立体几何中的向量方法.docx
- 文档编号:15579205
- 上传时间:2023-07-05
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:411.04KB
立体几何中的向量方法.docx
《立体几何中的向量方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《立体几何中的向量方法.docx(33页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法
适用学科
高中数学
适用年级
高中二年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
90
知识点
用空间向量处理平行垂直问题;用空间向量处理夹角问题.
教学目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量;
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法的作用.
教学重点
用向量方法解决立体几何中的有关问题
教学难点
用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
教学过程
一、课堂导入
空间平行垂直问题
1•两条直线平行与垂直;
2.直线与平面平行与垂直;
3.两个平面平行与垂直;空间夹角问题
1.两直线所成角;
2.直线和平面所成角;
3.二面角的概念;空间距离问题
、复习预习
(1)空间向量的直角坐标运算律:
设a
@18283),b
(bibb),则
ab(aibi,a2
b2,a3b3)ab
(aibi,a2th,a3
b3)a(ai,a2,a3)(R)
aba1b1a2b2
軌a//bai
bi,a2b2,a3
b3(R)abaib|a2b2a3b30
uuu
B(X2,y2Z),则AB
(X2xi,y2yi,z2zi)
(2)若AXyZi),
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.模长公式:
若a(ai,a2,a3),则|a|aa'ai
(3)
22
a2a3
(4)
皿bab
夹角公式:
aibia?
b2a3b3
IaIIbI,ai2a22a32、02b22b32
(5)
两点间的距离公式:
若,B%,%,22),则
ABAB?
..(xiX2)2(yiy2)2(ziZ2)2.
三、知识讲解
考点1平面法向量的求法
在空间平面法向量的算法中,普遍采用的算法是设n(x,y,z),它和平面内的两个不共线的向量垂直,数量积为0,
建立两个关于x,y,z的方程,再对其中一个变量根据需要取特殊值,即可得到法向量•还有几种求平面法向量的办法也比较简便.
求法一:
先来看一个引理:
若平面ABC与空间直角坐标系x轴、y轴、z轴的交点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c),定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xa=a,yB=b,zc=c(a,b,c均不为0),则平面ABC的法向量为
r111
n(1,-,-)(0).参数的值可根据实际需要选取.
abc
riiin(-,-,-)是平面ABC的法向量.
abc
这种方法非常简便,但要注意几个问题:
(1)若平面和某个坐标轴平行,则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为,法向量对应于该轴的坐标为0.比
rii
如若和x轴平行(交点坐标值为),和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c,则平面法向量为n(0,-,-);若平面和x,y
bc
ri
轴平行,和z轴交点的坐标值为c,则平面法向量为n(0,0,-).
c
(2)若平面过坐标原点0,则可适当平移平面.
求法二:
求出平面方程,得到法向量.
我们先求过点Po(Xo,yo,Zo)及以n=A,B,C为法向量的平面的方程.
设P(x,y,z)是平面上的动点,于是有F0Pn=0,
即A(xXo)B(yyo)C(zZo)0
整理得AxByCz(Ax0By0Cz0)0
令DAx。
By。
Cz。
,有AxByCzD0
这就是平面的一般方程•
平面的方程可用三元一次方程来表示.且x,y,z的系数组成该平面的法向量.
注意:
⑴有了平面的方程AxByCzD0,就能得到平面的法向量A,B,C,可用平面内不共线的三点求出平面的方程.
(2)一些特殊情形的平面,方程会更简捷:
通过原点的平面,D0,方程为AxByCz0;
平行于x轴的平面,A0,方程为ByCzD0;
通过x轴的平面,A0,D0,方程为ByCz0;
既平行于x轴又平行于y轴的平面,也就是一个平行于xoy坐标面的平面,方程为CzD0;
两平面:
AixBiyCizDi0与A2xB2yC2zD20平行的充要条件是
考点2用空间向量求解二面角
(一)用法向量解二面角
用法向量求解二面角时遇到一个难题:
二面角的取值范围是[0,],而两个向量的夹角取值范围也是[0,],那
用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角?
