高中数学等差数列提高题含答案解析.docx
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高中数学等差数列提高题含答案解析
等差数列提高题
第I卷
徐荣先汇编
一.选择题(共20小题)
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2C.4D.8
2.等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点,则{an}的前9项和等于( )
A.﹣18B.9C.18D.36
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4+a9=10,则S12等于( )
A.30B.45C.60D.120
4.等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则{an}的前8项的和为( )
A.32B.64C.108D.128
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9=( )
A.36B.72C.144D.70
6.在等差数列{an}中,a9=a12+3,则数列{an}的前11项和S11=( )
A.24B.48C.66D.132
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=24,S9=63,则a4=( )
A.4B.5C.6D.7
8.一已知等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若a3+a4+a5=42,则S7=( )
A.98B.49C.14D.147
9.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=6,a2=1,则公差d等于( )
A.B.C.D.2
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn,其中且a11=20,则S13=( )
A.60B.130C.160D.260
11.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若4S6+3S8=96,则S7=( )
A.48B.24C.14D.7
12.等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a4+a10=20,则S13=( )
A.6B.130C.200D.260
13.在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=( )
A.60B.75C.90D.105
14.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=﹣15,a2+a5=﹣2,则公差d等于( )
A.5B.4C.3D.2
15.已知等差数列{an},a1=50,d=﹣2,Sn=0,则n等于( )
A.48B.49C.50D.51
16.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=﹣4,S6=6,则S5=( )
A.1B.0C.﹣2D.4
17.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4,a6是方程x2﹣18x+p=0的两根,那么S9=( )
A.9B.81C.5D.45
18.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=15,a2=5,则公差d等于( )
A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.2
19.等差数列{an}中,a1+a3+a5=39,a5+a7+a9=27,则数列{an}的前9项的和S9等于( )
A.66B.99C.144D.297
20.等差数列{an}中,a2+a3+a4=3,Sn为等差数列{an}的前n项和,则S5=( )
A.3B.4C.5D.6
二.选择题(共10小题)
21.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7= .
22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=4,S3=3,则公差d= .
23.已知等差数列{an}中,a1=1,a2+a3=8,则数列{an}的前n项和Sn= .
24.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d=2,a5=10,则S10的值是 .
25.设{an}是等差数列,若a4+a5+a6=21,则S9= .
26.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=9﹣a6,则S8= .
27.设数列{an}是首项为1的等差数列,前n项和Sn,S5=20,则公差为 .
28.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则d= ,S6= .
29.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=4,则S7= .
30.已知等差数列{an}中,a2=2,a12=﹣2,则{an}的前10项和为 .
I卷答案
一.选择题(共20小题)
1.(2017•新课标Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2C.4D.8
【解答】解:
∵Sn为等差数列{an}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,
∴,
解得a1=﹣2,d=4,
∴{an}的公差为4.
故选:
C.
2.(2017•于都县模拟)等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点,则{an}的前9项和等于( )
A.﹣18B.9C.18D.36
【解答】解:
∵等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点,
∴a3+a7=4,
∴{an}的前9项和S9===.
故选:
C.
3.(2017•江西模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4+a9=10,则S12等于( )
A.30B.45C.60D.120
【解答】解:
由等差数列的性质可得:
.
故选:
C.
4.(2017•尖山区校级四模)等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则{an}的前8项的和为( )
A.32B.64C.108D.128
【解答】解:
a4+a8=2a6=22⇒a6=11,a3=5,
∴,
故选:
B.
5.(2017•宁德三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则S9=( )
A.36B.72C.144D.70
【解答】解:
在等差数列{an}中,
由a2+a4+a9=24,得:
3a1+12d=24,即a1+4d=a5=8.
∴S9=9a5=9×8=72.
故选:
B.
6.(2017•湖南一模)在等差数列{an}中,a9=a12+3,则数列{an}的前11项和S11=( )
A.24B.48C.66D.132
【解答】解:
在等差数列{an}中,a9=a12+3,
∴,
解a1+5d=6,
∴数列{an}的前11项和S11=(a1+a11)=11(a1+5d)=11×6=66.
