博达四边形例题2.docx
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博达四边形例题2.docx
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博达四边形例题2
第六次四边形
(2)
1、点E、F分别是四边形ABCD的对角线BD的三等分点,CE、CF的延长线分别平分AB、AD,且交AB、CD于G、H;求证:
四边形ABCD是平行四边形。
2、如图,CD∥AF,∠CDE=∠BAF,AB⊥BC,∠C=124°,∠E=80°,求∠F的度数。
(1)观察直线AB与直线DE的位置关系,你能得出什么结论并说明理由;
(2)试求∠AFE的度数.
分析:
(1)先延长AF、DE相交于点G,根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°.又已知∠CDE=∠BAF,等量代换可得∠BAF+∠G=180°,根据同旁内角互补,两直线平行得AB∥DE;
(2)先延长BC、ED相交于点H,由垂直的定义得∠B=90°,再由两直线平行,同旁内角互补可得∠H+∠B=180°,所以∠H=90°,最后可结合图形,根据邻补角的定义求得∠AFE的度数.
解:
(1)AB∥DE.理由如下:
延长AF、DE相交于点G,
∵CD∥AF,∴∠CDE+∠G=180°.
∵∠CDE=∠BAF,∴∠BAF+∠G=180°,∴AB∥DE;
(2)延长BC、ED相交于点H.
∵AB⊥BC,∴∠B=90°.
∵AB∥DE,∴∠H+∠B=180°,∴∠H=90°.∵∠BCD=124°,
∴∠DCH=56°,∴∠CDH=34°,∴∠G=∠CDH=34°.
∵∠DEF=80°,∴∠EFG=80°-34°=46°,
∴∠AFE=180°-∠EFG=180°-46°=134°.
3、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点,OF⊥AD于F,AE⊥BD于E,且BE:
ED=1:
3,若AC=2cm,求OF、AE的长。
解:
ABCD是矩形,AC、BD是对角线
∴AC=BD=2
已知BE∶ED=1∶3
∴BE=
又∵AE⊥BDOB=OA
∴OA=1OE=
∴AE=
∵OE=
AE
∴∠EOA=∠AOF=60°
在Rt△AOF与Rt△AEO中:
OE=OF,∠EOA=∠AOF,OA=OA
∴Rt△AOF≌Rt△AEO(SAS)
∴OF=OE=
4、如图,在等腰△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB的中点,P是AB上异于点D的一点,PE⊥BC,PF⊥AC,求证:
△EFD是等腰直角三角形。
证明:
DE=DF,且关系不变
理由:
由题意可知,四边形EPFC是矩形,所以PE=CF
∵∠C=90°,AC=BC
∴∠A=∠B=45°
∵PF⊥AC,∴△AFP为等腰直角三角形,∴AF=PF=CE
∵D是斜边AB的中点
∴AD=DC=DB
∴∠DCB=∠B=45
在△AFD与△CDE中
AF=CE,∠DCB=∠A=45°,AD=DC
∴△AFD≌△CDE所以DE=DF
5、已知如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点M,AN平分∠DAC交BC于点N,求证:
四边形AMNE是菱形。
解:
设BE交AN于O
∵∠BAC=90°,AD⊥BC
∴∠ABC=∠DAC
又∵BE,AN分别是∠ABC,∠DAC的平分线
即∠ABE=∠CBE∠DAN=∠CAN
∴∠DAN=∠CBE
∵∠BGD=∠AGE(对顶角)
∴∠BOA=∠BDA=90°
∴BE⊥AN即AO⊥EM
在Rt△AOM与Rt△AOE中
∠DAN=∠CANOA=OA
Rt△AOM≌Rt△AOE
∴OE=OM
同理△ABO≌△BNO(直角三角形,OB=OB∠ABE=∠CBE)
∴OA=ON
∴四边形AMNE是平行四边形
∵∠DAN=∠CAN
OE=OMAO⊥EM
∴△AME是等腰三角形(三线合一)
∴AM=AE
∴平行四边形AMNE为菱形
6、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O点,AE平分∠BAD,交BC于E,∠CAE=15°,求∠BOE的度数。
解:
设AB=1,
∵AE平分∠BAD,∠EAO=15°,
∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°,
∴∠OBC=30°,
∴∠AOB=60°,
∴△OAB为等边三角形,
∴OA=OB=AB
又∵∠ABE=90°,∠BAE=45°
∴AB=BEOB=BE
又∵∠OBE=30°
∴∠BEO=(180°-30°)÷2=75°
7、如图,在菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,求∠CEF的度数。
分析:
首先证明△ABE≌△ACF,然后推出AE=AF,证明△AEF是等边三角形,最后可求出∠AFD,∠CFE的度数.
