分式方程应用题解题思想总结例题分析.docx
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分式方程应用题解题思想总结例题分析
分式方程应用题解题思想总结-例题分析
分式方程应用题分类解析
分式方程应用性问题联系实际比较广泛灵活运用分式的基本性质有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题.本课内容:
营销类应用性问题
工程类应用性问题
行程中的应用性问题
轮船顺逆水应用性问题
浓度应用性问题
货物运输应用性问题
———————————————————————————
一、【营销类应用性问题】
例1.1某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后其平均价比原甲种原料每千克少3元比乙种原料每千克多1元问混合后的单价每千克是多少元?
分析:
市场经济中常遇到营销类应用性问题与价格有关的是:
单价、总价、平均价等要了解它们的意义建立它们之间的关系式.
总价值
价格
数量
甲
2000元
乙
4800元
混合
_元
解:
设混合后的单价为每千克元则甲种原料的单价为每千克元混合后的总价值为(2000+4800)元混合后的重量为斤甲种原料的重量为乙种原料的重量为依题意得:
+=解得
经检验是原方程的根所以.
即混合后的单价为每千克17元.
评析:
营销类应用性问题涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念要结合实际问题对它们表述的意义有所了解同时要掌握好基本公式巧妙建立关系式.随着市场经济体制的建立这类问题具有较强的时代气息因而成为中考常考不衰的热点问题.
例1.2A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次两次饲料的价格有变化但两位采购员的购货方式不同.其中采购员A每次购买1000千克采购员B每次用去800元而不管购买饲料多少问选用谁的购货方式合算?
解:
两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m0,n0,m≠n)依题意得:
采购员A两次购买饲料的平均单价为(元/千克)
采购员B两次购买饲料的平均单价为(元/千克).
而>0.
也就是说采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价所以选用采购员B的购买方式合算.
例1.2
某商场销售某种商品一月份销售了若干件共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了0.4元但是销售量比一月份增加了5000件从而获得利润比一月份多2000元调价前每件商品的利润为多少元?
分析:
可以列出三个等量关系
1.2月份销售量一1月份销售量=5000
2.2月份销售量×2月份利润=2月份总利润
3.1月份利润一2月份利润=0.4
二、【工程类应用性问题】
例2.1甲乙两个工程队合作一项工程两队合作2天后由乙队单独做1天就完成了全部工程。
已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的
倍问甲乙单独做各需多少天?
分析:
单独做所需时间
一天的工作量
实际做时间
工作量
甲
x天
2天
1
乙
(2+1)天
等量关系:
甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1
例2.2
甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字乙的速度是甲的3倍因此比甲少用20分钟完成任务他们平均每分钟输入汉字多少个?
分析:
输入汉字数
每分钟输入个数
所需时间
甲
1500个
x个/分
乙
1500个
3x个/分
等量关系:
甲用时间=乙用时间+20(分钟)
例2.3某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷但实际每天多收割40公顷结果提前4天完成任务试求原计划一天的工作量及原计划的天数。
分析1:
工作总量
一天的工作量
所需天数
原计划情况
960公顷
x公顷
实际情况
960公顷
(x+40)公顷
等量关系:
原计划天数=实际天数+4(天)
分析2:
工作总量
所需天数
一天的工作量
原计划情况
960公顷
实际情况
960公顷
等量关系:
原计划每天工作量=实际每天工作量-40(公顷)
例2.4某工程由甲、乙两队合做6天完成厂家需付甲、乙两队共8700元乙、丙两队合做10天完成厂家需付乙、丙两队共9500元甲、丙两队合做5天完成全部工程的厂家需付甲、丙两队共5500元.
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程问由哪个队单独完成此项工程花钱最少?
请说明理由.
分析:
这是一道联系实际生活的工程应用题涉及工期和工钱两种未知量.对于工期一般情况下把整个工作量看成1设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为天天天可列出分式方程组.
解:
⑴设甲队单独做需天完成乙队单独做需天完成丙队单独做需天完成依题意可得:
①×+②×+③×得++=.④
④-①×得=即z=30
④-②×得=即x=10
④-③×得=即y=15.
经检验x=10y=15z=30是原方程组的解.
⑵设甲队做一天厂家需付元乙队做一天厂家需付元丙队做一天厂家需付元根据题意得
由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队:
甲队和乙队.
此工程由甲队单独完成需花钱元;此工程由乙队单独完成需花钱元.
所以由甲队单独完成此工程花钱最少.
评析:
在求解时把分别看成一个整体就可把分式方程组转化为整式方程组来解.
例2.5
某工程需在规定日期内完成若由甲队去做恰好如期完成;若由乙队去做要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天剩下的工程由乙独做恰好在规定日期完成问规定日期是多少天?
