大学物理简明教程吕金钟第四章习题答案.docx
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大学物理简明教程吕金钟第四章习题答案
q'
4q
F1q'q
qq4二;Or2
Fq4q=
14qq
4二;0
I2
处于平衡状态:
Fqq'
'Fq4q=0
1q'q1
4二;O
r24二;O
4qqO
(1)
同理,
4q受到的力为:
F4qq'
1q'4q
4二;0
I-r2
F4qq
1q4q
I2
第四章电磁学基础
静电学部分
4.2』解平衡状态下受力分析
+q受到的力为:
F4qq'
丄卓.丄斗O
4二;0I-r4二;OI
(2)
通过
(1)和
(2)联立,可得:
II
rF,q=
4.3解:
根据点电荷的电场公式:
E=严er
4二;Or
点电荷到场点的距离为:
、r2∙∣2
ELAI
两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称:
E〃=2ecost
q
CoSr
所以:
qr
-32
E=2E亠COSr=22423
4^0r+IHl22叭(r2+I2J3
当r“IE-——q2-—与点电荷电场分布相似,在很远处,两
2二;0r4二;0r
个正电荷q组成的电荷系的电场分布,与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。
4.4解:
取一线元dq=ΛRd^,在圆心处
产生场强:
兀1dq1λRdθdE22
4;OR4;0R
分解,垂直X方向的分量抵消,沿X方向的分量叠加:
dEχ
Rdd
X
R2
SinVU
方向:
沿X正方向
4.5解:
(1)两电荷同号,电场强度为零的点在内侧;
(2)两电荷异号,电场强度为零的点在外侧。
4.7解:
线密度为λ,分析半圆部分:
dq=,dl=.rdJ
点电荷电场公式:
在本题中:
E=-'于
4瓏0r
电场分布关于X轴对称:
EX=ESi
1rd-.Sin
4二;0r
Ey=O
进行积分处理,上限为-,下限为--:
π
E=ESinr
1'r^sin.
g°r
31扎
Sin北二
or
方向沿X轴向右,正方向
分析两个半无限长:
θλ九
EX=dEχSin刃(CoSR-cos屯)
幻4胧0x4脱0x
Ey=dEyCoSrd(Sin^2-sin^1)
Iy4^ε0x4^ε0x
-1,<12=二,EX,Ey:
24πε0x4πε0x
两个半无限长,关于X轴对称,在y方向的分量为0,在X方向的分量:
E=2Ex=24πε0r2胧0r
在本题中,r为场点O到半无限长线的垂直距离。
电场强度的方向沿X轴负方向,向左。
那么大O点的电场强度为:
/u—扎
E0
2二;0r2二;0r
4.8解:
E的方向与半球面的轴平行,那么通过以R为半径圆周边线的任意曲面的电通量相等。
所以
通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半
径圆面的电通量,即:
①1=∙φ2"R2E
4.9解:
均匀带电球面的场强分布:
「Q
E=4π;0r2
0
球面Ri、R2的场强分布为:
1q2
Ei=4π0r2
I0
rRi
rRi
_q
E2=4π0r2
i0
rR2
rR2
根据叠加原理,整个空间分为三部分:
Ei+E2=0
E+E=q
EIE^^Or2
EiE2qy=0
4二0r240r2
根据高斯定理,取高斯面求场强:
:
,SEdSMr2E=
0
q
rRi
RirR2
rR2
rR
Ri:
:
r:
:
R2
rR2
场强分布:
q
4~0r2
rRi
RirR2
rR2
L,2Q
LQ
E4二r
E-
4∙r;o
Qr3LQr
3E=3
0R4>0R
方向:
沿径向向外
4.10解:
(1)、这是个球对称的问题
2
Ge=SEdS=ESdS=E4二r
当rR时,高斯面对包围电荷为Q
当r:
:
:
R,高斯面内包围电荷为q
33
4二r3QQr32
q3rE4r
34jtRR
3
方向沿径向
(2)、证明:
设电荷体密度为P=-q-
^r3
3
这是一个电荷非足够对称分布的带电体,不能直接用高斯定理求解。
但可以把这一带电体看成半径为R电荷体密度为P的均匀带电球体和半径为R'、电荷体密度为-P的均匀带电体球相叠加,相当于在原空腔同时补上电荷体密度为P和-P的球体。
由电场叠加原理,空腔内任一点P的电场强度为:
E=ElE2
在电荷体密度为P球体内部某点电场为:
E1r
3
N_PN
在电荷体密度为-P球体内部某点电场为:
E2r'
3
PPQ
所以E=EIE^^0r^r'^^^a
4.11解:
禾U用高斯定理,把空间分成三部分
:
」=SEdS=4r2E
14
π
;o3
14
π
匚03
0
r3一R3J
R;-R3、
rR1
RlrR2
rR2
R1
场强分布:
E=*
3*r
P
RlrR2
3"JRlRI
rR2
方向:
沿径向向外
4.12解:
取闭合圆柱面为高斯面,高斯定理
:
=SEdS
=2「rlE
r?
