八年级数学上册15分式教案新版新人教版.docx
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八年级数学上册15分式教案新版新人教版
第十五章 分式
1.了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式有意义的条件.
2.掌握分式的基本性质、分式的约分和通分法则,能进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会解可化为一元一次方程的分式方程,体会验根的必要性.
3.能解决一些与分式、分式方程有关的简单的实际问题.
4.了解同底数幂的除法的运算方法,会进行简单的整式除法运算.
1.在判断分式的过程中,让学生掌握区分整式和分式的方法.
2.在了解分式的基本性质的基础上,掌握分式的约分和通分法则.
3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧,会解分式方程并进行检验.
4.在掌握整数指数幂的性质的基础上,理解整式除法运算的算法.
1.在认识分式的过程中,让学生体验知识之间的必然联系,体会类比思想的运用,激发学生爱数学、学数学的兴趣.
2.培养学生养成计算认真仔细的良好习惯,认识数学是解决实际问题的重要工具.
3.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.
本章的主要内容是分式和最简分式的概念、分式的基本性质、分式的约分与通分、分式的加减乘除运算、整数指数幂的概念及运算性质、分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法.在学生掌握了整式的四则运算、多项式的因式分解的基础上,通过与分数的对比引入分式的概念,通过与分数运算的类比学习分式的运算、分式的变形以及可化为一元一次方程的分式方程的解法,为今后继续学习代数运算、统计、概率等奠定基础.在中考时,本章侧重考查分式的概念、分式的运算、分式方程的解法及利用分式方程解决实际问题.
【重点】 掌握分式的四则混合运算,能解分式方程.
【难点】 掌握分式的四则混合运算,并能根据实际问题列出分式方程.
1.让学生正确理解分式的概念,弄清分式和分数在知识上的联系,始终要注意分式中分母必须不等于零.
2.在进行分式的混合运算时,要注意运算顺序:
有括号的先算括号内的,再算括号外的;先乘方,再乘除,最后加减,同级运算按从左到右依次进行.在乘除运算时,不要直接用多项式的乘除法处理,能分解因式的先分解因式,写成幂的形式以便约分通分.分式的运算结果一定要化成最简形式.
3.解分式方程与解一元一次方程的不同点是必须验根,通过具体例子展现解分式方程时可能出现增根的情况,并结合例子分析什么情况下会产生增根,然后归纳检验增根的方法.在利用分式方程解决实际问题时正确地找出等量关系,帮助学生建立数学模型是解题的关键.
4.要让学生灵活运用类比和转化的思想,把握好新旧知识的联系,要多练习,从而提高运算的能力.
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式(1课时)
15.1.2 分式的基本性质(2课时)
3课时
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除(2课时)
15.2.2 分式的加减(2课时)
15.2.3 整式指数幂(2课时)
6课时
15.3 分式方程
3课时
单元复习
1课时
15.1 分 式
1.使学生了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.
2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则.
经历与分数类比学习分式的过程,学会与他人合作,并获得代数学习的一些常用方法:
类比转化、合情推理、抽象概括等.
1.认识和体会特殊与一般的辩证关系,提高数学运用能力.
2.通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分、通分,推测出分式、分式的基本性质及分式的约分、通分,在学生已有数学经验的基础上,提高学生学数学的乐趣.
【重点】 分式的意义、分式的基本性质.
【难点】 分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式的约分、通分.
15.1.1 从分数到分式
1.使学生了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.
2.使学生掌握分式有意义及分式值为0的条件.
经历与分数类比学习分式的过程,学会与人合作,并获得代数学习的一些常用方法:
类比转化、合情推理、抽象概括等.
通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会分式的模型思想.
【重点】 分式的概念,分式有意义的条件.
【难点】 分式有意义的条件,分式的值为0的条件.
【教师准备】 多媒体课件(1~10).
【学生准备】 复习小学学过的分数和初中学习过的整式.
导入一:
同学们,千里江陵几日还?
李白《早发白帝城》:
“朝辞白帝彩云间,千里江陵一日还.”
郦道元《水经注·三峡》:
“有时朝发白帝,暮至江陵,其间千二百里,虽乘奔御风,不以疾也.”(语文课文)
【课件1】
师生共同回忆诗文内容后,教师对“千里江陵”能否“一日还”提出疑问,并依次提出下列涉及船速、水速、距离和时间等数量关系的具体问题(其中问题
(1)~(3)中不考虑水速).