解:
工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数设为x天
那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天.
设工程总量为1甲的工作效率就是乙的工作效率是依题意得
解得 .
即规定日期是6天.
例2.6
今年某大学在招生录取时为了防止数据输入出错2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩?
解:
设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩
依题意得:
解得x=11
经检验x=11是原方程的解且当x=11时2x=22符合题意.
即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩教师乙每分钟能输入11名学生的成绩.
例2.7
甲乙两人做某种机器零件。
已知甲每小时比乙多做6个甲做90个所用的时间与乙做60个
所用的时间相等。
求甲、乙每小时各做多少个?
分析:
甲每小时做x个零件做90个零件所用的时间是(90÷x)小时还可用式子小时来表示。
乙每小时做(x-6)个零件做60个零件所用的时间是[60÷(x-6)]小时还可用式子小时来表示。
等量关系:
甲所用时间=乙所用时间
三、【行程中的应用性问题】
例3.1甲、乙两个车站相距96千米快车和慢车同时从甲站开出1小时后快车在慢车前12千米快车比慢车早40分钟到达乙站快车和慢车的速度各是多少?
分析:
所行距离
速度
时间
快车
96千米
x千米/小时
慢车
96千米
(x-12)千米/小时
等量关系:
慢车用时=快车用时+
(小时)
例3.2甲、乙两地相距828km一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发2h比普通快车早4h到达乙地求两车的平均速度.
分析:
这是一道实际生活中的行程应用题基本量是路程、速度和时间基本关系是路程=速度×时间应根据题意找出追击问题总的等量关系即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等.
解:
设普通快车车的平均速度为km/h则直达快车的平均速度为1.5km/h依题意得
=解得
经检验是方程的根且符合题意.
∴
即普通快车车的平均速度为46km/h直达快车的平均速度为69km/h.
评析:
列分式方程与列整式方程一样注意找出应用题中数量间的相等关系设好未知数列出方程.不同之处是:
所列方程是分式方程最后进行检验既要检验其是否为所列方程的解要要检验是否符合题意即满足实际意义.
例3.3A、B两地相距87千米甲骑自行车从A地出发向B地驶去经过30分钟后乙骑自行车由B地出发用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来两人在距离B地45千米C处相遇求甲乙的速度。
分析:
所行距离
速度
时间
甲
(87-45)千米
x千米/小时
乙
45千米
(x+4)千米/小时
等量关系:
甲用时间=乙用时间+
(小时)
例3.4一队学生去校外参观.他们出发30分钟时学校要把一个紧急通知传给带队老师派一名学生骑车从学校出发按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
解:
设步行速度为x千米/时骑车速度为2x千米/时依题意得:
方程两边都乘以2x去分母得
30-15=x 所以x=15.
检验:
当x=15时2x=2×15≠0
所以x=15是原分式方程的根并且符合题意.
∵∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟.
例3.5农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机一部分人骑自行车先走40分钟后其余的人乘汽车出发结果他们同时到达已知汽车的速度是自行车的3倍求两车的速度.
解:
设自行车的速度为x千米/小时那么汽车的速度为3x千米/小时依题意得:
解得 x=15.
经检验x=15是这个方程的解.
当x=15时3x=45.
即自行车的速度是15千米/小时汽车的速度为45千米/小时.
例3.6甲乙两人同时从一个地点相背而行1小时后分别到达各自的终点A与B;若从原地出发但是互换彼此的目的地则甲将在乙到达A之后35分钟到达B求甲与乙的速度之比。
分析:
等量关系:
甲走OB的时间-乙走OA的时间=35分钟
四、【轮船顺逆水应用问题】
例4.1轮船顺流、逆流各走48千米共需5小时如果水流速度是4千米/小时求轮船在静水中的速度。
分析:
顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度
逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度
路程
速度
时间
顺流
48千米
(x+4)千米/小时
逆流
48千米
(x-4)千米/小时
等量关系:
顺流用时+逆流用时=5(小时)
例4.1轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等已知水流速度为2千米/时求船在静水中的速度。
分析:
此题的等量关系很明显:
顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间即=.设船在静水中的速度为千米/时又知水流速度于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示问题可解决.
解:
设船在静水中速度为千米/时则顺水航行速度为千米/时逆水航行速度为千米/时依题意得
=解得.
经检验是所列方程的根.
即船在静水中的速度是10千米/时.
五、【浓度应用性问题】
例5要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%.
分析:
设加入盐千克.浓度问题的基本关系是:
=浓度.
溶液
溶质
浓度
加盐前
40
40×15%
15%
加盐后
40+
40×15%+
20%
解:
设应加入盐千克依题意得=.
100(40×15%+)=20(40+)解得.
经检验是所列方程的根即加入盐2.5千克.
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