通信原理答案5.docx
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通信原理答案5
第五章数字基带传输系统
第六章设随机二进制序列中的0和1分别由g(t)和-g(t)组成,它们的出现概率分别
为P及(1-P):
求其功率谱密度及功率;
解:
(1)随机二进制序列的双边功率谱密度为
PS妒fsP(1-P)|Gi(f)-G2(f)l2+刀fs[PG*mfS+(1-P)G2(mfJ]|2fmfj
由gl(t)=-g2(t)=g(t)得
PS妒4fsP(1-P)G2(f)+fs(1-2PF刀|G(mf訓2fmfS
式中,G(f)是g(t)的频谱函数,在功率谱密度Ps(3中,第一部分是其连续谱部分,第二部分
是其离散成分。
随机二进制序列的功率为
S=1/2Ji/Ps(q)d3
=4fsP(1-P)/G2(f)df+刀|fs(1-2P)G(mfs)|2/S(f-mfs)df
=4fsP(1-P)/G2(f)df+fgP(1-P)2E|G(mfg)|2
(2)当基带脉冲波形g(t)为
g(t)
1,|t|I
0,其他t
g(t)的傅立叶变换G(f)为
G(f)
sinfTs
fTs
sinfsTs
因为G(f)Ts0
由题
(1)中的结果知,此时的离散分量为
0。
(3)g(t)
1,|t|号
4
0,其他t
g(t)的傅立叶变换G(f)为
TssinfsTs/2Ts
G(f)ssss0
2fsTs/2
Ts为码元间隔,数字
所以该二进制序列存在离散分量fs
1.设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲,如图所示。
图中
信号“1”和“0”分别用g(t)的有无表示,且“1”和“0”出现的概率相等:
(1)求该数字基带信号的功率谱密度,并画出功率谱密度图;
⑵能否从该数字基带信中提取码元同步所需的频率的功率。
的分量,若能,式计算该分量
解:
(1)对于单极性基带信号,
g1(t)0,g2(t)g(t),随机脉冲序列的功率谱密度为
Ps(f)
fsP(1p)G(f)
fs(1
p)G(mfs)2(fmfs)
当p=1/2
Ps(f)
fs
4
G(f)2
+G(mfs)
(fmfs)
由图可得
2
A(1—It),tg(t)'Ts1丿
0,其他t
Ts
2
g(t)的傅立叶变换G
(f)为
ATs
G(f)A乎
代入功率谱密度函数式,得
R(f)
fs
ATs2
sSa2
fTs
4
2
2
aH
Sa4
fTs
A2
16
2
16m
功率谱密度如图所示。
2f2
1s
m4
ATsSa2
2
2
nfsTs
2
Sa4m
f
mfs
2
mfs
(2)由图5-7(b)中可以看出,该基带信号的功率谱密度中含有频率fsT
Is
的离散分量,故可以提取码元同步所需的频率fs1的分量。
1s
由题
(1)中的结果,该基带信号的离散谱分量Pv为
A2G4
m
Pzf
Sa4-
f
mf
s
16m
2
当m取
1时,即f
fs
沖时
有
A2G4
A2G4
Pzf
Sa4
—
f
fs
Sa4—
16m
2
16m2
所以该频率分量的功率为
A"4
A2
2A2
Pzf
Sa4-
Sa4
—
4
162
16
2
2.
和
设某二进制数字基带信号中,
“0”出现的概率相等,
数字信号g(t)是
1”和“0”分别由g(t)和-g(t)表示,且“1”余弦频谱脉冲,即
(1)
(2)
(3)
解:
t
cos—
1Tst
1Sa—
214LTs
T2
s
写出该数字基带信号的功率谱密度表达式,并画出功率谱密度图;
从该数字基带信号中能否直接提取频率
1
s—的分量;
1s
若码元间隔Ts103s,试求该数字基带信号的传码率及频谱宽度。
(1)当数字信号“1”和“0”等概率出现时,双极性基带信号的功率谱密度
3.
Psf
已知gt
fsG
t
cos—
Ts
芬Sa
24t
12
Ts
代入功率谱密度表达式中,有
t
TS
,其傅立叶变换为
Psf
161cosfTs,f
双极性数字基带信号的基本脉冲波形如图所示。
它是一个高度为
cosfTs,f
0,其他f
Ts
如图所示:
1,宽度
1
3Ts,的矩形
脉冲,且已知数字信号“1”的出现概率为1/4。
(1)该双极性信号的功率谱密度的表达式,并画出功率谱密度图;
(2)由该双极性信号中能否直接提取频率为fsT的分量?