场强分布:
E=
2;0
R2、
2R
2r0
方向沿径矢方向
4.14解:
无限大带电平面的电场分布为:
2;0
场强叠加
σ
E=-
2;0
(1)电荷面密度均为σ
在一区:
2;0
在三区:
σσ=2
2;0
(2)电荷面密度分别为σ和-σ
亠—CF-CF
在一区:
E0
—¢5"
E=
5
2%2%
E
在三区:
E0
2釦2鈿
2;o2g
方向为垂直于平面方向
4.16解:
把总的电场力做功看做是正电荷+q电场力做功和负电荷-q电场力做功的叠加,
得用公式(4—14):
21
mQqo
4二;°r2
Qqo1
dr=
4耽oIrarb
(1)把单位正电荷从O点沿OCD移到D点,电场力做功。
设试验电荷电量为
qo。
正电荷+q的电场力做功:
qqo
4二;o
qq。
6二;0l
负电荷-q的电场力做功:
A_=二^ULθ
4叫ι∣lJ
总的电场力做功:
AO
=A亠亠A_=
qq。
6二;0∣
对单位正电荷做功为:
A=Aq-
qo6號o∣
(2)把单位负电荷从AB的延长线移到无穷远处,电场力对它对做功。
设试验电荷电量为-qo。
正电荷+q的电场力做功:
A+=归」丄-丄i
4腮O<3lo0J
负电荷-q的电场力做功:
A
-^qJrI1]
4耽。
Il旳丿
总的电场力做功:
AA.Aq-qo1.-q-qo1qqo
一4二;O3l4二;Ol6二;ol
对单位负电荷做功为:
A=A
qo
q
6二;ol
4.19解:
均匀带电球面内外的电势分布为:
大
R
Q
U(r)喳
4二;OR
结合本题,先写出各个球面的电势分布,再利用电势叠加原理
qι
对于球面1:
U10=4'°r
qι
4二;0R1
整个空间内,电势分三部分:
r 4胧OR4πε0R2 r一尺 亡Ri 对于球面2: U20 对应于红色部分 q2 4瓏or q2 4二;0R2 r一R2 心R2 对应于蓝色部分 对应于外部空间 I r=R U1 -qi一 4q2 4胧oRi 4胧0R2 r=R2 U2 qi +q2 4瓏0R2 4% R2 两个球面之间的电势差为 : f. △U= qi qi qi i i — g°R 4兀%R2 4殆0 R2J 此题也可得用积分来求U=;Ed R2 Edl= R2 dr= RI2二r;0 2二;0 Ri 4πε°r4脱°R2 r-R2Uqιq2- 4πε0r4瓏0r 那么两个球面上的电势: 4.22解: 做一闭合圆柱面为高斯面,求两个无限长同轴圆筒间的电场强度 λ R1乞r岂R2E= 2二r;。 4.23解: 取无穷远处为电势零点设导体球带电量为q' 深圳大 由于点电荷q的存在,我们并不清楚导体球面上电荷的具体分布,但是球面上任何电荷元dq到球心的距离都是R。 导体球是等势体,只需求出球心的电势就可以了。 电势叠加原理 U「旦•亠 q4πε0R4胧Or 式中两项分别是导体球面上所有电荷和点电荷q在球心处的电势,积分得 亠 4^oR4脱0「 此为点电荷q电场影响下的,导体球的电势,根据题设,导体球电势为0 Uq=O 4πε0R4號0r 可得: q'=二Rq r 4.28解: 基本的电容题,写出各个量 42412 S=5010m,d=110m,;r=2.0,8.8510"F/m 利用有介质时的平行板电容器的电容公式: 12_4 CErEOS2汽8.85心0汉50汉10CCL“卫L CL-O48.8510F d1×10^ 每个极板上的电荷量为: Q=CU=8.8510j0100=8.8510」C 4.30解: 充电后把电源断开,平行板电容器两个极板上的带电量不变,为Q0。 