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压轴题
1.在△MNG中,已知NG=4,当动点M满足条件sinG-sinN=12sinM时,求动点M的轨迹方程.
2.、(2011•徐州)如图①,在△ABC中,AB=AC,BC=acm,∠B=30°.动点P以1cm/s的速度从点B出发,沿折线B-A-C运动到点C时停止运动.设点P出发x s时,△PBC的面积为ycm2.已知y与x的函数图象如图②所示.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)试判断△DOE的形状,并说明理由;
(2)当a为何值时,△DOE与△ABC相似?
3如图甲,在正方形ABCD的边上有一个动点P以2cm/s的速度,从点B开始按B-C-D-A运动,到点A为止.设点P移动时间为t,△ABP的面积为S. S关于t的函数关系如图乙所示,回答下列问题:
(1)图甲中的BC长是多少?
(2)图乙中的a是多少?
(3)当t为什么值时,S=2cm
4.(2011•新疆)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AB的长;
(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;
(3(2011•新疆)如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AB的长;
(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;
(3)探究:
在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?
请说明理由.)探究:
在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?
请说明理由.
5如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,其中DA⊥AB,AD∥BC.PA=2AD=BC=2AB=22.
(1)求异面直线PC与AD所成角的大小;
(2)若平面ABCD内有一经过点C的曲线E,该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等PC与AD所成角.试判断曲线E的形状并说明理由;
(3)在平面ABCD内,设点Q是
(2)题中的曲线E在直角梯形ABCD内部(包括边界)的一段曲线CG上的动点,其中G为曲线E和DC的交点.以B为圆心,BQ为半径的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点.当Q点在曲线段GC上运动时,试提出一个研究有关四面P-BMN的问题(如体积、线面、面面关系等)并尝试解决.
(说明:
本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分;本小题的计算结果可以使用近似值,保留3位小数
6)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,且BC=12cm,AD=15cm,动点Q由点B沿BC向点C移动,1秒钟后动点P由点A沿AD向点D移动
(1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒,且动点Q到达C时,动点P 恰好也到达D.试求动点P、Q的速度.
(2)若动点P的速度为5厘米/秒,动点Q的速度为3厘米/秒,在运动过程中(P与A、D不重合时),AQ与BP交于K,CP与DQ交于N
①当动点Q到达BC中点时,过K作KM∥AD交AB于M,求KM的长;(如图2)
②在这运动过程中,KN是否会与AD平行?
若会,请求出此时为P点出发后几秒?
若不会,请说明理由.(如图3)
7一次数学兴趣活动,小明提出这样三个问题,请你解决:
(1)把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图(a)所示重叠在一起,其中∠PAQ=90°,点Q在边BC上,连接PD,求证:
△ADP≌△ABQ.
(2)如图(b),O为正方形ABCD对角线的交点,将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合,转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N,求证:
OM=ON.
(3)如图(c),将
(2)的“正方形”改为“矩形”,其它条件不变,如果AB=4,AD=6,FM=x,FN=y,试求y与x之间的关系式.
8、(2008•福州)如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR∥BA交AC于点R,连接PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ.
9(2009•乐山)如图在梯形ABCD中,DC∥AB,∠A=90°,AD=6厘米,DC=4厘米,BC的坡度i=3:
4,动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动,动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B⇒C⇒D方向向点D运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为t秒.
(1)求边BC的长;
(2)当t为何值时,PC与BQ相互平分;
(3)连接PQ,设△PBQ的面积为y,探求y与t的函数关系式,求t为何值时,y有最大值?
最大值是多少?
10(2010•徐州)如图①,梯形ABCD中,∠C=90°.动点E、F同时从点B出发,点E沿折线BA-AD-DC运动到点C时停止运动,点F沿BC运动到点C时停止运动,它们运动时的速度都是1cm/s.设E、F出发ts时,△EBF的面积为ycm2.已知y与t的函数图象如图②所示,其中曲线OM为抛物线的一部分,MN、NP为线段.请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)梯形上底的长AD=
2
cm,梯形ABCD的面积
14
cm2;
(2)当点E在BA、DC上运动时,分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围);
(3)当t为何值时,△EBF与梯形ABCD的面积之比为1:
2?
11阅读材料:
如图,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
S△ABC=12ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
①求抛物线和直线AB的解析式;
②点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
③点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使S△PAB=98S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由
12如图,已知A(3,0),B(32,332),动点P、Q同时从O、B两点出发,分别沿OA、BO方向匀速移动,它们的速度均为每秒1个单位,当点P到达点A时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)设△OPQ的面积为y个平方单位,求y与t的函数关系式;
(2)当t为何值时,QP2有最小值?
最小值是多少?
(3)是否存在某个时刻t,能使△OPQ的面积为32个平方单位?
若存在,求出相应的t值,并判断△OPQ的形状;如果不存在,说明理由.
13某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.
活动情境:
如图2,将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G),使点B落在AD边上的点 F处,FN与DC交于点M处,连接BF与EG交于点P.
所得结论:
当点F与AD的中点重合时:
(如图1)甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论(或结果):
甲:
△AEF的边AE=
3
cm,EF=
5
cm;
乙:
△FDM的周长为16cm;
丙:
EG=BF.
