八上数学总复习各章知识点总结与整理.docx
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八上数学总复习各章知识点总结与整理
八上数学总复习各章知识点总结与整理
轴对称与轴对称图形
1.什么叫轴对称:
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后,能够与另一个图形,那么这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做,两个图形中的对应点叫做点。
2.什么叫轴对称图形:
如果把一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个
做图形,这条直线叫做对称轴。
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系:
区别:
①轴对称是指个图形沿某直线对折能够完全重合,而轴对称图形是指个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的关系;轴对称图形是反映一个图形的。
联系:
①两部分都完全,都有,都有。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体,这个整体就是一个图形。
如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成图形,这两个部分图形就成的关系。
常见的轴对称图形有:
圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
等腰三角形有条对称轴,等边三角形有条对称轴,矩形形条对称轴,正方形有条对称轴,菱形有条对称轴,圆有条对称轴.
5,图形轴对称的性质
①如果两个图形成轴对称,那么这两个图形。
②对称轴是任何一对对应点所连线段的;
③轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的.
6.怎样画轴对称图形:
画轴对称图形时,应先确定对称轴,再找出对称点。
7.线段的垂直平分线:
垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的。
(也称线段的中垂线)
线段、角的轴对称性
知识点:
1.线段的轴对称性:
1线段是轴对称图形,对称轴有条;一条是,
另一条是。
②线段的垂直平分线上的点到段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点,在这条线段的上。
结论:
线段的垂直平分线是点的集合
2.角的轴对称性:
①角是图形,对称轴是。
②角平分线上的点距离相等。
③到角的两边距离相等的点,在这个角的上。
结论:
角的平分线是的点的集合
等腰三角形的轴对称性
1.等腰三角形的性质:
①等腰三角形是对称图形,是它的对称轴;
②等腰三角形的两个底角;(简称“等边对”)
③等腰三角形的顶角的、底边上的、底边上的互相重合。
(简称“合一”)
2.等腰三角形的判定:
①如果一个三角形有相等,那么这个三角形为等腰三角形;
②如果一个三角形有2个相等,那么这2个角所对的边也相等;(简称“等角对等边”)
3.等边三角形:
1等边三角形的定义:
边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
2等边三角形的性质:
(1)等边三角形是对称图形,并且有条对称轴;
(2)等边三角形的每个角都等于0。
③等边三角形的判定:
(1)3条相等的三角形是等边三角形;
(2)3个相等的三角形是等边三角形;
(3)有两个角等于0的三角形是等边三角形;(4)有一个角等于0的三角形是等边三角形。
4.三角形的分类:
斜三角形:
三边都不相等的三角形。
三角形只有两边相等的三角形。
等腰三角形
等边三角形
勾股定理、勾股定理的应用
1、勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学式子:
∠C=900
2、神秘的数组(勾股定理的逆定理):
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
数学式子:
∠C=900
满足a2+b2=c2三个正整数数a、b、c叫做数。
直角三角形的性质
①直角三角形两个锐角。
②直角三角形两直角边的平方和等于。
③直角三角形斜边上的中线等于斜边上的
④直角三角形中,300所对的直角边等于的一半。
平方根、立方根
1、什么叫做平方根?
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做的a,也称为次方根。
数学语言:
如果
,那么
就叫做
的平方根。
4的平方根是;
的平方根是。
的平方根是,2的平方根是。
如果
,那么
。
如果形x2=3,那么
。
2、平方根的表示方法:
一个正数
的正的平方根,记作“
”,正数
的负的平方根记作“
”。
这两个平方根合起来记作“
”,读作“正,负根号a”.
表示,
=,(
)2=,(
)2=.
3、平方根的性质:
一个正数的平方根有个,它们互为;0只有个平方根,它是;
负数平方根。
求一个数的平方根的运算叫做。
4、算术平方根:
正数有两个平方根,其中正数的的平方根,叫的算术平方根.
