行测系列课 方法精讲数量关系讲义+笔记4.docx
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行测系列课方法精讲数量关系讲义+笔记4
方法精讲-数量4(笔记)
启智职教的店
学习任务:
1.课程内容:
容斥原理、排列组合与概率
2.授课时长:
3小时
3.对应讲义:
178页~184页
4.重点内容:
(1)掌握两集合公式,三集合的三种公式——标准型、非标准型、常识
型
(2)掌握图示法在容斥原理中的运用,理解容斥原理结合最值的考法
(3)掌握常用的排列组合公式,理解分类讨论与分步计算的区别,正难反易则从反面求解
(4)掌握两种经典方法(捆绑法、插空法)的适用范围和操作步骤
(5)掌握概率问题的两种题型——给情况求概率或给概率求概率
第八节容斥原理
【注意】1.容斥原理只要听明白原理,后面就是正常套路,代公式即可,难度不大。
而排列组合可能很多同学都没有基础,有的同学高中时学过,有的同学
(体育、艺术、文科类)没学过,没有关系,因为公考中考查的排列组合与高中没有多大的关系,高中所学的排列组合特别难,而公考学习老师会从最基本的概念开始讲解,只要掌握基本概念,后面遇到排列组合问题就不会太纠结。
2.最值问题是思维量最大的,最值问题都不怕,更不用怕排列组合问题。
【知识点】两集合:
两个集合之间有交叉、有重叠的情况。
例如班里有的同学特别擅长行测,有的同学特别擅长申论,中间有一部分同学既擅长行测又擅长申论,即有重叠的地方,重叠的地方在做题时,要算成1个人擅长两种,注意去重即可。
容斥原理的核心即如何将重复的部分去重。
1.公式:
A+B-A∩B=全-都不。
【例1】(2017广东)某单位有107名职工为灾区捐献了物资,其中78人捐献衣物,77人捐献食品。
该单位既捐献衣物,又捐献食品的职工有多少人?
A.48B.50
C.52D.54
【解析】例1.出现“捐衣物”“捐食品”,还有“既捐献衣物,又捐献食品”的,说明有重叠的部分,为两集合容斥问题,列式:
78+77-?
=107-都不,题干没有提到“都不”,只说了107名职工捐献了物资,说明没有人不捐,即“都不”
=0(又如题干说“72名运动员去参加运动会”,意思就是这72名都参加了,没有不参加的)。
数字较小可以直接相加,数字大的时候可以看选项尾数是否相同,本题选项尾数各不相同,直接看尾数即可。
右边:
107-0=尾数7,左边:
尾数8+尾数7-?
的尾数=尾数7,则?
的尾数为8,对应A项。
【选A】
【注意】有的同学可能第一次考公务员,不理解它的出题模式,很多同学会纠结本题有“食品”“衣物”,也有可能捐献其他东西,如有的人会捐献玩具、帐篷等等。
但如果自己脑补这些东西,则无法做题,因此做题时不要在题目之外想其他东西,出题人说什么我们就做什么。
例如出题人如果没有说速度变为原来的一半,就默认速度不变,只能就题做题,不要杠。
例2(2018联考)某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级:
两项测评都不合格的为次品,仅一项测评合格的为中品,两项测评都合格的为优品。
某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍,测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6:
5。
若该批产品次品率为10%,则该批产品的优品率为()。
A.10%B.15%
C.20%D.25%
【解析】例2.已知“只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍”,说明只Ⅰ
=2*都合格。
读完题目,发现与上题不同,上题人数已知,而本题数量未知,给的都是倍数、百分数,为给比例求比例的情况,想到赋值法。
容斥问题中,赋值时一般建议从最中间开始入手,因此赋值“都合格”为1(赋值为100也可以,为了简化计算,赋值为1),则只Ⅰ=2。
本题代不了公式,如果题干表述出现“只Ⅰ”,在公式中是没有的,此时代公式不好理解,而公式是通过画图得来的,因此遇到“只”的情况,直接画图求解(从里往外标数)。
如图,画两个圈,中间有重合的部分,因此两个圈有交集。
标数的时候从里往外标。
“都合格”=1,“只Ⅰ”说明只在Ⅰ中且不在交集内,因此在左边半圆中标入2,根据“测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6:
5”,可得3:
Ⅱ=6:
5,则Ⅱ=2.5,2.5=都满足
+只Ⅱ,解得只Ⅱ=1.5。
已知“该批产品次品率为10%”,说明空白部分占比为10%,则圈内部分占比为100%-10%=90%,列式:
2+1+1.5=90%*总数,解得:
总数=4.5/9=5,优品率=1/5=20%。
对应C项。
【选C】
【例3】(2016四川)某学校2015年有64%的教师发表了核心期刊论文;有40%的教师承担了科研项目,这些教师中有90%公开发表了论文,这些论文均发表在核心期刊上。
则发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师是承担了科研项目但没有发表论文的多少倍?