两极板距离为d时,C^^-S,UO=QO,EO=U2,W^=-Q^=1OEOSd dC√d02C0200 两极板距离为2d时,C=-OS=ICO,U=QO=J2QO=2U0, 2d2CCo EQ=纽=Eo 2d2d W=I;0E2S2d=1;0E(S2d=2W0 22 Q22Q2 W=QL=2QL=2W0,或者: 2C2Co 4.33解: 在真空中导体球外的电场分布为 Eo Q 4二;0r2, 有介质存在时的电场分布为E但,介电常数2…, Q 4二;r2 导体球外整个空间介电常数为 电场能量密度=1E2 2 取一均匀半径为r,厚度为dr的球壳,球壳上E大小相等 球壳厚度为dV=4r2dr 2 电场能量为W=讣E2dV=&;暑卜M 1Q2 Q2 8二;R 4.36解: 球形电容器的电容公式 C4二;0RR2 R2—R1 24二; 电容器的能量 W=Q=1Q: U 2C2 JC-U2 2 得到球形电容器所储存的能量为 14二;oRRU2 2R2-R 2二°RiR2u R2-R∣ 4.39解: 对于导线 所以导线 静磁学部分 (a)根据毕萨定律: d^AIdrr 2部分,P点在其延长线上, Idler=0, 根据例4.19的结论: 2在P点的磁感应强度为0。 μI Bcost-cos^ 2 ⅛JT 对于导线1: 弓二一 2 (b)对于导线1、3, 的磁感应强度分别为: μI 岂=二,B=,方向垂直纸面向外。 4二a 可视为半无限长载流导线,在P点 JI B0-,方向均垂直纸面向里。 4r 对于导线2,根据例4.20的结果: 载流圆弧在圆心处的 .I 磁感应强度为,BO0T。 导线2在圆心处的磁感 2 I 应强度为 O 2二2R Bo=-•吐,方向均垂直纸面向里。 22r 磁场叠加: B=^I0L∙U,方向垂直纸面向里。 4町4r2町4r (C)根据毕萨定律: d^A巴学 4兀r 对于导线1、3部分,P点在其延长线上,Idle「=0, 所以导线1、3在P点的磁感应强度为0。 对于导线2,根据例4.20的结果: 载流圆弧在圆心处的 磁感应强度为,BOOL。 导线2在圆心处的磁 2兀2R 感应强度为,BOol,方向垂直纸面向里。 8R 3 R 4.41解: 据毕萨定律: jO Idler 2 r 对于导线A、B部分,P点在其延长线上,Idler=0, 所以导线A、B在P点的磁感应强度为O0 两段圆弧可以看做一个并联电路。 设导线1对应弧度θ1, 导线2对应弧度θ2,θ什θ2=2π 电阻之比为: R2 电流之比: K。 导线1在圆心处的磁感应强度为: 导线2在圆心处的磁感应强度为: 2二 BoI"2 2R2二 Joi21 方向垂直纸面向里。 2二2R 方向垂直纸面向外。 所以在圆心处的全磁感应强度为Oo 4.42解: 根据无限长载流导线的磁场分布公式 fai dr Be 导线1在两导线中点处的磁感应强度为 μI B10-,方向垂直纸面向外 2二d 2 导线2在两导线中点处的磁感应强度为 巴I B20^,方向垂直纸面向外 2 2λo∖ 合磁感应强度为: B=^-,方向垂直纸面向外 Bi=卫,求磁通量: : •: -1= 2r InL 2二r1 同理可得导线2对这一矩形的磁通量: ÷2 r3Sr亠L 3 ..Il 因为rι=R,并且磁场方向一致,l- In π rι■r2 ri 4.43解: 利用安培环路定理: TBdl=%ΣIint 本题为一圆柱体。 JId 当r: : : R时,LBdl=B2二r-%'Tint=%二r %r2∣ 二R2R2 B至^Ir 2二rR2一2二R2 当rR时,[Bdl=B2二r=FSt=氏1 B丄 无限长载流圆柱的磁场分布为: 求一段圆柱内环绕中心的磁通量,通过阴影部分的磁通卓 2二R AL J2舟 就是求圆柱内 根据上一问的结果,在圆柱内: B=%lr 在小面积元ldr上磁感应强度相同,磁通量为: ^F^0Ir%||rR%II BdS02ldr02rdr一 S02二R22二R204二 4.47解: 粒子运动受到的洛仑兹力等于向心力 I I r 2 q心节,可得粒子动量为: mv=qBR 代入数据: mv=1∙61049152=4.810^8kgm/s 4.48解: 这是一个细导线闭合回路,设电流方向为顺时针 4R 圆弧在圆心处: BO= 22R 深 在矩形中取一个小的面积元,Idr,在这个小面积上导线1产生的B是相等的。 