中考数学二次函数与四边形综合专题.docx
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中考数学二次函数与四边形综合专题
二次函数与四边形综合专题
一.二次函数与四边形的形状
例1.如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)令y=0,解得x=-1或x=3∴A(-1,0)B(3,0);将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3
得y=-3,∴C(2,-3)∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为:
P(x,-x-1),E((x,x2-2x-3)
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2
19
∴当x=1时,PE的最大值=924
3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+7,0),F4(4-7,0)
7练习1.如图,对称轴为直线x=7的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).
2
(1)求抛物线解析式及顶点坐标;
(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?
②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
练习1.解:
77
(1)由抛物线的对称轴是x=7,可设解析式为y=a(x-7)2+k.把A、B两点坐标代入上
式,得
7a(6-7)2+k=0,
7a(0-7)2+k=4.
2
故抛物线解析式为y=2(x-7)2-25,顶点为(7,-25
32626
2)∵点E(x,y)在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合
y=2(x-7)2-25,∴y<0,即-y>0,-y表示点E到OA的距离.326
∵OA是YOEAF的对角线,
∴S=2SVOAE=2OAy=-6y=-4(-)+25.
因为抛物线与x轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量x的取值范围是1 ①根据题意,当S=24时,即-4(x-7)2+25=24.化简,得(x-7)2=1.解之,得x1=3,x2=4.故所22412求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4). 点E1(3,-4)满足OE=AE,所以YOEAF是菱形;点E2(4,-4)不满足OE=AE,所以YOEAF不是菱形. ②当OA⊥EF,且OA=EF时,YOEAF是正方形,此时点E的坐标只能是(3,-3).而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使YOEAF为正方形. 练习2.如图,已知与x轴交于点A(1,0)和B(5,0)的抛物线l1的顶点为C(3,4),抛物线l2与l1关于x轴对称,顶点为C. (1)求抛物线l2的函数关系式; (2)已知原点O,定点D(0,4),l2上的点P与l1上的点P始终关于x轴对称,则当点P运动到何处时,以点D,O,P,P为顶点的四边形是平行四边形? (3)在l2上是否存在点M,使△ABM是以AB为斜边且一个角为30o的直角三角形? 若存,求出点M 练习3.如图,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4,0),B(-2,0),E(0,8). (1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式; 2)设抛物线C1的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N, 四边形MDNA的面积为S.若点A,点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M,点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式,并写出自变量t的取值范围; (3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出此最大值; (4)在运动过程中,四边形MDNA能否形成矩形? 若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由. 二.二次函数与四边形的面积 例1.如图10,已知抛物线P: y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上),与y轴交于点C,矩形DEFG的一条边DE在线段AB上,顶点F、G分别在线段BC、AC上,抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下: x … -3 -2 1 2 … y … 5 -2 -4 5 -2 0 … 练习1.如图,平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0),点N的坐标为(-6,-4). (1)画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC,并写出顶点A,B,C的坐标(点M的对应点为A,点N的对应点为B,点H的对应点为C); (2)求出过A,B,C三点的抛物线的表达式; (3)截取CE=OF=AG=m,且E,F,G分别在线段CO,OA,AB上,求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;面积S是否存在最小值? 若存在,请求出这个最小值;若不存在,请说明理由; (4)在(3)的情况下,四边形BEFG是否存在邻边相等的情况,若存在,请直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,说明理由. 练习2.如图,正方形ABCD的边长为2cm,在对称中心O处有一钉子.动点P,Q同时从点A出发,点 P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度运动,到点C停止,点Q沿A→D方向以每秒1cm的速度运动,到点D停止.P,Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2. (1)当0≤x≤1时,求y与x之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x值; (3)当1≤x≤2时,求y与x之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围; (4)当0≤x≤2时,请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象. 练习3.如图,已知抛物线l1: y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D. (1)求l2的解析式; (2)求证: 点D一定在l2上; (3)□ABCD能否为矩形? 如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由.注: 计算结果不取近似值 三.