A.4B.7
C.9D.10
【解析】例3.已知“有40%的教师承担了科研项目,这些教师中有90%公开发表了论文”,“这些教师”对应的是40%,则有40%*90%=36%的教师既承担科研项目又发表论文,对应最中间的部分。
问“发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师是承担了科研项目但没有发表论文的多少倍”,即问“只论文”是“只项目”的几倍关系。
题干所给均为比例,为给比例求比例的情况,设总人数为100。
画图表示,两个圈分别表示“发表论文”“承担科研项目”,从中间开始入手,中间部分为36(既承担科研项目又发表论文),已知“64%的教师发表了核心期刊论文”,则“只论文”=64-36=28,同理,“40%的教师承担了科研项目”,则“只项目”=40-36=4,所求=28/4=7倍,对应B项。
【选B】
【知识点】三集合:
1.标准型公式:
A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全部-都不。
2.
推导:
假设3个集合分别用A、B、C表示,要求覆盖的总面积,先加和为A+B+C,此时发现中间有部分加重了,应该去掉,A和B、B和C、C和A重叠的部分分别加了2次,要减去,此时为A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A,但并不是减完了,中间红色部分在A∩B、B∩C、C∩A中均包含,加的时候加了3次,减的时候又减了3次,说明此时所计算的总面积中没有包含中间红色部分,需要再补上去,则有A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全部-都不。
3.注意:
红色部分怎么来的?
答:
A、B、C中均包含红色部分,加的时候加了3次,而A∩B、B∩C、C∩A中也都包含红色部分,减的时候又减了3次,因此要补上。
若不能理解,就死记硬背,记住口诀:
单个-两两+三个=全-都不。
例4(2018陕西)有关部门对120种抽样食品进行化验分析,结果显示,抗氧化剂达标的有68种,防腐剂达标的有77种,漂白剂达标的有59种,抗氧化
剂和防腐剂都达标的有54种,防腐剂和漂白剂都达标的有43种,抗氧化剂和漂
白剂都达标的有35种,三种食品添加剂都达标的有30种,那么三种食品添加剂
都不达标的有(
)种。
A.14
B.15
C.16
D.17
E.18F.19
G.20H.21
【解析】例4.已知“抗氧化剂达标的有68种,防腐剂达标的有77种,漂
白剂达标的有59种”,即单个的情况都给了;“抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种”,即对应A∩B,同理,“防腐剂和漂白剂都达标的有43种”对应B∩C,“抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种”对应A∩C,即两两重叠的地方也给了;“三种食品添加剂都达标的有30种”对应A∩B∩C,发现公式中的数据均已知,直接代入公式:
68+77+59-54-43-35+30=120-?
,选项特别多,数字也很长,先看能否用尾数法。
选项尾数各不相同,直接看个位数,先抵消,左边:
-4-3+7=0,9-5=4,则左边个位为8+4=12,尾数为2;右边个位为0-?
的尾数=2,不够减需要借位,则右边个位为10-?