你的任务:
(1)填充甲同学所得结果中的数据;
(2)写出在乙同学所得结果的求解过程;
(3)当点F在AD边上除点A、D外的任何一处(如图2)时:
①试问乙同学的结果是否发生变化?
请证明你的结论;
②丙同学的结论还成立吗?
若不成立,请说明理由,若你认为成立,先证明EG=BF,再求出S(S为四边形AEGD的面积)与x(AF=x)的函数关系式,并问当x为何值时,S最大?
最大值是多少?
14已知,△ABC是边长3cm的等边三角形.动点P以1cm/s的速度从点A出发,沿线段AB向点B运动.
(1)如图1,设点P的运动时间为t(s),那么t=
32(s)时,△PBC是直角三角形;
(2)如图2,若另一动点Q从点B出发,沿线段BC向点C运动,如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t(s),那么t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(3)如图3,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.设运动时间为t(s),那么t为何值时,△DCQ是等腰三角形?
(4)如图4,若另一动点Q从点C出发,沿射线BC方向运动.连接PQ交AC于D,连接PC.如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发.请你猜想:
在点P、Q的运动过程中,△PCD和△QCD的面积有什么关系?
并说明理由.
15(2011•来宾)已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别是OB、OC上的动点,
(1)如果动点E、F满足BE=CF(如图):
①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形(不得添加辅助线);
②证明:
AE⊥BF;
(2)如果动点E、F满足BE=OF(如图),问当AE⊥BF时,点E在什么位置,并证明你的结论.
16梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=30° AD=8cm,CD=16cm,BC=28cm,点P、Q分别是梯形某边上同时出发的一个动点,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点随之停止运动.其中,点P移动的速度是1cm/s,点Q移动的速度是2cm/s.
(1)在图①中,点P从点A出发向点D移动,点Q从点C出发向点B移动,设所移动的时间为t.t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)在图②中,如果点P从点A出发向点D移动,点Q从点C出发向点D移动.设所移动的时间为t,用关于t的式子表示△PQB的面积,并求出t的取值范围.
16(2011荆州市)图①是一瓷砖的图案,用这种瓷砖铺设地面,图②铺成了一个2×2的近似正方形,其中完整菱形共有5个;若铺成3×3的近似正方形图案③,其中完整的菱形有13个;铺成4×4的近似正方形图案④,其中完整的菱形有25个;如此下去,可铺成一个n×n的近似正方形图案.当得到完整的菱形共181个时,n的值为( )
A、7B、8C、9D、10
17如图甲,分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(O、C、F三点在x轴正半轴上).若⊙P过A、B、E三点(圆心在x轴上),抛物线y=14x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为G,M是FG的中点,正方形CDEF的面积为1.
(1)求B点坐标;
(2)求证:
ME是⊙P的切线;
(3)设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点,
①求△ACQ周长的最小值;
②若FQ=t,S△ACQ=S,直接写出S与t之间的函数关系式.
18如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=14OA=2,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.
(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△A'EF,求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积
19(2011年湖南省岳阳市)、、如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使C点落在E处,BE与AD相交于点F,下列结论:
①BD=AD2+AB2;②△ABF≌△EDF;③DEAB=EFAF;④AD=BD•cos45°.
其中正确的一组是( )
A、①②B、②③C、①④D、③④
20(2011年湖南省岳阳市)如图①,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到△ABD和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起.
(1)操作:
如图②,将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合),FE交DA于点G(G点不与D点重合).
求证:
BH•GD=BF2
(2)操作:
如图③,△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合),且CF始终经过点A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG.
探究:
FD+DG=.请予证明.
.
21如图,等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.
(1)求证:
△ACD≌△BCE;
(2)延长BE至Q,P为BQ上一点,连接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ的长.
22(2011年山东省莱芜市)如图,E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,且AB=CD.下列结论:
①EG⊥FH,②四边形EFGH是矩形,③HF平分∠EHG,④EG=12(BC-AD),⑤四边形EFGH是菱形.其中正确的个数是( )
A、1B、2C、3D、4
23(2011年山东省莱芜市)如图①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②、图③、…,则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为.
24(2011年北京市)在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数
25(2010年北京市)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-m-14x2+5m4x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求点B的坐标;
(2)点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E.延长PE到点D.使得ED=PE.以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动)j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;k若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F.延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点,N点也随之运动).若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.
26认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题.
探究1:
如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,通过分析发现∠BOC=90°+12∠A,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB
∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠1+∠2=12(180°-∠A)=90°-12∠A
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-12∠A)
=90°+12∠A
探究2:
如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?
请说明理由.
探究3:
如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?
(只写结论,不需证明)
结论:
.
27、(2011年广西梧州市)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.动点P、Q都从点C出发,点P沿C→B方向做匀速运动,点Q沿C→D→A方向做匀速运动,当P、Q其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
(1)求CD的长;
(2)若点P以1cm/s速度运动,点Q以22cm/s的速度运动,连接BQ、PQ,设△BQP面积为S(cm2),点P、Q运动的时间为t(s),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)若点P的速度仍是1cm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ∥DC,请你直接写出a的取值范围.
.
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