【课件2】
(1)如果半日(12小时)行船530千米,那么船速约为多少千米/时?
(2)如果行船速度为v千米/时,那么半日(12小时)行船距离是多少千米?
(3)如果行船距离为s千米,船速为v千米/时,那么用时多少小时?
(4)如果距离为530千米,船速为v0千米/时,水速为10千米/时,那么顺水行船需多少小时?
(5)如果距离为s千米,船速为v0千米/时,水速为v1千米/时,那么逆水行船需多少小时?
学生列式:
12v,,,.
[设计意图] 由语文课中熟悉的古诗引入,符合学生的认知特点,有一定的新颖性,使学生意识到数学无处不在,激发学生学习的内动力.
导入二:
同学们,在小学大家学习了分数,那么5÷3可以写成什么?
【课件3】 根据上面的问题,填空:
(1)长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽为 cm;长方形的面积为S,长为a,宽为 .
(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中,水面高度为 cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为 .
学生回答后,教师与学生一起及时纠正学生出现的错误,并写出正确答案:
(1)
(2) .
[设计意图] 以学生学过的分数引入分式,有利于体现知识的必然联系和循序渐进的原则,通过类比让学生解决实际问题,为新知构建奠定基础.
一、分式的定义
[过渡语] 代数式,12v,,,体现了从分数到分式、从整式到分式的过渡.
思路一
教师向学生指出,类比和归纳是探索新概念的重要方法,然后提问:
以上代数式中哪些是整式?
哪些不是整式?
不是整式的代数式有哪些共同特征?
在学生观察、归纳的基础上,教师板书分式定义:
一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.分式中,A叫做分子,B叫做分母.
类比分数剖析分式的概念.
形式:
与分数一样,分式也是由分子、分母和分数线组成.
内容:
分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.
要求:
分式的分母中必须含字母,分子中可以含字母,也可以不含字母.
【课件4】 以下代数式中哪些是整式?
哪些是分式?
学生分析后,教师适时讲解.整式有:
,-,;分式有:
,.
思路二
下面请同学们看一下这四个式子,它们有什么相同点和不同点?
,,.
学生根据自己的观察,说出:
是分数,是整式.
而另两个式子,看它们有什么特点,请同学们自己总结一下.
学生思考后说:
分母中有字母.
引导学生归纳:
一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.分式中,A叫做分子,B叫做分母.
【课件5】 下列各式中,哪些是整式?
哪些是分式?
(1);
(2); (3); (4).
学生分析,得出:
整式有:
(2)(4);分式有:
(1)(3).
教师引导学生总结方法:
判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.
[设计意图] 通过观察,归纳、总结出整式与分式的异同,类比分数,合理联想,得到分式的概念,通过分析问题加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.
二、体会分式的意义
【课件6】 请在下列整式中任选两个,分别作为分子和分母,构造出三个分式.
3000,k,a+b,40,am+bn,5x,0,x-y.
以小组为单位,编写1~2个简单的分式,结合实际生活,试着赋予分式实际意义,并在组内交流.
教师选取代表发言,并适时点评.
[设计意图] 合作学习为本节课题难点的突破打下伏笔,让学生结合生活实际给分式赋予实际意义,可激发学生的创造力,使学生在学习数学的过程中得到发展.
三、分式有意义的条件
【课件7】 请学生选数填写三个式子对应的值:
a
…
-2
-1
0
1
2
…
…
…
…
…
…
…
教师根据学生所选择的值的情况,适时地进行讲解,总结:
分式有意义,需要分母不为0.分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.
【课件8】 想一想,以下分式何时有意义?
何时值为0?
(1);
(2).
教师板书解题步骤,师生共同总结:
分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“≠”的不等式.
分式的值为0,既要分子等于0,又要分母不为0.可以用方程和不等式表示上述条件.
[设计意图] 学生在自行选择数字代入计算时,分别回避了a=0,a=-1,a=1的情况,这时适时加以引导和启发可以得出所要的结论,由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能有效消化知识,同时通过形象比喻“分数线是路面,分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.
四、例题讲解
【课件9】 下列分式中的字母满足什么条件时,分式有意义?