二次函数与四边形的动态探究 例1.如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(4,0),C(0,3),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合).现将△PAB沿PB翻折,得到△PDB;再在OC边上选取适当的点E,将△POE沿PE翻折,得到△PFE,并使直线PD、PF重合. (1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值; (2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式; (3)在 (2)的情况下,在该抛物线上是否存在点Q,使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形? 若不存在,说明理由;若存在,求出点Q的坐标. 例2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB (1)求A、B、C三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接AC、BC,若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由. 例3.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线A平移,平移后的矩形为EFGH(A、E、C、G始终在同一条直线上),当点E与C重时停止移动.平移中EF与BC交于点N,GH与BC的延长线交于点M,EH与DC交于点P,FG与DC的延长线交于点Q.设S表示矩形PCMH的面积,S表示矩形NFQC的面积. (1)S与S相等吗? 请说明理由. (2)设AE=x,写出S和x之间的函数关系式,并求出x取何值时S有最大值,最大值是多少? (3)如图11,连结BE,当AE为何值时,ABE是等腰三角形. 练习1.如图12,四边形OABC为直角梯形,A(4,0),B(3,4),C(0,4).点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动;点N从B同时出发,以每秒1个单位长度的速度向C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP垂直x轴于点P,连结AC交NP于Q,连结MQ. (1)点(填M或N)能到达终点; (2)求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,当t为何值时,S的值最大; (3)是否存在点M,使得△AQM为直角三角形? 若存在,求出点M的坐标,若不存在,说明理由. 练习2.实验与探究 (1)在图1,2,3中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),写出图1,2,3中的顶点C的坐标,它们分别是(5,2),,; 2)在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(C点 坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示); 归纳与发现 (3)通过对图1,2,3,4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现: 无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点坐标为A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)(如图4)时,则四个顶 点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为(不必证明);运用与推广 (4)在同一直角坐标系中有抛物线y=x2-(5c-3)x-c和三个点G-1c,5c,S1c,9c,H(2c,0)(其中c0).问当c为何值时,该抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形? 并求出所有符合条件的P点坐标. 参考答案: 一.二次函数与四边形的形状 例1.解: (1)令y=0,解得x=-1或x=3∴A(-1,0)B(3,0); 将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3,∴C(2,-3)∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 (2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为: P(x,-x-1), E((x,x2-2x-3)∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2 19 ∴当x=1时,PE的最大值=9 24 (3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+7,0),F4(4-7,0) 练习1.解: 77 (1)由抛物线的对称轴是x=7,可设解析式为y=a(x-7)2+k.把A、B两点坐标代入上 因为抛物线与x轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量x的取值范围是1 ①根据题意,当S 24时, 即-4(x-72)2+25=24 化简,得(x-2)=4.解之,得x1=3,x2=4. 故所求的点E有两个,分别为E1(3,-4),E2(4,-4).点E1(3,-4)满足OE=AE,所以YOEAF是菱形;点E2(4,-4)不满足OE=AE,所以YOEAF不是菱形. ②当OA⊥EF,且OA=EF时,YOEAF是正方形,此时点E的③坐标只能是(3,-3). 而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点E,使YOEAF为正方形. 练习2.解: (1)由题意知点C的坐标为(3,-4).设l2的函数关系式为y=a(x-3)2-4. 又Q点A(1,0)在抛物线y=a(x-3)2-4上,(1-3)2a-4=0,解得a=1. 抛物线l2的函数关系式为y=(x-3)2-4(或y=x2-6x+5). 2)QP与P始终关于x轴对称,PP与y轴平行. 设点P的横坐标为m,则其纵坐标为m2-6m+5,QOD=4,2m2-6m+5=4,即m2-6m+5=2.当 m2-6m+5=2时,解得m=36.当m2-6m+5=-2时,解得m=32.当点P运动到(3-6,2) 或(3+6,2)或(3-2,-2)或(3+2,-2)时, PP∥OD,以点D,O,P,P为顶点的四边形是平行四边形. 则AMB=90o,QBAM=30o(或ABM=30o),BM=1AB=14=2. 22 过点M作ME⊥AB于点E,可得BME=BAM=30o.EB=1BM=12=1,EM=3,OE=4. 22 点M的坐标为(4,-3). 但是,当x=4时,y=42-64+5=16-24+5=-3-3. 不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形. 练习3.解 (1)点A(-4,0),点B(-2,0),点E(0,8)关于原点的对称点分别为D(4,0),C(2,0), F(0,-8).