例如,4的平方根是
,叫做4的算术平方根,
2的平方根是
,叫做2的算术平方根,
5、算术平方根的性质:
⑴
;
中被开方数
。
⑵
(a≥0),
(a≤0)
(3)
(a≥0)
6、什么叫做立方根?
如果
那么x就叫做a的根,也称为次方根a的立方根。
记为
,
读作“三次根号a”.
7、立方根的概念:
正数的立方根是数,负数的立方根是数,0的立方根是。
互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。
求一个数的立方根的运算叫做开。
-27的立方根是;
的立方根是,2的立方根是。
-5的立方根是。
实数、近似数与有效数字
知识点:
1、什么是有理数?
整数和分数统称有理数。
2、什么是实数?
是无理数。
有理数和无理数统称数。
常见的无理数有:
⑴无限不循环小数:
如0.……
⑵开不尽的根号:
如
、
、
、
等
⑶圆周率
:
如
-3.14、
等。
4、近似数的认识:
取一个数的近似值有多种方法,四舍五入是最常用的一种方法。
用四舍五入法取一个数的近似数时,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
例如,圆周率π=3.…
取π≈3,就是精确到个位(或精确到1)
取π≈3.1,就是精确到十分位(或精确到0.1)
取π≈3.14,就是精确到百分位(或精确到0.01)
取π≈3.142,就是精确到千分位(或精确到0.001)
2、有效数字:
对一个近似数,从左面第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
例如:
上面圆周率π的近似值中,3.14有3个有效数字3,1,4;
3.142有4个有效数字3,1,4,2.
例题1下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位,各有几个有效数字
3.14
0.00010
3800
3.800
4.50万
3.38亿
2.356×105
3.04×103
有效数字个数
精确到的位数
例题2按要求取近似值
(1)62.5249(精确到百分位)
(2)15.03(精确到10位)
(3)(保留两个有效数字)(4)2.537×104(精确到千位)
中心对称与中心对称图形
知识点:
1、图形的旋转:
在平面内,将一个图形绕一个定点旋转一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转,这个定点称为,旋转的角度称为。
旋转前、后的图形。
对应点到旋转中心的距离。
每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此。
2、中心对称:
把一个图形绕着某一个点旋转°,如果它能够与另一个图形,那么称这两个图形关于这一点成对称,这个点叫做对称,两个图形中的对应点叫做点。
注意:
①中心对称是旋转的一种特例,因此,
成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。
②成中心对称的2个图形,对称点的连线都经过对称中心,
并且被对称中心。
3、中心对称图形:
把一个平面图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做图形。
这个点就是它的对称。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心。
4、中心对称与中心对称图形之间的关系:
区别:
(1)中心对称是指个图形的关系,中心对称图形是指个具有某种性质的图形。
(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上,中心对称图形的对称点在一个图形上。
联系:
若把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们成中心对称;若把中心对称的两个图形看成一个整体,则成为中心对称图形.
5、对比轴对称图形与中心对称图形:
轴对称图形
中心对称图形
有一条对称轴——直线
有一个对称中心——点
沿对称轴对折
绕对称中心旋转180O
对折后与原图形重合
旋转后与原图形重合
平行四边形
知识点:
1、平行四边形的定义:
2组对边分别的四边形叫做平行四边形。
记作:
□ABCD,读作平行四边形ABCD.