解:
连接AC,
在菱形ABCD中,AB=CB,
∵∠B=60°,
∴∠BAC=60°,△ABC是等边三角形,
∵∠EAF=60°,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即:
∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
∠BAE=∠CAF
AB=AC
∠B=∠ACF
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,
又∠EAF=∠D=60°,则△AEF是等边三角形,
∴∠AFE=60°,
又∠AEC=∠B+∠BAE=80°,
则∠CEF=80°-60°=20°.故答案为20°.
8、如图,M是边长为1的正方形ABCD内一点,∠CMD=90°,MA2-MB2=
求∠MCD的度数。
解:
已知MA2-MB2=
在Rt△ANM中,AM2=AN2+MN2①
在Rt△BNM中,BM2=BN2+MN2②
①-②:
AM2-BM2=AN2-BN2
∴AN2-BN2=
③
设:
AN=x,则BN=1-x
代入③:
解得:
∴AN=
,BN=
,CF=BN=
取CD中点E,连接ME,则Rt△DMC中,ME为斜边CD的中线
ME=
CD=
又∵EF=CE-CF=
∴EF=FC即FM垂直平分CE
∴CM=EM=
在Rt△MFC中,FC=
CM
∴∠FMC=30°,∠MCD=60°
第七次-四边形(3)
1、已知正方形ABCD,BE∥AC,且CE=AC,延长EC交BA的延长线于F,求证:
AF=AE.
解:
连接BD交AC于O,过C作CM⊥BE,
∵ABCD是正方形,∴OB⊥AC,OB=
AC
又∵BE∥AC,∴∠EBO=∠BOC=90°
∵CM⊥BE∴OBMC是矩形,∴OB=CM
又∵CM=
ACAC=CE∴CM=
CE
又∵CM⊥BE∴∠CEM=30°
∵AC=CE∠CAE=∠CEABE∥AC∴∠CAE=∠AEB
∴∠CEA=∠AEB=15°
∵∠ACD=45°又A、C、E在一条直线上,
∴∠ACE=180°-2×15°=150°
∴∠ACF=30°∴∠FCD=15°
而∠F=∠FCD=15°=∠CEA,∴AF=AE
2、在△ABC中,分别以边AB、AC向外做正方形ABDE、ACFG,求证:
BG=CE且BG⊥CE.
证明:
∵∠EAC=90°+∠BAC,∠GAB=90°+∠BAC,
∴∠EAC=∠GAB,又AE=AB,AG=AC
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG
∵△AEC≌△AGB
∴∠AEC=∠ABG
设EC和AB交于K点。
设EC和BG交于O点。
则∠EKA=∠BKC(对顶角相等)
∴∠EAB=∠AEC+∠EKA=90°
∴∠KOB=∠CKB+∠OBK=∠AEC+∠EKA=90°,即CE⊥BG
3、如图,正方形ABCD的面积为1,M、N分别为AD、BC边上的中点,将点C折至MN上,落在P点的位置,折痕为BQ,
(1)求MP.
(2)以PQ为边的正方形的面积.
解:
根据折纸对称的性质得,BP=BC=1,而BN=
由勾股定理:
PN=
∴MP=1-PN=1-
作PR⊥CD,垂足为R.
由对称性可知:
CQ=PQ,设PQ=x,则DQ=1-x,
RQ=DQ-DR=(1-x)-MP=(1-x)-(1-
)=
-x,又PR=
在直角三角形PRQ中,
(即RQ2+PR2=PQ2)
解得x=
,即PQ=
∴以PQ为边长的正方形面积等于
.
4、如图,在正方形ABCD中,E是AD边的中点,BD与CD交于点F,求证:
AF⊥BE。
分析:
首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE,推出∠ABE=∠DCE,再证△ADF≌△CDF,求得∠FAD=∠FCD,推出∠ABE=∠FAD;求出∠ABE+∠BAG=90°;最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可.