故选:
C.
7.(2017•商丘三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=24,S9=63,则a4=( )
A.4B.5C.6D.7
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=24,S9=63,
∴,
解得a1=﹣1,d=2,
∴a4=﹣1+2×3=5.
故选:
B.
8.(2017•葫芦岛一模)一已知等差数列{an}中,其前n项和为Sn,若a3+a4+a5=42,则S7=( )
A.98B.49C.14D.147
【解答】解:
等差数列{an}中,因为a3+a4+a5=42,
所以3a4=42,解得a4=14,
所以S7==7a4=7×14=98,
故选A.
9.(2017•南关区校级模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=6,a2=1,则公差d等于( )
A.B.C.D.2
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=6,a2=1,
∴,
解得,d=.
故选:
A.
10.(2017•锦州一模)已知等差数列{an}的前n项和Sn,其中且a11=20,则S13=( )
A.60B.130C.160D.260
【解答】解:
∵数列{an}为等差数列,
∴2a3=a3,即a3=0
又∵a11=20,
∴d=S13=•(a1+a13)=•(a3+a11)=•20=130
故选B.
11.(2017•龙门县校级模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若4S6+3S8=96,则S7=( )
A.48B.24C.14D.7
【解答】解:
设等差数列{an}的公差为d,
∵4S6+3S8=96,∴+=96,
化为:
a1+3d=2=a4.
则S7==7a4=14.
故选:
C.
12.(2017•大连模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a4+a10=20,则S13=( )
A.6B.130C.200D.260
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a4+a10=20,
∴S13=(a1+a13)=(a4+a10)=20=130.
故选:
B.
13.(2017•大东区一模)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=( )
A.60B.75C.90D.105
【解答】解:
∵等差数列{an}中,Sn为其前n项和,a3+a4+a8=25,
∴3a1+12d=25,∴,
∴S9==9a5=9×=75.
故选:
B.
14.(2017•延边州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=﹣15,a2+a5=﹣2,则公差d等于( )
A.5B.4C.3D.2
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=﹣15,a2+a5=﹣2,
∴,
解得a3=﹣2,d=4.
故选:
B.
15.(2017•金凤区校级四模)已知等差数列{an},a1=50,d=﹣2,Sn=0,则n等于( )
A.48B.49C.50D.51
【解答】解:
由等差数列的求和公式可得,==0
整理可得,n2﹣51n=0
∴n=51
故选D
16.(2017•唐山一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=﹣4,S6=6,则S5=( )
A.1B.0C.﹣2D.4
【解答】解:
设等差数列{an}的公差为d,∵S4=﹣4,S6=6,∴d=﹣4,d=6,
解得a1=﹣4,d=2.
则S5=5×(﹣4)+×2=0,
故选:
B.
17.(2017•南关区校级模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4,a6是方程x2﹣18x+p=0的两根,那么S9=( )
A.9B.81C.5D.45
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,
a4,a6是方程x2﹣18x+p=0的两根,那
∴a4+a6=18,
∴S9===81.
故选:
B.
18.(2017•宜宾模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=15,a2=5,则公差d等于( )
A.﹣3B.﹣2C.﹣1D.2
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=15,a2=5,
∴,
解得a1=7,d=﹣2,
∴公差d等于﹣2.
故选:
B.
19.(2017•西宁模拟)等差数列{an}中,a1+a3+a5=39,a5+a7+a9=27,则数列{an}的前9项的和S9等于( )
A.66B.99C.144D.297
【解答】解:
∵等差数列{an}中,a1+a3+a5=39,a5+a7+a9=27,
∴3a3=39,3a7=27,解得a3=13,a7=9,
∴数列{an}的前9项的和:
S9===.
故选:
B.
20.(2017•大庆二模)等差数列{an}中,a2+a3+a4=3,Sn为等差数列{an}的前n项和,则S5=( )
A.3B.4C.5D.6
【解答】解:
∵等差数列{an}中,a2+a3+a4=3,
Sn为等差数列{an}的前n项和,
∴a2+a3+a4=3a3=3,
解得a3=1,
∴S5==5a3=5.