平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心。
2、平行四边形的性质:
①平行四边形的对边且;
②平行四边形的对角;
③平行四边形的对角线。
④平行四边形是对称图形。
3、平行四边形的判定:
①组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③组对角分别相等的四边形是平行四边形;
④对角线的四边形是平行四边形;
⑤组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
矩形、菱形、正方形
知识点:
1、矩形的定义:
有一个角是角的平行四边形叫做矩形,通常也叫长方形。
2、矩形的性质:
①矩形既是对称图形也是中心对称图形,对称轴是所在直线,有条,对称中心是的交点。
②矩形的四个角都是。
③矩形的对边且;④矩形的对角线。
3、矩形的判定:
①有一个角是角的形是矩形;
②对角线的形是矩形;
③有3个角是的形是矩形。
4、菱形的定义:
有一组相等的平行四边形叫做菱形。
5、菱形的性质:
①菱形既是对称图形也是中心对称图形,对称轴是所在直线,有条,对称中心是的交点。
②菱形的都相等;③菱形的对角
④菱形的对角线互相,并且每一条对角线。
6、菱形的判定:
①有相等的形是菱形;
②都相等的形是菱形;
③对角线互相的平行四边形是菱形。
(对角线互相的四边形是菱形。
)
7、菱形的面积:
S菱形=
AC·BD=底×高
8、正方形的定义:
有一组边相等并且有一个角是角的平行四边形叫做正方形。
9、正方形的性质:
①正方形既是对称图形也是中心对称图形,对称轴是所在直线,有条,对称中心是的交点。
②正方形的都相等;③正方菱形的角都等于
④正方形的对角线互相,并且每一条对角线。
正方形具有形的性质,同时又具有形的性质。
10、正方形的判定:
①有一组边相等并且有一个角是角的四边形是正方形;
②有一组边相等形是正方形;
③有一个角是角的形是正方形。
11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:
梯形等腰梯形
⒈梯形定义:
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
(一组对边另一组对边的四边形叫梯形。
或一组对边且的四边形叫梯形。
)
⒉等腰梯形定义:
相等的梯形叫做等腰梯形。
⒊直角梯形定义:
一腰于底的梯形叫做直角梯形。
4.等腰梯形的性质:
①等腰梯形是对称图形,是的连线所在的直线。
②等腰梯形同一底上两角相等。
③等腰梯形的对角线。
3.等腰梯形的判定:
①两相等的梯形是等腰梯形
②在同一底上的角相等的梯形是等腰梯形。
③补充:
相等的梯形是等腰梯形,
4、梯形的中位线:
⑴连结梯形两腰的线段叫做梯形的中位线。
5.梯形中位线的性质
梯形的中位线于两底,并且等于两底的一半。
6.梯形的面积:
梯形的面积==
7.梯形中常用结论(用于填空选择)
(1)在梯形ABCD中,AD∥BC,若AC⊥BD,则AC2+BD2=(+)2
(对角线互相垂直的梯形上底与下底的平方等于两条对角线的)
(2)在梯形ABCD中,AD∥BC,若AB=CD,AC⊥BD,E是AB中点.F是CD中点,则高h=,
面积=
(对角线互相垂直的等腰梯形高等于,面积等于)
(3)如图所示,在梯形ABCD中,AD//BC,若E、F分别为对角线BD、AC的中点。
则EF//BC//AD,且EF=
(-)
(梯形对角线中点之间的线段等于。
)
解决梯形问题常用的方法:
1.平移一腰2.作高3.平移对角线
E
EF=中两底的(AE+FB)=两底的BE=两底的
4.构造8字全等
DE=两底的S梯形ABCD=S三角形S梯形ABCD=S四边形
5.当有一腰中点时,取另一腰的中点6.上下底边有中点时,过上底中点
并连结两腰中点。
构造梯形的中位线作两腰的平行线
GH=两底的
7.延长两腰
综上所述:
解决梯形问题的基本思想和方法是:
梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题。
三角形中位线
1、三角形的中位线:
⑴连结三角形两边中点的叫做三角形的中位线.
三角形的中线
连结三角形一个点和对边的点的叫做三角形的中线
2.三角形中位线的性质
三角形的中位线于第三边并且等于它的.