(1);
(2); (3); (4).
教师引导学生明白:
要使分式有意义,必须且只需分母不等于零.然后引导,逐一分析:
(1)3x≠0,则x≠0.
(2)x-1≠0,则x≠1.(3)5-3b≠0,则b≠.(4)x-y≠0,则x≠y.
教师示范解答过程:
解:
(1)要使分式有意义,则分母3x≠0,即x≠0,因此,当x≠0时,分式有意义.
(2)要使分式有意义,则分母x-1≠0,即x≠1,因此,当x≠1时,分式有意义.
(3)要使分式有意义,则分母5-3b≠0,即b≠,因此,当b≠时,分式有意义,
(4)要使分式有意义,则分母x-y≠0,即x≠y,因此,当x≠y时,分式有意义.
教师强调:
无特别说明时,本章中出现的分式都有意义.
[设计意图] 学生再利用所得结论进行解答,既是巩固,同时也能品味收获的“果实”.
[知识拓展] 对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:
(1)分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:
分式
分数
整式
区别
分母中含有字母
分子、分母中都不含有字母
分母中不含有字母
(2)分式与分数是相互联系的,由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性.分数是分式中字母取值后的特殊情况.
(3)注意分母含π和可以约分的分式容易判断错误,如:
符合分式的定义,是分式,不是分式,因为π不是字母,而是常数.
(4)分式的值为0时,容易忽略分母不为0这个条件.
[过渡语] 同学们,我看大家觉得本节内容简单,那就再来看几个具有挑战性的问题.
【课件10】
(1)当a为何值时,分式的值为0?
解:
由分子|a|-3=0,得a=±3.
当a=3时,分母的值为0,原分式没有意义.
当a=-3时,分母不等于0,
所以当a=-3时,分式的值为0.
(2)当x为何值时,分式的值为负数.
解:
分子x2+4>0,分子与分母异号时,分式的值为负数,所以x-2<0,所以x<2.
学生小组合作,并交流解题过程.
[设计意图] 尽管有一定的难度,但学生通过小组合作交流,没有畏惧感,发挥了学生解决问题的主动性,使每个学生在探究中有所收获.
知识总结
知识
要点
关键总结
注意事项
分式的概念
形如(A,B为整式,且B中含字母)的代数式叫做分式
分母含π和可以约分的分式容易判断错误
分式有、无意义和分式值为0的条件
(1)分式有意义:
分母不为0;
(2)分式无意义:
分母为0;
(3)分式值为0:
分子为0且分母不为0
分式的值为0时,容易忽略分母不为0这个条件
[设计意图] 学生总结,教师适当地补充和引导,培养学生的数学语言表达能力和自我整理的学习习惯,写数学日记也是一个创新设计.
1.若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.全体实数B.x=1
C.x≠1D.x=0
解析:
分式有意义,分母x-1≠0,据此可以求得x的取值范围是x≠1.故选C.
2.下列代数式是分式的是 .
①;②;③;④;⑤;⑥ab-ac;⑦.
解析:
判断一个代数式是不是分式,关键看分母中是否含有字母,若分母中含有字母,则是分式;若分母中不含有字母,则不是分式.,,,的分母中含有字母,是分式,,ab-ac和是整式.故填②③④⑤.
3.当x= 时,分式无意义.
解析:
根据分式无意义的条件:
分母等于0列式计算即可.根据题意,得x+3=0,解得x=-3.故填-3.
4.已知分式,当x=-3时,该分式没有意义;当x=-4时,该分式的值为0.求(m+n)2015的值.
解:
根据分式没有意义的条件得x+m=0,x=-m,当x=-3时,m=3,再根据分式的值为0的条件,可求得n的值为-4,则(m+n)2015=(3-4)2015=-1.
15.1.1 从分数到分式
一、分式的定义
二、体会分式的意义
三、分式有意义的条件
四、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第128页练习第1,2,3题.
2.教材第133页习题15.1第1,2,3题.
