结构力学虚功原理最小势能原理解题示例精.docx
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结构力学虚功原理最小势能原理解题示例精
最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理:
在给定外载荷的作用下,对于稳定平衡系统,在满足位移边界条件的所有各组位移中,实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构,各杆的横截面积均为A,弹性模量均为E,在节点1处作用水平集中力P,试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1
解:
令在外力作用下,节点1在x向的位移为xu,在y向的位移为yu。
则有:
2
2EAULL
=
∆则系统的总势能为:
((((
222220.60.80.4470.89422.522.2360.4470.89422.2360.1610.1920.486ix
xyxyxyxxxyyx
UPuEAEA
uuuuaa
EA
uuPuaEAuuuuPua
∏=-=
-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0;0xy
uu∂∏∂∏
==∂∂即:
((0.3230.19200.1920.9720xyxyEA
uuPa
EA
uua
--=-+=
解得:
3.510.694xyPa
uEA
PauEA=
=
杆的内力可由公式:
EA
NLL
=
∆求得,故各杆的内力为:
1213140.620.4250.979NPNPNP
---===-
例2.2如图2.2所示的梁,其上作用有均布载荷q,试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2
解:
令梁的挠度函数为(xω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
2、由于有均布载荷q的作用,故(xω应为x的4次多项式。
故,考虑到梁左侧为固支,可设:
((22012xxaaxaxω=--
梁右侧需满足:
(|0xLxω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
(
220xL
dxdxω==(力的边界条件
代入边界条件,有:
(342
120.60.4xxLaLxLLω⎛⎫=-+⎪⎝
⎭
等截面梁的弯曲应变能表达式为:
2
220
1
2L
zdUEJdxdxω⎛⎫=⎪⎝⎭
⎰
【根据平面假设,梁在受弯曲变形后,其横截面仍保持为平面,它一方面有挠度(xω,一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度
ddx
ω
由于该转角的存在,使得距离中性轴为y处的x方向的位移为duydxω
=-,应变22xdydxωε=-,
弯曲应力为22xdyEdxω
σ=-,因此,等截面梁的弯曲应变能为:
2
2
222
2
220011112222L
LxxxzVV
A
ddUdVEdVEdxydAEJdxdxdxωωσεε⎛⎫⎛⎫====⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】则系统的总势能为:
(((2
220
012L
LdxEJdxqxxdxdxωω⎧⎫⎡⎤⎪⎪∏=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
⎰
⎰由最小势能原理可知,当结构处于稳定平衡状态时,有:
0δ∏=
又:
((((((((222
20044
0034342211122009.60.60.40.60.40
L
L
LLLLdxdEJxdxqxxdxdxdxdxEJxdxqxxdxdxaxxxxEJLxadxqLxadxLLLLLωδδωδωωδωδωδδ⎡⎤∏=-⎢⎥⎣⎦
=-⎛⎫⎛⎫=-+--+⎪⎪⎝⎭⎝
⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰【(231231.21.6xxxLxaLLδωδ⎛⎫
=-+⎪⎝⎭】
由于变分可取任意值,故有:
119.69.6qL
EJaqL
aEJ
=⇒
=
所以:
(2342
20.60.49.6qLxxxxEJLLω⎛⎫=-+⎪⎝⎭
虚功原理:
当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时,对任意为约束所容许的虚位移,外力虚功等于内力虚功。
虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
P
图2.3
解:
令在外载荷P作用下,梁的转角为α,则各杆的变形为:
12323LLLLLLα
αα∆=∆=∆=
给梁施加一个虚位移:
δα则外力虚功为:
7
2
WPLδδα=
虚应变能为:
((
(123231223314EAEAEAULLLLLLLLL
EALEALδδαδαδααδααδα
=
∆+∆+∆=+⨯+⨯=由虚功原理,有:
WUδδ=,即:
7
142
4PPLEALEA
δααδαα=⇒
=
故梁的位移为:
4Px
dxEA
α==
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学(静力学第四章第7节】
例2.2若用虚功原理求解,其步骤如下:
解:
令梁的挠度函数为(xω,它必须满足以下几个条件:
1、必须满足几何边界条件,但不一定满足平衡条件和力的边界条件;
2、由于有均布载荷q的作用,故(xω应为x的4次多项式。
故,考虑到梁左侧为固支,可设:
((22012xxaaxaxω=--
梁右侧需满足:
(|0xLxω==
且梁右侧没承受弯矩,有:
(
220xL
dxdxω==
代入边界条件,有:
w(L)=a1Lç0.6x2-èæx3x4ö+0.42÷LLøL等截面梁的弯曲应变能表达式为:
U=ò0æd2wö1EJzç2÷dx2èdxø2æx3x4ö给梁施加一个虚位移:
dw(x)=da1Lç0.6x2-+0.42÷LLøè则其外力虚功为:
dW=òq(x)dw(x)dx0L虚应变能为:
dU=òL02d2édw(x)ùêEJúdw(x)dxdx2ëdx2û由虚功原理,有:
dW=dU,即:
Ld4w(x)dw(x)dx=òq(x)dw(x)dx4ò00dxLLæ9.6a1æx3x4öx3x4ö22EJL0.6x-+0.4dadx=qL0.6x-+0.4ç÷1÷da1dxò0ò0çLLL2øLL2øèèLEJ由于虚位移是任意的,故:
9.6EJa1=qLÞa1=qL9.6EJ所以:
w(x)=qL2æx3x4ö20.6x-+0.4ç÷9.6EJèLL2ø【由此可以看出,虚位移原理和最小势能原理是一致的,都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件,即用能量方程来替代变形协调条件。
在做题时,个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。
】
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