故选:
C.
二.选择题(共10小题)
21.(2017•榆林一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7= 49 .
【解答】解:
∵a2+a6=a1+a7
∴
故答案是49
22.(2017•宝清县校级一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=4,S3=3,则公差d= 3 .
【解答】解:
由等差数列的性质可得S3===3,
解得a2=1,故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3
故答案为:
3
23.(2017•费县校级模拟)已知等差数列{an}中,a1=1,a2+a3=8,则数列{an}的前n项和Sn= n2 .
【解答】解:
设等差数列{an}的公差为d,
∵a1=1,a2+a3=8,
∴2×1+3d=8,解得d=2.
则数列{an}的前n项和Sn=n+=n2.
故答案为:
n2.
24.(2017•淮安四模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d=2,a5=10,则S10的值是 110 .
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d=2,a5=10,
∴a5=a1+4×2=10,
解得a1=2,
∴S10=10×2+=110.
故答案为:
110.
25.(2017•盐城一模)设{an}是等差数列,若a4+a5+a6=21,则S9= 63 .
【解答】解:
∵{an}是等差数列,a4+a5+a6=21,
∴a4+a5+a6=3a5=21,解得a5=7,
∴=63.
故答案为:
63.
26.(2017•乐山三模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=9﹣a6,则S8= 72 .
【解答】解:
由题意可得a3+a6=18,
由等差数列的性质可得a1+a8=18
故S8=(a1+a8)=4×18=72
故答案为:
72
27.(2017•凉山州模拟)设数列{an}是首项为1的等差数列,前n项和Sn,S5=20,则公差为 .
【解答】解:
设等差数列{an}的公差为d,∵a1=1,S5=20,
∴5+d=20,解得d=.
故答案为:
.
28.(2017•鹿城区校级模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则d= 3 ,S6= 48 .
【解答】解:
设等差数列{an}的公差为d,∵,∴+d=20,解得d=3.
∴S6==48.
故答案为:
3,48.
29.(2017•金凤区校级一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=4,则S7= 28 .
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=4,
∴S7=(a1+a7)=7a4=28.
故答案为:
28.
30.(2017•衡阳三模)已知等差数列{an}中,a2=2,a12=﹣2,则{an}的前10项和为 6 .
【解答】解:
∵等差数列{an}中,a2=2,a12=﹣2,
∴,
解得a1=,d=﹣,
∴{an}的前10项和为:
=6.
故答案为:
6.
第II卷
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5=( )
A.7B.15
C.20
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若
=
,则
等于( )
A.1B.-1
C.2
3.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n等于( )
A.9B.10
C.11
4.(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( )
C.10
5.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )
A.15B.12
C.-12D.-15
二、填空题
6.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其公差为d=________.
7.{an}为等差数列,Sn为其前n项和,已知a7=5,S7=21,则S10=________.
8.若数列
的前n项和为Sn,且Sn=
,则n=________.
[能力提升]
1.如图224所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为an,则a2+a3+a4+…+an等于( )
图224
3.(2015·安徽高考)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+
(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
资*源%库全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,a
+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=
,求数列{bn}的前n项和.
第III卷
1.已知{an}为等差数列,a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于( )
A.33 B.34
C.35D.36
【答案】 D
【解析】 本题考查等差数列的前n项和公式.由Sn=na1+
d=35n+
×(-2)=0,可以求出n=36.
2.等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则数列前13项的和是( )
A.13B.26
C.52D.156
【答案】 B
【解析】 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24⇒6a4+6a10=24⇒a4+a10=4⇒S13=
=
=
=26.
3.等差数列的前n项和为Sn,S10=20,S20=50.则S30=________.
【答案】 90
【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列.
∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列.
∴2(S20-S10)=(S30-S20)+S10,解得S30=90.
4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=84,S20=460,求S28.