【选做题】
教材第133页习题15.1第8,13题
二、课后作业
【基础巩固】
1.代数式的家中来了几位客人:
,,,,+y,其中属于分式家族成员的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.当分式无意义时,x的值是( )
A.2B.1C.0D.-2
3.下列关于分式的判断,正确的是( )
A.当x=2时,的值为零
B.当x≠3时,有意义
C.无论x为何值,的值都不可能为整数
D.无论x为何值,的值总为正数
【能力提升】
4.如果是一个正整数,那么x的最大的整数值为( )
A.8B.13C.16D.18
5.当x=3时,分式的值是 .
6.当m= 时,分式的值为零.
7.某工厂计划a天生产60件产品,则平均每天生产该产品 件.
8.观察下列式子:
4×=4-,5×=5-,6×=6-,…,设n表示正整数(n≥4),用含n的等式表示这个规律是 .
9.下列各式中,哪些是整式?
哪些不是整式?
两者有什么区别?
a,2x+y,,,,3a,5.
【拓展探究】
10.在学习“从分数到分式”时,小明和小丽都遇到了“当x取何值时,有意义”.小明的做法是:
先化简,要使有意义,必须x-2≠0,即x≠2;小丽的做法是:
要使有意义,只需x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.如果你与小明、小丽是同一个学习小组,请你发表一下自己的意见.
【答案与解析】
1.C(解析:
,这3个式子的分母中含有字母,因此是分式.其他式子的分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.故选C.)
2.A(解析:
分式无意义的条件:
分母为零.)
3.D(解析:
当x=2时,无意义,故A错误;当x≠0时,有意义,故B错误;当x=2时,
的值为整数,故C错误;分母x2+1大于0,分子大于0,故无论x为何值,的值总为正数,故D正确.故选D.)
4.A(解析:
如果是一个正整数,那么x-3是5的约数,所以x-3=±1或±5,即x=4或2或8或-2,则x的最大的整数值是8.故选A.)
5.1(解析:
将x=3代入分式,即可求得分式的值.)
6.3(解析:
当分子为零、分母不为零时,分式的值为零,故可得到(m-1)(m-3)=0且m2-3m+2≠0.)
7.(解析:
工作效率=工作总量÷工作时间,把相关数值代入即可.故填.)
8.n×=n-(解析:
观察等式可得等号左边的第一个因数、第二个因数的分子、等号右边的被减数与等号右边减数的分子均相同,等号左右两边的分母均为分子加1.)
9.解:
整式:
a,2x+y,,3a,5;不是整式:
.
它们的区别是分母中是否含有字母,若含有字母,则不是整式,若不含有字母,则是整式.
10.解:
要使有意义,只需x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.故小丽的做法正确,小明的做法使原来的分式中字母x的取值范围变大了,导致出错.
本节课创设古诗情境导入,激发了学生的兴趣,当学生选数计算和选择自己喜欢的代数式组成分式并赋予实际意义时,让不同层次的学生也能接受这样的问题,更加充满灵性地思考数学问题.
在教学过程中,对于学生的指导还有些不够到
位的地方.如:
分式有意义、无意义和值为零类解答题的解答过程示范不够.
注意加深整式和分式的区分,加强解答题解题过程的示范,进一步关注数学与生活的紧密联系.
练习(教材第128页)
1.
(1)
(2) (3)
2.解:
分式有,,,,,,整式有,.两类式子的区别为:
分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母.
3.解:
(1)当a≠0时,分式有意义.
(2)当x-1≠0,即x≠1时,分式有意义. (3)当3m+2≠0,即m≠-时,分式有意义. (4)当x-y≠0,即x≠y时,分式有意义. (5)当3a-b≠0,即a≠时,分式有意义. (6)当x2-1≠0,即x≠±1时,分式有意义.
1.教学解读
在数学教学中应该注意数学来源于生活又服务于生活的原则,为学生创设情境,使学生置身于这些情境中不知不觉地学习,体验数学知识,并在学习过程中始终关注学生情感态度的变化和发展,以教师为引导、学生为主体来开展教学,在这样的背景下,教师组织教学就有更高的要求.当然,如果教师能时刻关注学生,运用人性化、充满灵性、悟性的教学,那么学生就更能感受到数学无处不在的魅力.