3.常用结论(用于填空选择)
F
(1)若在△ABC中,D为AB边的中点,E为AC边的中点,F为BC边的中点。
则C△DEF=C△ABC,S△DEF=S△ABC
则AF的DE关系是
四边形ADFE为。
若AB=AC,则四边形ADFE为。
若AB⊥AC,则四边形ADFE为。
若AB=AC,AB⊥AC则四边形ADFE为。
4.若四边行ABCD中,E、F、G、H为四边行ABCD各边的中点,
则四边形EFGH为。
(顺次连接四边形各边中点所得四边形为)
若ACBD,则四边形ADFE为矩形。
(顺次连接对角线的四边形各边中点所得四边形为为矩形。
)
若ACBD,则四边形ADFE为菱形。
(顺次连接对角线的四边形各边中点所得四边形为为菱形。
)
若ACBD且ACBD,则四边形ADFE为正方形。
(顺次连接对角线的四边形各边中点所得四边形为正方形。
)
数量、位置的变化、平面直角坐标系
知识点一、坐标系的理解
(一)平面直角坐标系
1、历史:
法国数学家笛卡儿最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形;
2、构成平面直角坐标系的要素:
两条数轴,(满足的条件①有,②互相,③有相同的)
3、构成坐标系的各种名称;
横轴(也叫轴)、纵轴(也叫轴)、两轴统称为。
坐标系右上方的叫第象限、然后依次按方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。
(二)有序实数数对:
1.有顺序的两个数a与b组成的数对。
记作(a,b);a为坐标,b为坐标
2.平面直角坐标系内的点与一一对应。
知识点二、已知坐标系中特殊位置上的点,求点的坐标
1.点在x轴上,坐标为零,记为。
在x轴的负半轴上时,x0,在x轴的正半轴上时,x0
2.点在y轴上,坐标为零,记为。
在y轴的负半轴上时,y0,在y轴的正半轴上时,y0
3.第一、三象限角平分线上的点的(即在y=x直线上);
4.第二、四象限角平分线上的点的(即在y=-x直线上);
知识点三:
点符号特征。
点在第一象限时,横、纵坐标都为,点在第二象限时,横坐标为,纵坐标为,点有第三象限时,横、纵坐标都为,点在第四象限时,横坐标为,纵坐标为;
知识点四:
对称点的坐标特征。
关于x对称的点,横坐标,纵坐标互为;
关于y轴对称的点,坐标不变,坐标互为相反数;
关于原点对称的点P,横坐标,纵坐标。
关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称
知识点五:
与轴平行的点的特征。
1.在与
轴平行的直线上,所有点的坐标相等;如图点A、B的坐标都等于
;
若A(a,m),b(b,m),则AB=
.
2.在与
轴平行的直线上,所有点的坐标相等;如图点C、D的坐标都等于
;
若C(n,c),b(n,b),则CB=
.
知识点七:
两点之间的距离问题。
1.P1(X1,Y1)到P2(X2,Y2)的距离为,2.P(X,Y)与原点(0,0)的距离为
3.P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),当x1=x2是,P1P2=,
4.P1(X1,Y1),P2(X2,Y2),当y1=y2是,P1P2=
知识点八:
平移问题。
1、点的平移规则:
平移a个单位长度(a>0)
向左平移→横坐标,向右平移→横坐标
向上平移→纵坐标,向下平移→纵坐标,。
2、图形的整体平移:
找到所有关键点(如多边形的顶点,线段的端点等)进行平移
知识点九:
中点公式。
P1(X1,Y1)、P2(X2,Y2)的中点坐标为
函数
1、在一个变化过程中可以取不同数值的量叫量。
在一个变化过程中不会变化的量叫量。
2、函数:
一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有值与其对应,那么我们就把x称为变量,把y称为变量,y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应
3、确定自变量的取值范围:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母(3)关系式含有偶次次根式时,被开放方数
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相,使之有意义。
4、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量的值作为点的坐标,因变量的值作为点坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的.
