(),b÷3=45÷3,b=(),以便从一开始就尽可能地帮助学生初步体会等式基本性质的优势,逐步熟悉依据等式基本性质解方程的思路。
其次,教学解方程时,可以先通过复习,让学生再现、复述等式基本性质的内容,为新授作好铺垫;给出例题后,再用天平的教具或者图示表示例题的方程;同时通过明确的指导语予以思维定向.如“从今天起,我们将学习怎样用天平保持平衡的道理来解方程”。
这些都是行之有效的措施,一般来说,会有学生想到运用等式的基本性质来解方程。
由于教材在设计例题时,为了直观,选用的数据都比较小.学生一眼就能看出方程的解。
这时要求学生说出解方程的根据,显得有些“画蛇添足”。
这里,我们可以通过练习,如x+34=87,x-23=66,5x=50.x÷7=43等,让学生说说,哪几题是在方程两边加上或减去一个数,哪几题是在方程两边乘或除以一个不等于零的数,从而使学生初步体会用天平保持平衡的道理来解方程思路比较统一的优点。
还可以告诉学生,以后进一步学习解更复杂的方程时这一优势会更加明显。
2.解决实际问题,学生列出形如a-b=x与b÷a=x的方程时
这是列方程解决实际问题时学生经常会出现的现象。
对此,常用的对策有两条。
其一,引导学生根据题意,将可用加减法表示的等量关系统一成用加法表示的等量关系;将可用乘除法表示的等量关系统一成用乘法表示的等量关系。
例如,路程÷速度=时间,路程÷时间=速度,可以归结为速度×时间=路程。
有些教师顾虑这是不是有违“算法多样化”的精神,其实这种顾虑是对课改理念的误读。
首先,同一等量关系的不同表达形式,常常并无本质差异:
其次,一题多解与多题一解,算法多样化与算法优化,发散思维与收敛思维,都是相辅相成的,不应偏废。
而且,这里的收敛思维、多题一“式”,恰恰体现了列方程解决问题思路统一的特点,是必须让学生初步感悟、有所体会的。
其二,如果学生感兴趣,也可引导他们自己尝试解形如a-x=6与a=6的方程。
试举一例:
王老师买了5支同样的钢笔付143元,找回18元.求钢笔的单价。
学生设钢笔每支x元,得143一5x=18或者(143—18)÷x=5。
怎么解呢?
不妨联想天平,两边盘子内的物品交换一下,天平仍然平衡.得18=50—2x或2=(50—18)÷x,等式两边同加2x或同乘x,得18+2x=50或2x=50—18。
有的教师把“等式两边交换”比喻为“挑担换肩”,农村的孩子有这样的生活经验,一听也就明白了。
虽然学生能用四则运算的关系解方程,但教师必须强调,为了给中学学代数打下基础,尽量要用等式的性质来解方程。
总之,新课程提倡用等式的性质解方程,思路更统一,我们应正确看待解方程方法的改变,提倡新的方法引领学生。
作者简介:
谭玉星,男,1984年3月出生,2002年8月参加工作,至今在巫溪县峰灵镇中心小学校任教小学五年级数学。
参考文献:
1、《小学数学新课程标准》2011年修改稿
2、《义务教育教科书》五年级上册人民教育出版社2014年3月第1版
3、《关于用等式的性质解方程的几点思考》曹培英
4、《对小学阶段根据“等式的性质”解方程的冷思考》崔凤莲《中国科教创新导刊》2011年第15期
三、加强列方程解决实际问题的教学,适当分散难点。
第二块,解方程和列方程解决问题。
要根据等式的性质来解方程,普通方程学生解起来问题不大,比多比少的方程,学生错误率还是满多的,我要求学生圈出多、少关键字,谁和谁比划出来,写上谁大谁小。
“稍复杂方程”把“写关系式”作为教学的重点,耐心地引导学生理解题目的意思,根据题意写关系式,但好几个同学接受起来仍有困难,就算写出了关系式,仍不会列方程,或是写的关系式与列的方程根本是两码事。
如何用稍复杂的方程来解决实际问题仍是本单元教学的薄弱点。
(1)例1:
基本类型。
①经历列方程解决实际问题的基本方法。
这里的问题比较简单,容易发现数量关系。
学生也比较容易直接利用算术方法求解,教材在这里尊重学生的经验,先出示了算术解法。
以此鼓励学生自己想方法解决问题的积极性。
接下来引出列方程的方法来解决。
这是学生第一次接触列方程解答实际问题,对将所求数量设为x,对未知数参加列式,都会感到不习惯。
所以,教材引导学生将未知数设为x,列出方程。
②体会列方程解决问题的特点:
用字母表示未知数,未知数参与列式。
其中寻找等量关系是列方程的关键,教材用色块予以凸显,但它不是解题书写的要求,主要是帮助学生列方程。
③淡化算术方法和列方程方法的对比。
这里的数量关系简单,体现不出列方程的优势,重在经历一般方法,规范书写格式。
(2)例2:
列方程解形如ax±b=c的问题。
①体会优越性。
这里的问题如果用算术方法解决需要逆思考,思维难度较大,学生容易出现先除后减的错误。
而用方程解,思路比较顺,体现了列方程解决问题的优越性。
②注重数量关系的分析。
这里的数量关系,学生常有不同的分析(如下)。
学生有必要的话,可以画线段图帮助分析。
如:
黑色皮的块数×2-4=白色皮的块数
黑色皮的块数×2-白色皮的块数=4
黑色皮的块数×2=白色皮的块数+4
③总结列方程解决实际问题的基本步骤。
教材给出了基本步骤,提升学生的学习经验。
(3)例3:
列方程解形如ax±ab=c的问题。
这里的数量关系是两积之和,是典型的数量关系,生活中很常见。
而且,理解了两积之和的数量关系,也就容易理解两积之差、两商之和(差)的数量关系。
同时,两个积中有相同的因数,可以根据分配律,得到含小括号的方程。
所以例3具有举一反三的典型意义。
(4)例4:
列方程解形如ax±bx=c的问题。
①含有两个未知数。
此类问题称为“和差、和倍、差倍问题”,其特点是:
含有两个未知数,知道这两个未知数的倍数关系,以及它们的和或差,求两个未知数(如本例)。
如果用算术方法解比较难。
改用方程解,都可归结为解形如ax±bx=c 的方程,思路统一,解法一致,学会其中之一的解法,其他类似的问题,如“和差”就很容易类推解决。
②设未知数。
解决这类问题,首先要确定一个未知数为x,另一个根据两者之间的关系用含有x的式子来表示。
但这里重点是设谁是x,一般为了解方程方便,设倍数关系中的单位量为x。
也可以利用线段图帮助学生思考。
(5)例5:
解决问题。
这里是行程中的相遇问题,比较经典,这里以解决问题的形式进行编排,让学生体会方程解的优越性。
这里的方程形式与例3相同,重点是借助线段图来帮助学生分析数量关系,列出方程。
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