的尾数=2,解得?
的尾数为8,对应E项。
【选E】
【注意】三集合容斥问题一般考查最简单的形式为每个量都给,陕西基本每年都考。
【知识点】三集合非标准型:
1.例:
在A、B、C三个集合中,防腐剂达标2项的有多少种,此时达标2
项≠A∩B+B∩C+A∩C(如图所示,红色斜线部分为达标2项,中间部分为达标3项,A∩B、B∩C、A∩C中均包含达标3项的,因此不相等)。
因此以后遇到“满足两项”的情况,换个思路来去重。
2.推导:
如何去重。
A+B+C,“满足两项”(对应红色斜线部分)分别在A、B、C中多算了一次,因此去重时需要将多算的部分减掉,则有A+B+C-满足两项;而中间蓝色部分加了3次,但“满足两项”中不包含中间蓝色部分,因此中间蓝色部分还没减去,要减去2*满足三项(中间蓝色部分加了3次,而计算面积只需
要计算1次,因此要减去多出的2次)。
得到公式:
A+B+C-满足两项-满足三项*2=全-都不。
3.公式:
A+B+C-满足两项-满足三项*2=全-都不。
4.注意:
“满足两项”在真题中的意思就是“只满足两项”,即只在两个集合中有重叠(蓝色斜线部分),而中间红色斜线部分为属于“满足三项”,不属于“满足两项”。
“满足两项”加的时候多算了1次,需要减去1次,而“满足三项”加
了3次,但只需要算1次,因此要减去2次。
5.强调两个点:
(1)标准型和非标准型公式如何识别:
一般看中间满足两项的部分是分开给还是一起给。
如例4,每两项的交集是分开给的,而非标准型公式中,直接给出“满足两项”(蓝色斜线部分之和)。
因此若满足两项合起来给1个数据,则对应非标准型公式;若满足两项分开给,则对应标准型公式。
(2)这类题目经常咬文嚼字。
有的题目直接说“只满足两项”,有的题目说“满足两项”,两者是等价的,只有这样才能做出答案,这是一种规则。
但有时候会出现“至少两项”的表述,此时至少两项≠(只)满足两项,至少两项=满足两项+满足三项,因此遇到“至少两项”,要先减去“满足三项”的,得出“只满足两项”,这样才能直接运用到非标准型公式中。
【例5】(2017重庆选调)一项农村家庭的调查显示,电冰箱拥有率为49%,电视机拥有率为85%,洗衣机拥有率为44%,至少有两种电器的占63%,三种电器齐全的占25%,则一种电器都没有的比例为:
A.10%B.15%
C.20%D.25%
【解析】例5.已知“至少有两种电器的占63%”,“至少有两种”包括“满足两种”和“满足三种”的,三种电器齐全的占25%,则只满足两种=63%-25%=38%,即满足两种的合在一起给,因此用非标准型公式:
A+B+C-②-2*③=全-都不,代入数据:
49+85+44-38-2*25=100-?
,A、C项尾数相同,直接算即可。
原式
=11+35+44=100-?
,整理得90=100-?
,解得?
=10,对应A项。
【选A】
【注意】小技巧:
题干没有给具体数值,但老师计算时直接用49、85、44,说明默认把调查的全部家庭数设为100个,考试时不需要这么细致,直接用即可。
【答案汇总】1-5:
ACBEA
例6(2018江西)某高校做有关碎片化学习的问卷调查,问卷回收率为90%,在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习,200人利用书本进行学习,100人利用移动设备进行碎片化学习,同时使用三种方式学习的有50人,同时使用
两种方式学习的有20人,不存在三种方式学习都不用的人。
那么,这次共发放了多少份问卷?
