7年级第04讲奇数与偶数.docx
- 文档编号:15927782
- 上传时间:2023-07-09
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:21.35KB
7年级第04讲奇数与偶数.docx
《7年级第04讲奇数与偶数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《7年级第04讲奇数与偶数.docx(11页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
7年级第04讲奇数与偶数
第4讲奇数与偶数
知识方法扫描
能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数。
要注意运用奇数与偶数的下列性质解题:
1.两个整数的和与差有相同的奇偶性;
2.奇数个奇数的和还是奇数,偶数个奇数的和是偶数;
3.当为n偶数时,(-1)n=1;当为奇数时,(-1)n=-1.
4.两个整数相加,若加数的奇偶性相同,那么它们的和是偶数;加数的奇偶性不同,那么它们的和是奇数。
5.两个整数相乘,若乘数中有一个是偶数,那么乘积是偶数;如果乘数都是奇数,那么乘积是奇数。
6.奇数≠偶数。
经典例题解析
例1.(1987年天津“中华少年杯”初中数学邀请赛试题)
扑克牌中的A,J,Q,K分别表示1,11,12,13。
甲取13张红桃,乙取13张黑桃,分别洗和后甲、乙依次各取个各一张牌,使红、黑牌配成13对。
证明这13对数的差的积必为一个偶数。
证法1:
由于13张牌中的点数有7个奇数,6个偶数,所以当红、黑牌配成13对后,至少有一对数的奇偶性相同,这对数的差是偶数,于是这13对数的差的积必为一个偶数。
证法2:
由于13对数的和是0,所以不可能每对数得差都是奇数,否则它们的和为一个奇数。
于是至少有一对数的差为偶数,即这13对数的差的积必为一个偶数。
例2(1985年北京市初中数学竞赛试题)
某电影院共有1985个座位。
某天,这家电影院上下午各演一场电影,看电影的是甲乙两所中学的各1985名学生(同一个学校的学生有的看上午场,有的看下午场),试证明:
电影院一定有这样的座位,这天看电影时上,下午在这个座位上坐的是两个不同学校的学生。
证明:
甲,乙两校看电影的学生都是1985人,电影院的座位也恰是1985.作如
对每个学生上午场与下午场人数应相等,则n=1985-n.即2n=1985.
等式的左边是偶数,而右边是奇数,这个等式不可能成立。
所以,至少存在这样一个座位,上,下午坐的是甲,乙不同学校的学生。
例3.(1981年福州初中数学竞赛试题)
设沿江有A1,A2,A3,A4,A5.A6六个码头,相邻两码头间的距离相等.早晨有甲、乙两船从A1出发,各自在这些码头间多次往返运货.傍晚,甲船停泊在A6码头,乙船停泊在A1码头.求证:
无论如何,两船的航程总不相等(假定船在相邻两码头航行时,中途不改变航向).
证明六个码头把A1到A6这段水路分成5个小段,设每段水路的长为a,由于船在任意一个码头出发,又返回码头时,往返每小段的水路总是相同的,因此,乙船的航程是a的偶数倍.甲船的航程是从A1到A6再加上各码头之间的往返路程,即5a+a的偶数倍=a的奇数倍,a的偶数倍≠a的奇数倍,故甲、乙船的航程总不相等.
例4.(1993年第4届“希望杯”数学邀请赛试题)
你能找到三个整数a,b,c,使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388
成立吗?
如果能找到,请举一例,如果找不到,请说明理由.
解:
找不到满足条件的三个整数理由如下:
如果存在整数a,b,c,使
(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立.
因为3388是偶数,则左边四个因子中至少有一个是偶数.
不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数,同理a+b-c=(a+b+c)-2c
为偶数.b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数.
因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除,而3388不能被16整除,得出
矛盾.
故不存在三个整数a,b,c满足关系式
(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388.
例5.(第10届全俄中学生数学竞赛试题)
在3×3的表格
(1)和
(2)中,每格填有“+”号或“-”号,然后每次将表格中的任意一行或任意一列的各格全部变号,试问重复若干次这样的“变号”程序后,能否从一张表变为另一张表?
