专题7学生版导纲.docx
- 文档编号:15697512
- 上传时间:2023-07-06
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:108.39KB
专题7学生版导纲.docx
《专题7学生版导纲.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题7学生版导纲.docx(15页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
专题7学生版导纲
专题六:
概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第二讲概率、随机变量及其分布
班级:
姓名:
小组:
评价:
一、【备考策略】
1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题,中低档难度;2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等;对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”,多在解答题的前三题的位置呈现,常考查独立事件的概率,超几何分布和二项分布的期望等.
二、【最新考纲透析】
随机变量,随机变量分布函数的概念及其性质,离散型随机变量的概率分布,连续型随机变量的概率密度,常见随机变量的分布,随机变量函数的分布
1.理解随机变量的概念,理解分布函数
的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0—1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用。
3.掌握泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布。
4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布U(a,b)、正态分布、指数分布及其应用,其中参数为()的指数分布的概率密度为
5.会求随机变量函数的分布。
三、【核心要点突破】
1.概率模型公式及相关结论
(1)古典概型的概率公式.
P(A)=
=
.
(2)几何概型的概率公式.
P(A)=
.
(3)条件概率.
在A发生的条件下B发生的概率:
P(B|A)=
.
(4)相互独立事件同时发生的概率:
若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B).
(5)若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),
P(
)=1-P(A).
2.独立重复试验与二项分布
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=C
pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数,则X服从二项分布,即X~B(n,p)且P(X=k)=C
pk(1-p)n-k.
3.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=
,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样,超几何分布中的参数是M,N,n.
4.离散型随机变量的均值、方差
(1)离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
n
P
p1
p2
p3
…
pi
…
pn
离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质:
①pi≥0;
②p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n).
(2)E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.
D(ξ)=(x1-E(ξ))2·p1+(x2-E(ξ))2·p2+…+(xi-E(ξ))2·pi+…+(xn-E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差.
(3)数学期望、方差的性质.
①E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ).
②X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
③X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
热点一 古典概型与几何概型
【例1】
(1)(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2016·山东卷)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________.
【训练1】
(1)(2016·全国Ⅰ卷)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2017·江苏卷)记函数f(x)=
的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________.
热点二 互斥事件、相互独立事件的概率
命题角度1 互斥条件、条件概率
【例2-1】(2016·全国Ⅱ卷选编)某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.
命题角度2 相互独立事件与独立重复试验的概率
【例2-2】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为
和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
,求p的值;
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
【训练2】(2017·邯郸质检)2017年4月1日,国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区,这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区,是千年大计、国家大事。
多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设,纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司,且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的,每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司.向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中,
(1)求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率;
(2)用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数,用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数,记ξ=|X-Y|,求ξ的分布列.
热点三 随机变量的分布列、均值与方差
命题角度1 超几何分布
【例3-1】(2017·山东卷)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:
将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).
命题角度2 与独立重复试验有关的分布列
【例3-2】(2017·郴州二模)某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况,绘制了该厂日销售量的频率分布直方图,如图所示:
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求未来3天内,连续2天日销售量不低于8吨,另一天日销售量低于8吨的概率;
(2)用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数,求随机变量X的分布列、数学期望与方差.
【训练3】(2017·西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票,推出三种购票方式:
窗口购票、电话购票、网上购票,旅客任选一种购票方式.若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票,并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的.
(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率;
(2)记这三名旅客购票方式的种数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
热点四 概率与统计的综合问题
【例4】 (2017·衡阳联考)当今信息时代,众多高中生也配上了手机,某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响,随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩,用茎叶图表示如下图(记60分为及格):
(1)根据茎叶图中数据完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响?
及格
不及格
总计
很少使用手机
经常使用手机
总计
(2)从50人中,选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙,解一道数列题,甲、乙独立解决此题的概率分别为p1,p2,且p2=0.4,若p1-p2≥0.3,则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”,记X为两人中解决此题的人数,若E(X)=1.12,问两人是否适合结为“师徒”?
参考公式及数据:
K2=
,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
【训练4】(2017·全国Ⅰ卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
经计算得
=
xi=9.97,s=
=
≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数
作为μ的估计值
,用样本标准差s作为σ的估计值
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除(
-3
,
+3
)之外的数据,用剩下的数据估计μ(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ ≈0.09. 四、【高考真题探究】 1.(2017·山东卷)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A. B. C. D. 2.(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7: 30,8: 00,8: 30发车,小明在7: 50至8: 30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A. B. C. D. 3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________. 4.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位: ℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位: 瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位: 元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值? 五、【跟踪模拟训练】 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A. B. C. D. 2.(2017·贵阳质检)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于 ,则n的最小值为( ) A.4B.5C.6D.7 3.(2017·全国Ⅰ卷) (1+x)6的展开式中x2的系数为( ) A.15B.20C.30D.35 4.(2017·长郡中学二模)设随机变量X服从正态分布N(4,σ2),若P(X>m)=0.3,则P(X>8-m)=( ) A.0.2B.0.3 C.0.7D.与σ的值有关 5.(2017·浙江卷)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2< ,则( ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 二、填空题 6.(2017·潍坊三模)在[0,a](a>0)上随机抽取一个实数x,若x满足 <0的概率为 ,则实数a的值为____________. 7.(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个(用数字作答). 8.(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是________. 三、解答题 9.(2017·成都二诊)甲乙两名同学参加定点投篮测试,已知两人投中的概率分别是 和 ,假设两人投篮结果相互没有影响,每人各次投球是否投中也没有影响. (1)若每人投球3次(必须投完),投中2次或2次以上,记为达标,求甲达标的概率; (2)若每人有4次投球机会,如果连续两次投中,则记为达标.达标或能断定不达标,则终止投篮.记乙本次测试投球的次数为X,求X的分布列和数学期望E(X). 10.(2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者. (1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率; (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ); (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论) 11.(2017·新乡三模)为推行“新课堂”教学法,某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表: 记成绩不低于70分者为“成绩优良”. 分数 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数 1 3 6 5 5 (1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”? 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附: K2= ,其中n=a+b+c+d. 临界值表 P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 (2)现从上述40人中,学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为X,求X的分布列及数学期望.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题 学生 版导纲