若能,试计算该分量的功率。
Is
解:
(1)双极性基带信号的功率谱密度为
2
2
Fsf4fsp1pGffs2p1Gmfsfmfs
m
当P=1/4时,有
Psf
3
2f2
2
-fs
Gf
s
Gmfs
4
4m
mfs
g(t)
已知
1,t-
0,其他t故G(f)
sinf
Saf
将上式代入Psf,得PS
4fs空2f
4m
Sa2mfs
mfs
1
将—Ts代入上式中得
3
Psf
存sSa2fTs
丄
36m
mfs
功率谱密度如图所示。
(2)由图可以看出,由该双极性信号可以直接提取频率为
丄
Ts的分量。
Pv()
丄
Sa2
—
f
mfs
该基带信号中的离散谱分量为
36
m
3
12
1
Pv()
Sa—
f
fs
—
Sa2
ffs
当m去正负1时有
363
36
3
一1
1
1
c23
所以频率为fs分量的功率为Pv(
)
Sa2
—
Sa2
Ts
36
3
36
38
4.已知信息代码为100000000011求相应的AMI码、HDB3码、PST码及双相码。
解:
AMI码:
+100000000-1+1
HDB3码:
+1000+V-B00-V0+1-1
PST码:
(+模式)+0-+-+-+-++-
(-模式)-0-+-+-+-++-
双相码:
100101010101010101011010
5.已知信息代码为1010000011000011试确定相应的AMI码及HDB3码,并画出波形图。
AMI码:
+10-100000+1-10000+1-1
BHD3码:
+10-1000-V0+1-1+B00+V-1+1
6.某基带传输系统接收滤波器输出信号的基本脉冲为如图所示的三角形。
(1)
求该基带传输系统的传输函数
H
(2)
设信道的传输函数
C1
,发送滤波器和接收滤波器具有相同的传输函数,即
解
CtCr,
试求此时的
CT或CR的表达式。
ht
(1)由图得
2
1—t
Ts
0,其他t
Ts
2
H
该基带传输系统的传输函数为
.t
htej'dt^Sa2」e
24
(1)求该系统接收滤波器输出基本脉冲的时间表达式;
当数字基带信号饿传码率RB
0
时,用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间干扰
传输?
由图可得
0,其他
该系统输出基本脉冲的时间表达式为
(2)
Hejtd
0Sa2
ot
2
根据奈奎斯特准则,当系统能实现无码间干扰传输时,
应满足
(2)基带传输的传输函数由发送滤波器、信道和接受滤波器组成,即
H
Gt
CCr
若C
1,Gt
Cr
,则H
GtCrCr乜2
所以
Gt
Cr
H
:
SaPeJ's
24
7.设某基带传输系统具有如图所示的三角形传输函数:
Heq
C,
TS
0,TS
容易验证,当
代2.
o时,Hi
TsiTs
H2RBi
i
H
i
2oiC,所以
当传码率rb
0/时,系统不能实现无码
间干扰传输。
8.设基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成总特性为H,若要求以2/「Baud
的速率进行数据传输,试检验图所示的满足消除抽样点上的码间干扰的条件否?
解
当Rb1时,若满足无码间干扰传输条件,根据奈奎斯特准则,基带系统的总特性
Ts
H应满足
Heq
H
0,
2RbIC,I
Rb
Rb
容易验证,除(c)之外,(a)、(b)(d)均不满足无码间干扰传输的条件。
9.设某数字基带传输系统的传输特性H如图所示。
其中a为某个常数(0a1)
(1)试检验该系统能否实现无码间干扰传输;
(2)试求该系统的最大码元传输速率为多少?
这时的系统频带利用率为多少?
解
(1)根据奈奎斯特准则,若系统满足无码间干扰传输的条件。
基带系统的总特性H应满足
H
2RBi
C,
Rb
Heq
0,
Rb
可以验证:
当Rb-
0时,
上式成立,
即该系
统可以实现无码间干扰传输
该系统的最大码元传输速率Rmax,即满足Heq的最大码元传输速率Rb,容易得到
系统带宽B(1
)orad
(12)0Hz,所以系统的最大频带利用率为
B
(1)0
2
为了传送码元速率RB103Baud的数字
10.基带信号,试问系统采用图中所画的哪一种传输特性较好?