()
A.370B.380
C.390D.400
【解析】例6.出现“网络课程”“书本”“移动设备”三种类别,且三种类
别有重复,为三集合容斥问题,有标准型和非标准型,区别在于满足两种的是分开给还是一起给。
已知“同时使用两种方式学习的有20人”,即一起给,因此对应非标准型公式:
A+B+C-②-2*③=全-都不,代入数据:
180+200+100-20-2*50=全-0,先抵消,100-2*50=0,整理得:
380-20=全=360,选项没有答案,问卷都是反馈回来的情况,分析都是在收回的问卷上分析的,还有部分没收回的,已知“问卷回收率为90%”,列式:
发放数*0.9=360,则发放数=360/0.9=400,对应D项。
【选D】
【注意】本题选项中没有360,否则会有很多同学掉坑。
但2015年的国考真题中,选项是有360的,一定要注意题干条件。
【知识点】常识型公式(考查非常少):
前面讲过两种公式,有满足两种、满足三种的,但其实也可以分析满足一种的,此时可以发现,满足一种、满足两种、满足三种之间是没有重叠的,可得:
满足一种+满足两种+满足三种=全-都不。
所有公式的右边都为全-都不。
三种公式只是切入点不同而已。
例如已知全班男生、女生分别的人数,则男生+女生=总数,不需要减去重叠的,因为没有一个人既男又女。
【例7】(2016江苏)某单位举办设有A、B、C三个项目的趣味运动会,每位员工三个项目都可以报名参加。
经统计,共有72名员工报名,其中参加A、B、C三个项目的人数分别为26、32、38,三个项目都参加的有4人,则仅参加一个项目的员工人数是:
A.48B.40
C.52D.44
【解析】例7.有A、B、C三个项目,且有交叉、有重叠,为三集合容斥原理问题,判断是标准型还是非标准型。
本题给了“三个项目”和“一个项目”的数据,而没有给出“两个项目”的数据,因此可以用标准型公式,也可以用非标准型公式。
标准型公式有三个未知量(A∩B、B∩C、A∩C),非标准型公式只有一个未知量(满足两项),因此用非标准型公式。
代入数据:
26+32+28-②-2*4=72-0
(有72名员工报名,说明没有不参加的)。
数字比较小,直接计算,原式=96-
②-8=72,②=96-80=16,问只参加一项的员工人数,想到常识型公式:
①+②+
③=72-0,则①+16+4=72,解得①=52,对应C项。
【选C】
【注意】若“满足两项”合起来给时,用非标准型公式,若“满足两项”在题干中未提及,也用非标准型公式。
【例8】(2018辽宁)某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏,但有部分同学这2种才艺都不会。
具体有4种情况:
只会唱歌,只会乐器演
奏,唱歌和乐器演奏都会,唱歌和乐器演奏都不会。
现知会唱歌的有22人,会
乐器演奏的有15人,两种都会的人数是两种都不会的5倍。
这个班至多有多少人?
A.27B.30
C.33D.36
【解析】例8.题干已知“只会唱歌,只会乐器演奏,唱歌和乐器演奏都会,唱歌和乐器演奏都不会”,即分别对应A、B、A∩B、都不,为两集合容斥问题,所给条件较多,可以画图分析也可以代公式。
已知A、B的数据,及A∩B和“都不”的比例关系,可以设未知数,设“都不”为x,则都会的(A∩B)为5x,代入两集合公式:
22+15-5x=全-x,出现两个未知数,先化简再结合最值思维,原式化简为:
37-4x=全。
方法一:
直接代入选项,看x是否为整数即可。
整理得37-全=4x,“37-全”需为4的倍数。
方法二:
也可以用最值思维。
要让“全”最大,37为定值,则要让x最小
(此消彼长),已知“两种都会的人数是两种都不会的5倍”,则x最小不能为0,因此x最小为1,此时全=37-4*1=33,对应C项。
【选C】
【注意】1.本题核心点不在于公式,而在于解方程。