表
(1)表
(2)
解考察两张表中位于左上角的2×2的小正方形,如下图中的黑框所示:
表
(1)表
(2)
表
(1)中的小正方形中有4个“+”号,实施变号步骤后,“+”号的个数仍然是偶数;表
(2)中的小正方形中有1个“+”号,实施变号步骤后,“+”号的个数仍然是奇数。
故它们不能从一个变到另外一个。
显然2×2的小正方形互变无法实现,所以3×3的大正方形的互变也无法实现。
例6.(2007年第18届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题)
小明在平面上标出了2007个点并画了一条直线l,他发现:
这2007个点中的每一个关于直线l对称点,仍然在这2007个点中。
请你说明:
这2007个点中至少有一个点在直线l上。
解假设这2007个点都不在直线l上。
由于其中每个点Ai(i=1,2,…,2007)关于直线l对称点Ai’仍在这2007个点中,所以Ai’也都不在直线l上。
也就是说,不在直线l上的Ai(i=1,2,…,2007)与Ai关于直线l对称点Ai’成对出现,即平面上标出的点的总数应是偶数个,与点的总数2007相矛盾。
因此,“这2007个点都不在直线l上”的假设不能成立,即这2007个点中至少有一个点在直线l上。
例7(1985年安徽省初中数学竞赛试题)
设有n个实数:
x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1,就是-1,且11
22310nnnxxxxxxxx-++++=,求证:
n是4的倍数。
证明首先证n为偶数:
因n个实数:
x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1,就是-1,
所以n个分数:
1
2xx,23xx,…,1nnxx-,1nxx中的每一个不是+1,就是-1。
而这n个分数和为0,所以n为偶数,设n=2k(k为整数),则n个分数中有k个+1,k个-1。
其次证k为偶数:
因n个分数的积为1
2xx?
23xx?
…?
1nnxx-?
1nxx=1,即(+1)k(-1)k=1,(-1)k=1,所以k为
偶数,从而n=2k为4的倍数。
例8(2000年世界城际间数学联赛初中组试题)
在15×15的棋盘上放置着15个“车”,彼此互不攻击,它们像“马”一样,各行一步。
求证:
现在有两个互相攻击。
证明:
记下每个车的行号和列号.因为彼此互不攻击,行号像列号那样都是各不相同的,所以,在这30个号中,有16个奇数14个偶数,当车移动一马步
时,它的行号改变1,列号改变2,或行号改变2,列号改变1.这样各行一步后,30个号中的15个保持奇偶性,而剩余的15个改变它们的奇偶性.因此移动后,它们之中有16个奇号14个偶号是不可能的.这就意味着一定有两个车互相攻
击..
原版赛题传真
同步训练
一选择题
1.(2001年全国初中数学联赛试题)
如果a,b,c是三个任意的整数,那么,,222abbcca+++()
(A)都不是整数(B)至少有两个整数(C)至少有一个整数(D)都是整数
1.C
2.(1994年澳洲初中数学竞赛AMC试题)
如果n是整数,那么下列各数中一定为奇数的一个是()
(A)5n(B)n2+5(C)n3(D)n+16(E)2n2+5
2.E
3.(2001年第16届江苏初中数学竞赛试题)
已知三个数a,b.c中有两个奇数,一个偶数,n是整数。
如果S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+3n+3),那么()
(A)S是偶数(B)S是奇数
(C)S的奇偶性与n的奇偶性相同(D)S的奇偶性不能确定
3.A
因a,b.c中有两个奇数,一个偶数,故a+b+c为偶数,于是(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)=a+b+c+6n+6为偶数,从而(a+n+1)、(b+2n+2)、(c+3n+3)三数中至少有一个偶数(否则其和为奇数)所以S是偶数。
4.(1994-1995学年度武汉等五市初一数学联赛试题)
如果a,b,c都是正整数,且a,b是奇数,则23
(1)abc+-是()。
(A)只当c为奇数时,其值为奇数(B)只当c为偶数时,其值为奇数
(C)只当c为3的倍数时,其值为奇数(D)无论c为任意整数,其值为奇数
4.D
5.(1994年北京市初中数学竞赛)
四个学生进行计算比赛,程序是:
在19,20,21,22,…,93,94这76个自然数相邻两个数之间任意添加“+”…“-”号,然后,求其代数和,四个人得到的结果分别是1,153,4106,4260.老师检查后指出,只有一个结果是正确的,则这个结果是()
(A)1(B)153(C)4106(D)4260
5.C
19+20+21+22…+93+94
38113(1994)(2093)(2192)(5657)113384294
=++++++++?