试简要说明理由
解:
根据奈奎斯特准则可以证明,(a)、(b)、(c)三种传输函数均能满足无码间干扰的要求。
下面我们从频带利用率、冲激响应“尾巴”的衰减快慢、实现的难易程度三个方面来分析对比三种传输函数的好坏。
(1)频带利用率
三种波形的传输速率均为RblOOOBaud,传输函数(a)的带宽为
Ba2103Hz
其频带利用率
Rb1000
Ba2103
0.5Baud/Hz
传输函数(b)的带宽为
B103Hz
其频带利用率
Rb
Bb
1000
1000
1Baud/Hz
传输函数(b)的带宽为
Bc103Hz
其频带利用率
Rb1000
c-1Baud/Hz
Bc1000
显然
abc
(2)冲激响应“尾巴”的衰减快慢程度
(a)、(b)和(c)三种传输特性的时域波形分别为
hat2103Sa22103t
33
hbt210Sa210t
2
hct10Sa10t
1
其中(a)、(c)的尾巴以严的速度衰减,而(b)
1
的尾巴以1的速度衰减,故从时域波形的尾巴衰减速度t
来看,传输特性(a)和(c)较好。
(3从实现的难易程度来看,因为b为理想低通特性,
物理上不易实现,而a和c比较容易实现。
综上所述,传输特性c较好。
11.二进制基带系统的分析模型如图所示,现已知
01cos0,—
H0
0,其他t
试确定该系统的最高的码元传输速率Rb及相应码元间隔Ts。
解
试确定该系统的最高的码元传输速率RB及相应码元间隔Ts。
传输特性H的波形如图所示
由上图易知,H为升余弦传输特性。
由奈奎斯特准则,可
1
求出系统最高的码元速率Rb——Baud,而Ts20
2o
12.若上题中
cos」
22
2
Ts
0,其他t
试证明其单位冲击响应为
h(t)
sint/Tscost/Tst/Ts14t2/Ts2
并画出h(t)的示意波形和说明用1/TsBaud速率传送数据时,存在(抽样时刻上)码间干扰否?
HTsG41cos」
2-2
s
其中G4波形如图所示。
而
匸
G4的逆傅立叶变换为
G4
2t
tT
4
ts
.Ts
eF
2
LG4
T:
丹4
T:
TSG4e
4
4
ts
所以
h(t)
Ts
2
Zsa2!
TsTs
2tTl
T:
2sa——2
4TsTs
2t1
Sa22
T:
14t/T:
sint/Ts
t
cos-
T:
t/Ts
2
14t/Ts
h(t)的波形如图所示。
1
由图可以看出,当传输速率RB一Baud时,将不存在(抽样时刻上)的码间干扰Ts
因为h(t)满足
h(kTs)
1,k0
0,k为其他整数
设一相关编码系统如图所示,图中,理想低通滤波器的截止频率为1/(2Ts).通带增益为Ts。
试求该系统的单位冲激响应和频率特性。
解:
理想低通滤波器的传输函数为
H'(t)"Ts
0,其他
其对应的单位冲激响应
h'(t)Sa(-t)
Is
所以系统单位响应
h(t)(t)(t2Ts)h'(t)h'(t)h'(t2Ts)
Sa—t2TsTs
系统的频率特性
H1ejTsH'()
Ts1
ej2Ts
Ts
0,其他
2TsSinTs,
Ts
0,其他
14.若上题中输入数据为二进制的,则相关编码电平数为3;若输入数据为四进制(+3,+1,-1,
-3),则相关编码电平数为7。
一般地,若部分响应波形为
sin—t
g(t)
Ri
Ts
sintRn―J
N1Ts
TSt
-tN1Ts
输入数据为L进制,则相关电平数
N
Q(L1)R1
i1
相
减
■
发送滤
Ata
信
■
接受
模2判
■
波
——r
道
W
滤波
决
15.以参考文献[1]中第IV部分响应为例。
试画出包括预编码在内的系统组成方框图解:
第IV部分响应系统的组成方框图如图所示。
16.对于双极性基带信号,试证明其码元持续时间内,抽样判决器输入端得到的波形可表示为
AnR(t),发送“T时
AnR(t),发送“0”时
x(t)
假定nR(t)是均值为0,方差为2n的高斯噪声,当发送“1”时,x(t)的一维概率密度为
1
2
f1(x)
2exp
n
xa2
22n
而发送
“0”时,x(t)的一维概率密度为
1
.22n
xA2
exp—
2n
若令判决门限为Vd,则将“1”错判为“0”的概率为
'erf
2
fo(X)
Vd
Pe1PxVd
将“o”错判为“T
1
2
的概率为
f1xdx
VdA
Pe2PxVd
Vd
foxdx
VdA
若设发送“1”和“0”的概率分别为p
(1)和p(0),则系统总的误码率为
PeP1PelP0Pe2
P1fi(x)dxp(0)vfo(x)dx
Vd
令唾0,得到
dVd
Pifi(Vd)p0f°(Vd)0
解得最佳门限电平为
Vd丄n胞
AP
(1)
17•试证明对于单极性基带波形,其最佳门限电平为
2
Vd△亠吧
2AP
(1)
最小误码率
Pe
erfc
2
.2
(“f和“0”等概出现时)
证明:
对于单极性基带信号波形,在一个码元持续时间内,抽样判决器输入端得到的波形可表示为
AnR(t),发送“1”时nR(t),发送“0”时
其中nR(t)为均值为0,方差为2n的高斯噪声。
发送“T时,x(t)的一维概率密度为
f1(x)
exp(xA)2
n
而发送
1
2
“0”时,x(t)的一维概率密度为
1
22n
2
x
2
令判决门限为Vd,则将“T错判为“o”的概率为
2
(xA)dx
f°(x)
Pe1PxVd
将“0”错判为
Vd1
T^exp
n
“1”的概率为
1
Vd2nexP
“0”的概率密度分别为
PeP1Pe1P1Pe0
Pe0PxVd
设发送“1”和
2
X
22n
dx
p
(1)和p(0),则系统总的误码率为
令氈0,可求得最佳门限电平
dVd
Vd,即
1
p
(1)j—exp
-2n
A)2
2
n
1
、2
=exp
n
2
Vd
22n
解得
若P(O)
2np(0)—In——p
(1)
1…p
(1)c,则Vd
2
此时,系统的误码率为
Pe
V
p
(1)
exp
(xA)2dx
P(0)
Vd
exp
n
x2
22n
dx
1erf
A
2,2n
-erfc
2
A
2/2n
18.