方向垂直纸面向里 电流元Idl在圆心处受力: dF=IdlB,即: LBdl需|d| 单位长度导线所受的力: dF j0∣ dl 4R 4.49解: 设磁场垂直纸面向里 取直径把导线圆环分成任意两个半圆弧分析右边圆弧的受力情况 电流元受力: dF=IdlB 各个电流元受力的方向不同,需要进行力的分解对称性质分析,在y方向上合力为0。 X π Fx=dFCoSV-BIdlCoSv-BICoSdRdV-BI2R 沿X轴正方向。 同理可分析左边半圆弧的受力,大小相等,方向相反,导线圆环所受合力为0。 所受张力为导线圆环上各点受力 4.52解: 分析过没介质时螺绕环的磁场分布。 现在是有介质的情况,用H的环路定理 =LHUint 本题中,取磁场线为闭合路径,磁场强度为: HL=Nl代入数据: H=40A∕m 磁感应强度为: B=j%H,代入数据: B=0.25T 求传导电流产生的磁感应强度,利用稳恒磁场的安培环路定理 LBOdl=二0、Iint,可得: B0=τNI=5∙0410^T 由B=B°B',磁化电流产生的磁场为: B'=B-B°: 0.25T 电磁感应部分 4.54解: ab运动到与OC相距X时,磁感应强度 X B=kt=k V 切割磁感线,动生电动势为: =IVBdl X =VBl=VkUkxl V 方向由b向a。 磁场变化,法拉第感应定律,感生电动势为: deBSktsI Egk dttt 假设与磁场方向满足右手螺旋为正方向,由 现在结果和假设方向相反,为由b向a。 动生电动势和感生电动势方向相同,叠加: 4.55解: 利用动生电动势的公式 =LVBdl 对于ab段,V和B的夹角是90度, VB的方向与由a到b的方向夹角 -kxl a向b。 ;=;d∙;g=2kχl,方向由b向a 为90度,可得VBdl=O,所以ab段上的动生电动势为O。 对于be段,V和B的夹角是90度,VB的方向与由b到C的方向夹角为60度,可得 =LVBdl=JvBdl cos— 3 JI1 =VBLCOsVBL 32 1 代入数据: VBL=0.53210,0・1=310’V,C端的电势高。 2 4.56解: 可以把圆盘分为无限多个长为R的金属杆,圆盘绕中心轴转动,可看做无限多个金属杆绕中心轴O转动。 根据例4.26,一长为R的金属杆,在垂直于均匀磁场B的的平面内以角速度ω绕其一端均匀转动,杆中的电动势为: ;=—;: BR2A端的电势高 2 (1)可以利用动生电动势的公式 -VBdl (2)可以利用法拉第电磁感应定律 dt 求OA金属杆上的电动势 4.58解: 根据例题4.21: 无限长载流薄圆筒内外的磁场为 0 B=%∣ ■ Zr (4-89)磁场能量密度为 Wm=W^=B2=IBH V2∙i2 22 在本题中磁场能量密度 BWH、 24一240r丿 HR迪3InR 4二RIr4二R 2 R21fμ∣λ 磁场能量为: Wm=JWmdV=JIX2rrldr V*2P(2JrrJ (4-88)—个自感为L、载流为I的线圈中所储存的磁能为: 12 Wm=ILI2 2 竺InR 4二Ri =1LI 自感系数为: LLIn^ 2兀Ri 另外的一封答案 4.1电场强度的物理意义是单位正电荷量所受的力。 如果说某点的电场强度等于在该点放一个电量为一库仑的电荷所受的力,对么? 为什么? 答: 这是不对的。 电场强度是一个只与电场有关,而与电荷无关的量。 4.2如何判断负电荷在外电场中的受力方向? 在地球表面上通常有一竖直方向的电场,如果电子在此电场中受到一个向上的力,那么电场强度的方向是朝上还是朝下? 答: 先判断出正电荷的受力方向,然后转1800即得负电荷的受力方向。 如果电子在 此电场中受到一个向上的力,那么电场强度的方向是朝下的。 4.3点电荷的电场公式为E=―e。 从形式上看,当场点与点电荷无限接近时,场强4胧0r Er,对么? 为什么? 