苏科版数学九年级上册经典压轴题解析.docx
- 文档编号:15874145
- 上传时间:2023-07-08
- 格式:DOCX
- 页数:9
- 大小:149.20KB
苏科版数学九年级上册经典压轴题解析.docx
《苏科版数学九年级上册经典压轴题解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《苏科版数学九年级上册经典压轴题解析.docx(9页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
苏科版数学九年级上册经典压轴题解析
九年级数学上经典压轴题解析
例1如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足:
点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:
△ABE∽△ECM;
(2)探究:
在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?
若能,求出BE长;若不能,说明理由.
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.
(4)在点E从B运动到C的过程中,求点M运动的路径长.
例2已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交直线AB于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:
△AQP∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP长.
(3)连接CP,当CP⊥BQ时,求AP长.
(1)第1小问是典型的斜A型相似,两个直角+公共角∠A,易证△AQP∽△ABC.
(2)又是考察相似与等腰三角形存在性结合的问题,必定需要分类讨论.但我们需要具备“分类是被迫的”意识,若能借助题中的特殊性直接过滤掉一些不必要的分类情况,将极大地简化书写过程.
比如本题中,分析一下所要研究的△PQB的三个顶点,其中B为定点,Q为主动点,P为从动点,且Q始终在线段AC上运动,而P可能在线段AB上(如原题图,为方便观察,再放一张上来,如下图1),也可能运动到线段AB的延长线上(如下图2).
观察两图,不难发现△PQB中始终存在一个钝角,即当P在AB上时,∠QPB为钝角;同理,当P在AB延长线上时,∠QBP为钝角.一个钝角三角形要成为等腰三角形,则钝角必为顶角,即构成钝角的两条边必为腰.于是,两大类情况下其实都只对应了一种情况!
解决了分类难点,接下来就是求对应的AP长!
先交待一个基本情况,即AC=5,以下讨论中均要使用到的条件可在讨论前就摆上来.
情形一:
当P在AB上时,
易知∠QPB为钝角,当△PQB为等腰三角形时,只能是PQ=PB.
成比例巧设,你值得拥有!
情形二:
当P在AB延长线上时,
易知∠QBP为钝角,当△PQB为等腰三角形时,只能是BQ=BP.(关注到∠AQP=90°的背景,理应能反应出Rt△斜边中线定理,进而想到此时B为AP中点.当然具体说理过程需要反推,具体如下)
(3)原卷只有前2小问,笔者突发奇想,若连接CP有没有意思呢?
不妨探究一下何时CP⊥BQ吧,这样两条斜线段垂直的问题非常值得研究!
由于斜线段的长度不好表示,这种斜垂问题的一般思路是“化斜为直,改斜归正”,那如何实现斜化直呢?
可借助“三垂直”相似模型来转化.
问题已经得到解决,但我们发现此时的AP与第
(2)小问的情形一中的值是相同的,这仅仅是巧合吗?
大腿一拍,发现两者本来就是互通的!
当PQ=PB时,易证Rt△CQP≌Rt△CBP(HL),
∴CQ=CB,四边形CQPB就是一个常见的“筝形”,我们可以巧证CP⊥BQ.
∵PQ=PB,∴P在BQ的垂直平分线上,
∵CQ=CB,∴C在BQ的垂直平分线上,
∴CP垂直平分BQ(两点确定一条直线).
当CP⊥BQ时,∵∠CQP=∠CBP=90°,
∴C、Q、P、B四点共圆(如下图),且CP是直径,由垂径定理可知CQ=CB,PQ=PB.
还可用以下方式
例3如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,BC=10cm,AD=8cm.点P从B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H.当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:
四边形AEDF为菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?
若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 苏科版 数学 九年级 上册 经典 压轴 题解