2.重难点突破
分式是在学生已经学了分数、整式的基础上对代数式的进一步研究.分式与分数类似但又有所不同,分数是分式的具体化,分式是分数的一般形式,这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想,学生还是比较欠缺的.但是八年级的学生具有一定的独立思考、概括归纳的能力,也有很强的合作意识.本节的重点为分式的概念,难点为理解并掌握分式有意义和值为零的条件.为了能突破这一重难点及为后续的学习奠定坚实的基础,本节的设计中,突出了学生观察、猜想、分析、思考、归纳等过程,让学生真正地参与到学习中去,提高学习兴趣.
若ab≠0,求的值.
〔解析〕 根据ab≠0分析a,b异号或a,b同号,然后再分情况讨论的值.
解:
∵ab≠0,∴a,b异号或a,b同号.
(1)当a>0,b<0时,=1+(-1)=0;
(2)当a<0,b>0时,=-1+1=0;
(3)当a<0,b<0时,=-1+(-1)=-2;
(4)当a>0,b>0时,=1+1=2.
综上所述,的值为0或2或-2.
〔解题策略〕 当被研究的问题包含多种可能情况,不能一概而论时,必须按可能出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论.分类时,要按照一定的标准,做到不重不漏.解答本题容易得和的值为2或-2,即当求的值时,容易漏值,运用分类讨论思想是解题的关键.
15.1.2 分式的基本性质
理解分式的基本性质,会进行分式的约分和通分.
通过类比分数的约分与通分,探索分式的约分与通分法则,学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.
通过运用分式的基本性质对分式进行变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.
【重点】 运用分式的基本性质正确进行分式的约分与通分.
【难点】 通分时最简公分母的确定;运用通分法则将分式进行变形.
第课时
1.会根据分数的基本性质类比推导分式的基本性质.
2.理解分式的基本性质,并会运用分式的基本性质,探求分式变形及其中的符号法则,为以后的约分、通分及运算奠定基础.
通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比转化的思想方法.
通过运用基本性质对分式的变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.
【重点】 理解分式的基本性质.
【难点】 灵活应用分式的基本性质将分式变形.
【教师准备】 多媒体课件(1~5).
【学生准备】 复习分数的基本性质.
导入一:
有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就打起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?
【学生思考】 ,和这三个数相等吗?
引导学生根据分数的基本性质分析,适时板书分数变形过程.
[设计意图] 创设故事情境导入新课,激发了学生学习本课的好奇心,同时运用分数的基本性质进行分数变形,复习分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫.
导入二:
上节课我们类比分数的概念学习了分式的概念,今天我们来继续学习分式的相关知识,请看下面的问题:
【课件1】
【问题1】 如图
(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,阴影部分的面积是多少?
【问题2】 如图
(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,阴影部分的面积是多少?
【问题3】 这两块阴影部分的面积相等吗?
【问题4】 通过怎样的变形可以由得到?
通过怎样的变形可以由得到?
【问题5】 上述变形的依据是什么呢?
教师提出问题,学生思考回答,板书分数的变形过程.
[设计意图] 运用分数的基本性质进行分数变形,既复习了分数的基本性质,又为学习分式的基本性质做了铺垫.
分式的基本性质
[过渡语] 下面我们来看看分式具有类似的性质吗?
思路一
【课件2】 请看下面的问题:
(1)填空.
;
.
(2)你认为分式与相等吗?
为什么?
与呢?
学生独立思考第
(1)问,根据分数的基本性质,的分子、分母同时乘4,可得,的分子、分母同时除以2,得,再小组讨论,类比分数的基本性质解决第
(2)问.
【课件3】 类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗?
学生尝试归纳,相互补充总结得出分式的基本性质.
思路二
[过渡语] 类比分数的基本性质,你能猜想分式有什么性质吗?
请看下面的问题:
【课件4】
【问题1】 如图
(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢?
【问题2】 如图
(2)所示,两个图
(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢?
【问题3】 两图中长方形的宽相等吗?
【问题4】 通过怎样的变形可以由得到?
通过怎样的变形可以由得到?
学生在老师引导下思考回答,老师追问:
变形的依据是什么呢?
【问题5】 若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又如何表示呢?
学生分析得出答案为.
教师进一步追问:
和,相等吗?
通过怎样的变形可以得到它们相等呢?
【问题6】 若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?
追问:
和,相等吗?
通过怎样的变形可以得到它们相等呢?
教师提问,学生分析回答,板书变形的过程.
【问题7】 能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗?
学生尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上启发完善.
【板书】 分式的基本
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