答: 所谓点电荷是物理上的理想模型,实际并不存在。 只有离带电物体足够远时才能忽略带电物体的形状、大小,将其视为点电荷。 当场点与点电荷无限接近时,任意电荷都不能视为点电荷,上述公式不成立。 所以说当场点与点电荷无限接近时,场强E—•,是不对的。 4.4电场线代表点电荷在电场中的运动轨迹吗? 为什么? 在两个相同的点电荷的连线中 点,电场线是否相交? 答: 电场线是为了形象地描述电场而引进的一系列的曲线,不代表点电荷在电场中的 运动轨迹。 在两个相同的点电荷的连线中点,其电场强度为零,所以电场线不能相交。 4.5三个相等的点电荷放在等边三角形的三个顶点上,问是否可以以三角形中心为球心作一个球面,利用高斯定理求出它们所产生的场强? 对此球面高斯定理是否成立? 答: 由于此三个点电荷产生的电场不具有球对称性,在以三角形中心为球心所作的高斯面上,各点的场强无论其大小还是与球面面元的夹角都不是常数,因此对上述球面, 不能利用高斯定理求出它们所产生的场强。 但高斯定理适用于一切静电场,故对此球面高斯定理仍然成立。 4.6如果高斯面为空间任意闭合曲面,下列说法是否正确? 请举一例加以论述。 (1)如果高斯面上电场强度处处为零,则该面内一定没有电荷; (2)如果高斯面内无电荷,则高斯面上电场强度处处为零; (3)如果高斯面上电场强度处处不为零,则该面内必有净电荷; (4)如果高斯面内有净电荷,则高斯面上电场强度处处不为零。 答: (1)如果高斯面上电场强度处处为零,则该面内一定没有电荷。 这句话不正确。 因为高斯面上电场强度处处为零,能说明面内整个空间的电荷代数和为零。 即高斯面一定没有包围净电荷。 则面内可以有电荷,只不过电荷的代数和为零。 (2)如果高斯面内无电荷,则高斯面上电场强度处处为零。 这句话不正确。 高斯面内无电荷,只能说明通过高斯面的电通量为零。 即穿出和穿入的电场线的数目一样多。 而只要有穿出和穿入的电场线,面上该处的电场强度就不为零。 (3)如果高斯面上电场强度处处不为零,则该面内必有净电荷。 这句话不正确。 若高斯面外有一点电荷Q,高斯面内无电荷。 此时高斯面上电场强度处处不为零,而面内没有静电荷。 (4)如果高斯面内有净电荷,则高斯面上电场强度处处不为零。 这句话不正确。 若在空间有一电偶极子。 以正电荷为中心,以正负电荷的距离的一半为半径做一圆形高斯面。 则此高斯面内有净电荷,但正负电荷的连线与高斯面相交的一点电场强度为零。 4.7关于高斯定理以下说法对么? 为什么? 1)高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电 荷决定;2)通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定。 答: (1)高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电荷决定的说法不正确。 空间任一点的电场强度应该是由空间所有的电荷在该点产生的电场强度的矢量和。 而高斯面是 人为选取的,不能改变上述的叠加原理。 所以高斯面上各点的电场强度应该是由高斯 面内外所有的电荷所决定的。 (2)通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定的。 这句话是正确的。 高斯面外的电荷对电通量的贡献为零,所以通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定。 4.8以点电荷q为中心作一球形高斯面,讨论在下列几种情况下,穿过高斯面的电通量是 否改变? (1)将q移离高斯面的球心,但仍在高斯面内; (2)在高斯面外附近放置第 二个点电荷;(3)在高斯面内放置第二个点电荷。 答: 在 (1), (2)两种情况下
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