共对,每对之和为==
可见,这76个自然数相邻两数之间都添加“+”号时,其和为4294是偶数,由于这76个自然数相邻两数之间任意添加“+”“-”号,其代数和的奇偶性不变,均应是偶数,所以不能得1,也不能得153.
最接近4294的“和数”是将19,20之间填入“-”号,其余均填“+”号,其代数和为
4294-2×20=4254<4260.
因此,4260不可能是这76个自然数经过添加“+”“-”号后所取到的“和数”。
因此,正确结果只能是4106.
事实上,只有93,94之间添加“-”号,其余均添加“+”号,有
19+20+21+22+…+91+92+93-94=4106
即4106是可以取到的“和数”。
故选C。
二填空题
6.(1987年全国部分省市初中数学通讯赛题)
若7个连续偶数之和为1988,则此7个数中最大的一个是________
6.290
7.(2003年哈尔滨第26届初中数学竞赛试题)
已知ab+9=x,其中,a,b均为小于1000的质数,x是奇数,则x的最大值是。
7.2003
a,b中必然有一个是偶质数2,另外一个应是小于1000的最大质数997,x=2×99×7+9=2003.
8.(2007年第5届创新杯数学邀请赛初一试题)
47个不同的自然数的和是2006,这47个自然数中三最多有个奇数。
8.44
设有a个奇数,47-a个偶数,显然a必为偶数。
下面讨论最多有多少个奇数:
若a=46,则1+3+5+…+91=462=2116>2006,不合题意;
若a=44,则1+3+5+…+87=442=1936,
因2006-1936=70,故另外三个偶数的和为70(如2,4,64),即符合题意。
所以奇数最多为44个。
9.(1985年北京市初中数学竞赛)
在一次象棋比赛中,每个选手恰好比赛一局,每局赢者记2分,输者记0分,平局每个选手各记1分,今有4个人统计了这次比赛中全部得分总数,由于有的人粗心,其数据各不相同,分别为1979,1980,1984,1985,经核实,其中有一人统计无误,则这次比赛共有____名选手参加.
9.45
每局比赛不管胜负如何,双方得分的和为2,从而全部得分总数应为偶数,于是只有1980,1984中的一个正确,设有x人参加比赛,则共比赛了2)
1(-?
xx场,
总得分为)1(-?
xx分,若xxx,1984)1(=-?
不是整数,不合题意;,1980)1(=-?
xx得x=45,符合题意.
10.(2007年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题)
从1,2,3,…,2006中,至少要取出个奇数才能保证存在两个数,它们的和为2008
10.504
将1,2,3,…,2006中所有的奇数按和为2008的两个一组配成503组:
(1,2007),(3,2005),(5,2003),…(1003,1005)。
于是至少要取出504个奇数才一定有两个数同组,它们的和为2008。
三解答题
11.(第36届美国中学生数学竞赛试题)
将奇正数1,3,5,7…排成五列,按下表的格式排下去,1985所在的那列,从左数起是第几列?
1357
1513119
17192123
31292725
…………
11.由表格可知,每行有四个正奇数,而1985=4×496+1,因此1985是第497行的第一个数,又奇数行的第一个数位于第二列,偶数行的第一个数位于第四列,所以从左数起,1985在第二列.
12.(1984年全苏数学奥林匹克试题)
若n是正整数
(1)有n个整数它们的积等于n,和等于0求证:
n是4的倍数
(2)设n是4的倍数,求证:
可以找到n个整数,它们的积等于n,和等于0。
12.
(1)证明:
设n个整数为x1,x2,x3,…xn根据题意得
1231230nnxxxxnxxxx=?
?
++++=?