2.利用奇偶特性求解也可以,4的倍数即为偶数,但本题主要是强调结合最值思维来考查。
【答案汇总】6-8:
DCC
【小结】容斥原理:
1.公式:
(1)两集合(考查较少):
A+B-A∩B=总数-都不。
(2)三集合(考查较多):
标准型和非标准型的区分主要在中间两项的部分。
①标准型(满足两项分开给):
A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
②非标准型:
A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。
满足两项即只满足两项,不包含满足三项。
③常识型(不存在重叠):
满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。
2.画图:
做题时若遇到“只A”“只B”,考虑画图。
(1)画圈圈,标数据。
(2)从里到外,注意去重。
3.考查难点:
容斥结合最值。
做法:
先利用公式,得到一个方程,再结合最值分析即可。
第九节排列组合与概率
【知识点】基本概念:
老大难的问题,也是很多同学天然就抵触的问题,但是公考考的不深,只要听懂基础概念,后面就一定能懂。
所以先克服自己的畏难情绪,我们先不怕它,不怕敌人才敢与之斗争,若你本身就害怕见它,那你永远没办法战胜它。
1.分类与分步:
看一步能不能干成。
(1)分类(要么„„要么„„):
相加。
如2018年老师要写博士毕业论文,每天都要从家去学校写论文,平时开车去,如果限号就骑摩拜单车,如果下雨或
是下雪就打车去,如果是周末坐公交的人少就坐公交,如果问从家去学校有多少
一、排列组合公式
种方式可以选择,应该把这些方式加起来,因为可以在多种方式中任选其一就可以搞定这件事,一步搞定就是分类的方式。
若是不理解可以将句式套一套,“要么打车,要么坐公交”,可以代得通,就是分类。
(2)分步(先„„后„„):
相乘。
如果说不仅要从家到学校还要到图书馆写论文,图书馆3楼是经济馆,到3楼可以坐电梯或是爬楼梯,我从家到学校
有4种方法,到校后上3楼有2种方法,问我从家到图书馆3楼共有多少种方式,这里要用4*2,因为我必须从家先到学校图书馆的楼下再上楼,不能一步搞定,必须先干什么再干什么,是分步的方式,要用乘法。
如果不理解,可以套用句式。
(3)练习:
7月1日从北京到南京出差,可以坐火车、坐飞机或是步行过去,若问有多少种方法,可以加起来共有3种方法;若是问从北京到广州途径南
京的方式有多少种时,南京到广州又是可以坐飞机、坐火车或是步行3种方式,所以从北京途径南京到广州就是3*3种方式,因为必须先到南京再到广州。
2.排列与组合:
经常说总体挑部分有多少种方案,这种题目用到排列和组合。
常考的如办公室有6人,挑2人去总部培训,6个人是总数,2个人是个体,这就是总体挑部分,有两种挑法:
A(6,2)和C(6,2),总体(大数)写下面,部分(小数)写上面。
具体用A还是C主要看挑的2个人是否能够互换,如果挑的2个人换了之后与原来没有区别,就是这2个人先挑谁无所谓,与顺序无关,无关叫组合,用C;如果交换顺序后不一样,就是与顺序有关。
(1)排列:
与顺序有关(不可以互换)。
若从6人中挑2人去不同城市出差,假如一个人去广州一个人去上海,先挑的去广州,后挑的去上海,甲想去广州,他就想先被挑到,此时就有顺序,如果都去总部培训就是没有顺序,如果是去不同的地方去做不同的事,就是有顺序,有顺序用A(6,2)。
(2)组合:
与顺序无关(可以互换)。
比如6人中挑2人去总部培训,挑甲和乙2人,先挑甲再挑乙与先挑乙再挑甲一样,证明与顺序无关用C(6,2)。
(3)练习:
从5人中挑2人在周三值日,此时要用C,因为是在同一天,
不论先挑到还是后挑到,都要在周三干。
如果挑2个人分别在周六和周日值班,先挑到的在周六,后挑到的在周日,挑到的人在哪一天不一样,用A(5,2)。