【分析】
(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组,解出a1和d,进而求得S28;
(2)因为数列不是常数列,因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零.设Sn=an2+bn,代入条件S12=84,S20=460,可得a、b,则可求S28;
(3)由Sn=
n2+n(a1-
)得
=
n+(a1-
),故
是一个等差数列,又2×20=12+28,∴2×
=
+
,可求得S28.
【解析】 方法一:
设{an}的公差为d,
则Sn=na1+
d.
由已知条件得:
整理得
解得
所以Sn=-15n+
×4=2n2-17n,
所以S28=2×282-17×28=1092.
方法二:
设数列的前n项和为Sn,则Sn=an2+bn.
因为S12=84,S20=460,
所以
整理得
解之得a=2,b=-17,
所以Sn=2n2-17n,S28=1092.
方法三:
∵{an}为等差数列,
所以Sn=na1+
d,
所以
=a1-
+
n,所以
是等差数列.
因为12,20,28成等差数列,
所以
,
,
成等差数列,
所以2×
=
+
,解得S28=1092.
【规律方法】 基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法,应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法,可以开阔思路,有时可以简化计算.
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10等于( )
A.100 B.210
C.380D.400
【答案】 B
【解析】 d=
=
=4,则a1=3,所以S10=210.
2.在等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,则a10=( )
A.27B.24
C.29D.48
【答案】 C
【解析】 由已知
解得
∴a10=2+9×3=29.
3.数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n-1,则这个数列一定是( )
A.等差数列B.非等差数列
C.常数列D.等差数列或常数列
【答案】 B
【解析】 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1,当n=1时a1=S1=2.
∴an=
这不是等差数列.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于( )
A.6B.7
C.8D.9
【答案】 A
【解析】
∴
∴Sn=na1+
d=-11n+n2-n=n2-12n.
=(n-6)2-36.
即n=6时,Sn最小.
5.一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于( )
A.22B.21
C.19D.18
【答案】 D
【解析】 ∵a1+a2+a3+a4+a5=34,
an+an-1+an-2+an-3+an-4=146,
∴5(a1+an)=180,a1+an=36,
Sn=
=
=234.
∴n=13,S13=13a7=234.∴a7=18.
6.一个有11项的等差数列,奇数项之和为30,则它的中间项为( )
A.8B.7
C.6D.5
【答案】 D
【解析】 S奇=6a1+
×2d=30,a1+5d=5,S偶=5a2+
×2d=5(a1+5d)=25,a中=S奇-S偶=30-25=5.
7.若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,已知
=
,则
等于( )
A.7
【答案】 D
【解析】
=
=
=
=
=
.
8.已知数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )
A.445B.765
C.1080D.1305
【答案】 B
【解析】 an+1-an=3,∴{an}为等差数列.
∴an=-60+(n-1)×3,即an=3n-63.
∴an=0时,n=21,an>0时,n>21,an<0时,n<21.
S′30=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|
=-a1-a2-a3-…-a21+a22+a23+…+a30
=-2(a1+a2+…+a21)+S30
=-2S21+S30
=765.
二、填空题(每小题10分,共20分)
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则数列的通项公式an=________.
【答案】 2n
【解析】 设等差数列{an}的公差d,则
,∴
,∴an=2n.
10.等差数列共有2n+1项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则n等于________.
【答案】 10
【解析】 ∵等差数列共有2n+1项,∴S奇-S偶=an+1=
.
即132-120=
,求得n=10.
【规律方法】 利用了等差数列前n项和的性质,比较简捷.
三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11.在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求a8和S8;
(2)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,求d.
【分析】 在等差数列中,五个重要的量,只要已知三个量,就可求出其他两个量,其中a1和d是两个最基本量,利用通项公式和前n项和公式,先求出a1和d,然后再求前n项和或特别的项.
【解析】
(1)∵a6=10,S5=5,
∴
解方程组,得a1=-5,d=3,
∴a8=a6+2d=10+2×3=16,
S8=
=44.
(2)由Sn=
=
=-1022,
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