①②
如果n为正奇数,由方程①可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数,而奇数个奇数的和必是奇数,这不适合方程②右边的0,所以n一定是偶数;
当n为正偶数时,方程①左边的x1,x2,x3,…xn中,至少有一个是偶数,而要满足方程②右边的0,左边的奇数必须是偶数个,偶数至少有2个。
所以n是4的倍数。
(2)当n=4k时,
若k为奇数,x1=2,x2=2k,x3=x4=…=x3k=1,x3k+1=x3k+2=…=x4k=-1
其中有一个为2,一个为-2k,3k-2个为1,k个为-1。
积等于2×(-2k)×13k-2×(-1)k=4k=n,和等于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=0若k为偶数,x1=-2,x2=-2k,x3=x4=…=x3k+2=1,x3k+3=x3k+k=…=x4k=-1
其中有一个为-2,一个为-2k,k个为1,3k-2个为-1,
积等于(-2)×(-2k)×1k×(-1)3k-2=4k=n,和等于2+(-2k)+(3k-2)×1+k×(-1)=0
13.(1981南斯拉夫数学奥林匹克)
一只老鼠偷吃梭长为3,并切成27块单位立方体的立方体奶酪.当老鼠吃完了某一小立方块后,就再吃相邻的(有公共侧面)另一个小立方块.问,这只老鼠能吃遍除正中央那个立方块之外的全部小立方块吗?
13.除中央那个小立方体外的26个小立方体接国际象棋棋盘方式用白色两色染色,使得恰有2个侧面在大立方体表面的l2个小立方体为白色,而余下14个小立方体为黑色,注意,在任意两个具有公共表面的小立方体中必有一个为白色,另一个为黑色,如果老鼠能吃完所说的26个小立方体,则这些小立方体可以分为13对,每一对有一个白色小立方体,一个黑色小立方体,于是白色与黑色小立方体一样多,不可能,因此老鼠不能吃完所给的小立方体.
14.(2005年河南省初二数学竞赛试题)
环行跑道的一周插了若干红、黄两种颜色的彩旗,已知一共变色了46次(一个红旗与一个黄旗相邻或一个黄旗与一个红旗相邻,称为一次变色),现可将相邻的旗子对调,如果若干次对调后,变色次数减少为26次。
试说明:
在对调过程中,必有一个时刻,彩旗的变色次数恰好为28次。
14.我们首先说明,将相邻的旗子对调一次,变色次数或不变,或增加2次或减少2次。
显然,如对调两旗同色,则不改变变色数。
以下为了方便,用〇表示红色旗,用△表示黄色旗,可设对调前两旗为〇△,因对调一次只可能影响这两旗相邻旗子的变色数,因此(考虑到对称性),只需考虑如下几种对调前的情形:
〇〇△△,〇〇△〇,△〇△〇,△〇△△(变色数依次为1,2,3,2),将中间两旗对调后变为〇△〇△,〇△〇〇,△△〇〇,△△〇△(变色数依次为3,2,1,2),由此可见变色次数或不变,或增加2次或减少2次。
由原来的变色数46,经过若干次增、减2,现在成为26,故必须经过46与26之间所有的偶数。
特别的,必有一刻得到了数28。
15.(首届全国中学生数学冬令营试题)
能否把1,1,2,2,3,3,…,1986,1986这些数排成一行,使得两个1之间夹着一个数,两个2之间夹着两个数,…,两个1986、之间夹着一千九百八十六个数?
请证明你的结论.
15.证明将1986×2个位置按奇数位着白色,偶数位着黑色染色,于是黑白点各有1986个.
现令一个偶数占据一个黑点和一个白色,同一个奇数要么都占黑点,要么都占白点.于是993个偶数,占据白点A1=993个,黑色B1=993个.
993个奇数,占据白点A2=2a个,黑点B2=2b个,其中a+b=993.因此,共占白色A=A1+A2=993+2a个.黑点B=B1+B2=993+2b个,
由于a+b=993不是偶数,所以a≠b,从而得A≠B.这与黑、白点各有1986个矛盾.故这种排法不可能.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 年级 04 奇数 偶数
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)