若二进制基带系统如图
现已知
所示。
并设C
1,Gt
Gr
01cos0,
Cr
n°
0,其他
的输出噪声功率谱密度为
n°
TC
01cos
2
接收滤波器Cr
0
输出噪声功率为
01cos
若二进制基带系统如图所示。
并设C现已知
1,Gt
Gr
01COS0,
H
0,其他
解
设系统发送“T时,接受滤波器的输出信号为A电平,而发送“0”时,接受滤波器的输出信号为0电平。
令判决门限为Vd,则发送“1”码错判为“0”的概率为
Vd1
exp
2
发送“0”码错判为“1”的概率为
Pe0
exp
vd2
设发送“1”和“0”的概率分别为p
(1)和p(0),则总的错误概率为
PeP
(1)Pe1P(0)Pe0
Vd1
|vA
1
v
p
(1)
exp
dv
Vcexp-
」dv
2
vd2
令dPe
0,
并考虑p
(1)
P(0)
1,可求得最佳门限电平
dVd
A
此时,系统误码率为
Pe
P
(1)
Vd1
exp
2
」dv
exp
vd2
1exp
2
1”、“0”的出现概率相
20.某二进制数字基带系统所传输的是单极性基带信号,且数字信号
等。
用p
(1)和p(0)分别表示数字信号
1’和“o”出现的概率,贝yp(i)
p(0)
—,等概率时,最佳判决门限vd—0.5V
22
已知接受滤波器输出噪声均值为0,均方根n0.2V,误码率
Pe
1A
erfc
22.2n
6.2110
21.某二进制数字基带系统所传输的是单极性基带信号,且数字信号等。
解
根据Pe105,即
1”、“0”的出现概率相
Pe
1erfcA
22,2n
10
求得
A8.53
22.若将上题中的单极性改为双极性基带信号,其他条件不变,重做上题。
解
等概时采用双极性基带信号的基带传输系统的最小误码率
Pe
1erfc
2
已知A1,n0.2,则
1.1
peerfc
2、20.2若pe105
2.8710
1erfc
2
105
可求得
4.26
23.设随机二进制序列中的
0和1分别由g(t)和-g(t)组成,它们的出现概率分别为P及(1-P):
若g(t)为如图5-6(a)所示波形,Ts为码元宽度,问该序列存在离散分量fs=1/Ts否?
g(t)
当基带脉冲波形g(t)为
i,itiT2S
0,其他t
G(f)g(t)的傅立叶变换G(f)为
sinfTs
fTs
因为G(f)TsSfsTs0
fsIs
由题
(1)中的结果知,此时的离散分量为0。
P及(1-P):
24.设随机二进制序列中的0和1分别由g(t)和-g(t)组成,它们的出现概率分别为
若g(t)为如图所示波形,Ts为码元宽度,问该序列存在离散分量fs=1/Ts否?
解:
(3)g(t)
1,|t|
Ts
4
0,其他t
g(t)的傅立叶变换G(f)为
TssinfsTs/2Ts
G(f)ssss0
2fsTs/2
所以该二进制序列存在离散分量
25.设某基带传输系统具有如图所示的三角形传输函数:
RB
0
当数字基带信号饿传码率
时,用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间干扰传输?
Heq
H—iC,
Ts
Ts
0,
容易验证,
o时,
Tsi
2
TS
H2oiC,所以当传码率RB
i
H2oi
i
0时,系统不能
根据奈奎斯特准则,当系统能实现无码间干扰传输时,H应满足
实现无码间干扰传输。
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