设抛物线C2的解析式是 16a+4b+c=0, 则4a+2b+c=0,解得 所以所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-8. (2)由 (1)可计算得点M(-3,-1),N(3,1). 过点N作NH⊥AD,垂足为H. 当运动到时刻t时,AD=2OD=8-2t,NH=1+2t.根据中心对称的性质OA=OD,OM=ON,所以四边形MDNA是平行 四边形.所以S=2S△ADN.所以,四边形MDNA的面积 S=(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8.因为运动至点A与点D重合为止, 据题意可知0≤t4.所以,所求关系式是S=-4t2+14t+8,t的取 值范围是0≤t4. 781 0≤t4).所以t=7时,S有最大值81. 44 提示: 也可用顶点坐标公式来求. (4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形.由 (2)知四边形MDNA是平行四边形,对角线是AD,MN,所以当AD=MN时四边形MDNA是矩形.所以OD=ON.所以 OD2=ON2=OH2+NH2.所以t2+4t2-2=0.解之得t=6-2,t=-6-2(舍). 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形,此时t=6-2. [点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题,能力要求较高。 二.二次函数与四边形的面积 例1.解: (1)解法一: 设y=ax2+bx+c(a0),任取x,y的三组值代入,求出解析式y=1x2+x-4,令y=0,求出x=-4,x=2;令x=0,得y=-4,∴A、B、C三点的坐标分别是A(2,0),B(-4,0),C(0,-4)解法二: 由抛物线P过点(1,-5),(-3,-5)可知, 22 抛物线P的对称轴方程为x=-1, 又∵抛物线P过(2,0)、(-2,-4),则由抛物线的对称性可知, 点A、B、C的坐标分别为A(2,0),B(-4,0),C(0,-4). 2)由题意, ADDG AO=OC 而AO=2, OC=4,AD=2-m,故DG=4-2m, BEEF BO=OC EF=DG,得BE=4-2m, ∴DE=3m, ∴sDEFG=DG·DE=(4-2m)3m=12m-6m2(0 注: 也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC,或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.(3)∵SDEFG=12m-6m2(0 2222 设直线DF的解析式为y=kx+b,易知,k=2,b=-2,∴y=2x-2, 3333 又可求得抛物线P的解析式为: y=1x2+x-4, 2 令2x-2=1x2+x-4,可求出x=-1-61.设射线DF与抛物线P相交于点N, 3323 则N的横坐标为-1-61,过N作x轴的垂线交x轴于H,有 3 -1-61 FNHE-2-3-5+61 DF=DE=3=9, 点M不在抛物线P上,即点M不与N重合时,此时k的取值范围是k≠-5+61且k>0. 9 说明: 若以上两条件错漏一个,本步不得分. 若选择另一问题: ∴sDEFG=DG·FG=6. 练习1.解: 利用中心对称性质,画出梯形OABC.·················1分∵A,B,C三点与M,N,H分别关于点O中心对称,∴A(0,4),B(6,4),C(8,0)···················3分(写错一个点的坐标扣1分) ∵抛物线过点A(0,4), ·········4分 (2)设过A,B,C三点的抛物线关系式为 ∴.则抛物线关系式为.····将B(6,4),C(8,0)两点坐标代入关系式,得 5AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=分 所求抛物线关系式为: (3)∵OA=4,OC=8,∴AF=4-m,OE=8- ∴ OA(AB+OC)AF·AGOE·OFCE·OA 10分 当时,S的取最小值. 12分 又∵0 (4)当时,GB=GF,当时,BE=BG.14分 练习2.[解] (1)当0≤x≤1时,AP=2x,AQ=x,y=1AQgAP=x2,即y=x2. (2)当S四边形ABPQ=S正方形ABCD时,橡皮筋刚好触及钉子,BP=2x-2,AQ=x,1(2x-2+x)2=122, 222 4x=. 3 即y=3x-2. 作OE⊥AB,E为垂足. 4当≤x≤2时,BP=2x-2,AQ=x,OE=1, 3 1+2x-21+x y=S梯形BEOP+S梯形OEAQ=1+1=x, 3 即y=x.90o≤∠POQ≤180o或180o≤∠POQ≤270o (4)如图所示: 练习3.解] (1)设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), ∵l1与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l2与l1关于x轴对称,∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4), 4a-2b+c=0, ∴4a+2b+c=0, c=4. ∴a=-1,b=0,c=4,即l2的解析式为y=-x2+4.(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2)设点B(m,n)为l1: y=x2-4上任意一点,则n=m2-4(*). ∵四边形ABCD是平行四边形,点A、C关于原点O对称,∴B、D关于原点O对称,∴点D的坐标为D(-m,-n). 由(*)式可知,-n=-(m2-4)=-(-m)2+4,即点D的坐标满足y=-x2+4,∴点D在l2上. (3)□ABCD能为矩形. 过点B作BH⊥x轴于H,由点B在l1: y=x2-4上,可设点B的坐标为(x0,x02-4),则OH=|x0|,BH=|x02-4|.易知,当且仅当BO=AO=2时,□ABCD为矩形. 在Rt△OBH中,由勾股定理得,|x0|2+|x02-4|2=22,(x02-4)(x02-3)=0,∴x0=±2(舍去)、x0=±3.所以,当点B坐标为B(3,-1)或B′(-3,-1)时,□ABCD为矩形,此时,点D的坐标分别是D(-3,1)、D′(3,1).因此,符合条件的矩形有且只有2个,即矩形ABCD和矩形AB′CD′.设直线AB与y轴交于E,显然,△AOE∽△AHB, EOBHEO1∴AO=AH,∴2=2+3.∴EO=4-23.由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形,其面积为S=2SΔACE=2×1×AC×EO=2×1×4×(4-23)=16-83. 三.二次函数与四边形的动态探究 例1.解: (1)由已知PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且PD、PF重合,则∠BPE=90°.∴∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+∠ABP=90°,∴∠OPE=∠PBA. 114∴y=1x(4-x)=-1x2+4x(0 POBA ∴Rt△POE∽Rt△BPA.∴OE=AP.即y=4-x 且当x=2时,y有最大值1. 123 y=x-x+1. 22 (3)由 (2)知∠EPB=90
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