5、函数解析式:
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的式。
6、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:
(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:
(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);
第三步:
(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法
①法:
②法:
③法:
9.正比例函数y=kx的图象是经过的一条;
10.画正比例函数y=kx的图象,通常先取(0,__)和(1,___)两点,再过两点作直线;
11.画一次函数y=kx+b的图象,通常选择先取(0,___)和(____,0),再过两点作直线。
一次函数y=kx+b的图象与性质
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第限
经过第象限
经过第象限
简图:
简图:
简图:
性质:
图象从左到右,y随x的
k<0
经过第象限
经过第象限
经过第象限
简图:
简图:
简图:
性质:
图象从左到右,y随x的
12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移个单位长度而得到(当b>0时,向平移;当b<0时,向平移).
13,直线y=kx+b与坐标轴的交点
①求y=kx+b与x轴的交点坐标方法:
令=0,所以y=kx+b与x轴的交点坐标为。
②求y=kx+b与y轴的交点坐标方法:
令=0,所以y=kx+b与y轴的交点坐标为。
③直线y=kx+b与坐标轴所围的三角形面积是。
14.直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
(1)当k1=k2且b1
b2,两直线;
(2)k1
k2,两直线;
(3)k1=k2且b1=b,2两直线。
15.直线的上下平移问题
(1)直线y=kx+b向上平移m(m>0)个单位,得到新的解析式为
(2)直线y=kx+b向下平移m(m>0)个单位,得到新的解析式为
上下平移口诀:
(3)直线y=kx+b向右平移m(m>0)个单位,得到新的解析式为
(4)直线y=kx+b向左平移m(m>0)个单位,得到新的解析式为
左右平移口诀:
16.直线y=kx+b的倾斜度问题
(1)|k|叫做,|b|叫做
(2)|k|越大,图象与x轴的夹角(指锐角);
(3)|k|越小,图象与x轴的夹角(指锐角).
(4)|k|=1时,图象与x轴的夹角(指锐角)是;
(5)|k|=
时,图象与x轴的夹角(指锐角)是;
(6)|k|=
时,图象与x轴的夹角(指锐角)是;
17.求两个一次函数式图像交点坐标:
解两函数式
两个一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2
方法一:
联列两个函数,构成方程组
方程组的就是两函数的交点坐标。
方法二:
令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2求得方程的解x的值,这个x的值就是交点的坐标,
再代入函数y1或y2求得纵坐标的值。
一次函数与二元一次方程的关系:
一般地,一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的;
以二元一次方程kx-y+b=0的解为的点都在一次函数y=kx+b的图象上。
⑵两个一次函数与二元一次方程组的解的关系:
一般地,如果两个一次函数的图象有一个交点,那么交点的就是相应的二元一次方程组的解。
所以解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法。
用图象法解二元一次方程组的步骤如下:
①把二元一次方程化成一次函数的形式;
②在直角坐标系中画出两个一次函数的图像,并标出交点;
③交点坐标就是方程组的解。
18、一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次不等式ax+b>0的解集可以看作一次函数y=kx+b的函数值y0时,自变量的取值范围.
一元一次不等式ax+b<0的解集可以看作一次函数y=kx+b的函数值y0时,自变量的取值范围.
数据的集中程度
知识点:
1、平均数:
一般地,对于n个数x1,x2,…,xn我们把
叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,
2.加权平均数在实际问题中,一组数据中各个数据的重要程度并平总是相同的,有时有些数据比其它数据更重要。
所以,我们在计算这组数据时,往往给每个数据一个“权”。
⑴如果在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,x3出现f3次,……xn出现fn次,(其中f1+f2+f3+……+fn=n),这n个数的平均数可表示为:
⑵如果一组数据x1,x2,x3,……,xn的平均数为
,则一组新数据:
mx1+a,mx2+a,mx3+a,……,mxn+a的平均数为:
3、中位数和众数:
一般地,n个数据按大小顺序排列,处于中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
一般地,一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势。
一组数据中的中位数是惟一的;一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有。
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