(4)判定标准:
从已选的主体中任意挑出两个,调换顺序有差别,与顺序有关(A);无差别,与顺序无关(C)。
3.计算方法:
(1)A(5,2)=5*4,从下面的数开始依次递减,上面是几就乘几个,即从5开始依次递减,上面是2就连续乘2个。
如A(6,3)=6*5*4=120。
(2)C(5,2),分为分子、分母两部分,分子计算方法同A(5,2),从5
开始连续乘2个;分母部分从上面的数开始乘,依次递减乘到1为止,即从2开始乘到1,原式=(5*4)/(2*1)=10。
分母部分也是阶乘,从上面的数开始乘,一直乘到1为止。
(3)练习:
C(9,3)=(9*8*7)/(3*2*1)=84。
(4)注意:
①选的人(数据)特别多时,如C(9,6)=(9*8*7*6*5*4)/(6*5*4*3*2*1)
=C(9,3),意思是9个人中,挑6个人值日与9个人挑3个人不值日是一样的,公式为C(n,m)=C(n,n-m)。
例:
C(9,7)=C(9,2)=(9*8)/(2*1)=36。
②常考:
A(3,3)=3*2*1=6;A(4,4)=4*3*2*1=24;A(5,5)=5*24=120;
C(4,2)=(4*3)/(2*1)=6;C(5,2)=(5*4)/(2*1)=10=C(5,3)。
【例1】(2017山东)某部门从8名员工中选派4人参加培训,其中2人参加计算机培训,1人参加英语培训,1人参加财务培训,问不同的选法有多少种?
A.256B.840
C.1680D.5040
【解析】例1.方法一:
按照题目要求,一种一种挑。
8个人中挑4个,总体挑部分,要么用A要么用C,先挑2人参加计算机培训,先挑甲又挑乙和先挑乙又挑甲一样,没有顺序,用C(8,2);此时总人数还剩8-2=6个人,去参加英语的就是C(6,1);同理,财务就是C(5,1)。
是“先„„再„„”,分步骤完成,用乘法,即C(8,2)*C(6,1)*C(5,1)=(8*7)/(2*1)*6*5=28*6*5=840。
方法二:
8人中选4人,是C(8,4);把4个人再分到三种培训中,其中2人参加计算机,从4个人中挑为C(4,2);英语要在剩下的两个中挑一个,是C
(2,1);财务培训的只剩1个人,不用挑了,先挑人再分,分步用乘法,C(8,4)
*C(4,2)*C(2,1)。
【选B】
【注意】1.如果想不通用乘法还是加法,可以结合选项。
28、6、5这三个
数,如果是加的话,怎么算也加不到200+、800+、1600+,5000+,所以只能是乘法。
2.后面的两个可以用A(2,2)。
挑走两人,剩下两个人去干另外两件事,可以用这种思路,因为C(n,1)=A(n,1)。
3.若用C(8,4)*A(4,2),若其中A(4,2)指的是参加计算机培训的,这样是不可以的,因为如果要找计算机,挑甲和乙谁先谁后是一样的,都要去参加计算机培训,因此只能是C(4,2)。
4.也可以从后面去看,C(8,4)*C(4,1)*C(3,1),但是尽量根据题目顺着计算,不要反着算。
5.C(8,2)是8人中挑2人参加计算机培训,A(6,2)是6个人中选2人,一人去参加英语培训,一人去参加财务培训,然后再乘以C(6,1)和C(5,1)也可以。
【例2】(2018吉林)一位女士为了寻找曾经帮助她的司机,向新闻媒体提供了她记得的车牌信息。
女士看到的车牌号为“吉AC****”,最后一位是字母,其他三位全是奇数,且数字逐渐变大,那么符合要求的车牌有:
A.380个B.260个
C.180个D.460个
【解析】例2.方法一:
奇数有:
1、3、5、7、9,都是一位数,不能是11,且满足数字逐渐变大。
确定车牌要确定4位,首先确定最后一位,它是字母,共
有26个,26个中挑1个,是C(26,1)。
还要定数字,奇数共有5个,但
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