AF⊥BE.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,E是AD边上的中点,
∴AE=DE,AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,
在△BAE和△CDE中
∵AE=DE,∠BAE=∠CDE,AB=CD
∴△BAE≌△CDE(SAS),
∴∠ABE=∠DCE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,
∵在△ADF和△CDF中,AD=DC,∠ADF=∠CDF,DF=DF
∴△ADF≌△CDF(SAS),
∴∠FAD=∠FCD,
∵∠ABE=∠DCE
∴∠ABE=∠FAD,
∵∠BAD=∠BAF+∠DAF=90°,
∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠AGB=180°-90°=90°,
∴AF⊥BE.
5、如图,在正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,BE与CF交于点P,求证:
AP=AB。
证明:
∵BC=CD,∠BCE=∠D=90°,CE=DF
∴△BCE≌△CDF(SAS),∴∠CBE=∠DCF
∵∠DCF+∠BCF=90°,∴PB⊥CF
取BC的中点M,连接AM交BP于O,
CM∥AF,且CM=AF。
∴四边形AFCM是平行四边形。
∴AM∥CF,又CF⊥BP,∴AM⊥BP
又∵M是BC的中点,MO∥CP,∴OM是△BPC的中位线。
∴OB=OP,∴AB=AP(三角形中垂线定理)
6、如图,在正方形ABCD中,BE∥AC,F为BE上一点,且四边形ACEF为菱形,求证:
AF、AE三等分∠BAC.
证明:
连接BD交AC于O,作FN⊥AC于N
∵四边形ACEF是菱形
∴AC//FE,AF=AC
∵E,F,B在同一直线上
∴AC//BE
∴BO=FN【平行线间的平行线段长相等】
∵四边形ABCD是正方形
∴BO=
AC
∴FN=
AF
∴∠CAF=30º【直角三角形长为斜边一半的直角边所对的角为30º】
∵AE平分∠CAF【菱形对角线平分对角】
∴∠CAE=∠EAF=15º
∵∠BAC=45º
∴∠BAF=15º
∴AE,AF三等分∠BCA
7、如图,已知锐角△ABC中,AB>AC,AM是BC边的中线,过M作DM⊥AM交AB于D.
求证:
AD-DB<AC.
证明:
延长AM到E,使EM=AM,连接DE、BE
∵M为BC的中点
∴BM=CM
∵EM=AM,∠BME=∠CMA
∴△BME≌△CMA(SAS)
∴BE=AC
又∵DM⊥AE,AM=EM
即DM垂直平分AE
∴AD=DE
∵在△BDE中:
DE-BD<BE(三角形两边之差小于第三边)
∵DE=AD,BE=AC
∴AD-BD<AC
第七次练习
一、7、如图,自矩形的顶点C作CE⊥BD于E,延长BC到F,使CF=BD,连接CF,则∠BAF的度数为
解:
连接AC交BD于O,作AG⊥BD于G.
∵CE⊥BD∴AG∥EF∴∠GAF=∠F
∵ABCD是矩形
∴AC=BD AO=
AC DO=
BD
∴AO=DO∴∠OAD=∠ODA
∵CF=BD ∴AC=CF∴∠CAF=∠F∴∠GAF=∠CAF
∵ABCD是矩形 AG⊥BD
∴∠BAD=∠AGB=90°
∴∠ABG+∠BAG=90° ∠ABG+∠ODA=90°
∴∠BAG=∠ODA∴∠BAG=∠OAD
∵∠GAF=∠CAF
∴ ∠BAF=∠BAG+∠GAF=
×90°=45°
11、如图,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边向形外作等边△ABF、△ACE、△BDC.
(1)求证:
四边形AEDF是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,这个四边形是矩形、菱形、正方形?
解答:
(1)解:
∵△ABF和△DBC都是等边三角形,
∴∠FBD+∠DBA=∠ABC+∠ABD=60°,
∴∠FBD=∠ABC.
又∵BF=BA,BD=BC,
∴△ABC≌△FBD,
∴AC=DF=AE,
同理可证△ABC≌△EDC,
∴AB=ED=AF,
∴四边形AEDF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
分析;一点发出四条线段二二相等(这里的CA,CE;CF,CB与BD,BA;BF,BC)夹角相等时可得到一对旋转形全等三角形。
(2)①当△ABC满足∠BAC=150°时(此时∠EAF=90°),四边形AEDF是矩形;
②当△ABC满足AB=AC时(此时AF=AE),四边形AEDF是菱形(∠BAC不为60°);
③当△ABC满足AB=AC,且∠BAC=150°时(此时AF=AE,∠EAF=90°),四边形AEDF是正方形
④当△ABC满足∠BAC=60°时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在。
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