如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角,只要取不
超过2的那个角即可,但对二面角却是个难题•笔者经过思考,总结出一个简单可行的方法,供读者参考•
用法向量解二面角首先要解决的问题就是:
两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致?
其次,如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向?
LTUU
对第一个问题,我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角(如图一),两个平面的法向量n1,n2则应分别垂直于
iruu
该平面角的两边•易知,当口」2同为逆时针方向或同为顺时针方向时,它们所夹的解即为•所以,我们只需要沿着二面角棱的方向观察,选取旋转方向相同的两个法向量即可•或者可以通俗地理解,起点在半平面上的法向量,如果指向另一个半平面,贝U称为“向内”的方向;否则称为“向外”的方向•两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”,而另一个“向外”.
对第二个问题,我们需要选取一个参照物•在空间直角坐标系中,我们可以选择其中一个坐标轴(如z轴),通过前面的办法,可以确定法向量的方向,再观察该法向量与xOy平面的关系,是自下而上穿过xOy平面呢,还是自上而下穿
过xOy平面?
若是第一种情形,则n与_0z所夹的角是锐角,只需取法向量的z坐标为正即可;若是第二种情形,则n与~Oz所夹的角是钝角,只需取法向量的z坐标为负即可•若法向量与xOy平面平行,则可以选取其它如yOz平面、zOx平面观察.
(二)用半平面内的向量解二面角
由二面角的平面角定义,由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线,这样构成的角即为二面角的平面角•如果分别在两个半平面内作两个向量(如图),起点在棱上且均垂直于棱,可以看出,这两个向量所夹的角,与二面角的大小是相等的•这种方法与用法向量解二面角相比,其优点是向量的方向已经固定,不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响.
考点3空间直线与空间平面的向量形式
在平面解析几何中,曲线上的动点可以用坐标表示,通过对变量的运算达到求值、证明的目的•在立体几何中借用
向量,直线、平面上的点也可以用参数来表示,通过对参数的运算,同样可以达到求值、证明的目的.
1•空间直线:
如果I为经过已知点A且方向向量为a的直线,那么点P在直线I上的充要条件是存在实数t,满
uuur
足等式APta,或对任一点0(通常取坐标原点),有
uuuruuurr
OPOAta
这是空间直线的向量形式.
uuuuuuuuuuruurOPOMsMAtMB.
这是空间平面的向量形式.
四、例题精析
【例题1】如图,在四棱锥s—ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SDL底面ABCQE、F分别是ABSC的中点
(I)求证:
EF//平面SAD;
(n)设S—2CD,求二面角A—EF—D的大小;
【解析】
(1)如图,建立空间直角坐标系Dxyz.
设A(a,O,O),
S(0,0,b),则B(a,a,0,C(0,a,0),
umrimr
EFAG,EF//AG,AG平面SAD,EF平面SAD,
所以EF//平面SAD.
11
(2)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0)C(0,,0,S(0,0,2,E1,—,0,F0,—,1.
22
平面AEFG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1),与y轴无交点,则法向量(1,0,1),在CD延长线上
取点H,使DFhAE,贝UDH£AE,所以AH//ED,由
(1)可知AG//EF,所以平面AHG/平面EFD平面AHG与x轴、y
1uu
轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、H(0,—2,0)、q0,0,1),则法向量n2(1,2,1),设二面角A-EF—D的大小为,
一1
【例题2】已知四棱锥PABCD勺底面为直角梯形,AB//DC/DA490,PU底面ABCD且P心AD=DC=1AB=1,
M是PB的中点.
(1)求二面角CAMB的大小;
(2)求二面角AMCB的大小.
【解析】如图建立空间直角坐标系,则对二面角CAMB而言,AD是平面AMB勺法向量(向内),易知平面ACM符合“向
外”方向的法向量是自下而上穿过xOy平面,所以与AZ所夹的角是锐角.对二面角AMCB而言,平面ACM选取上述法向量,则为“向外”的方向,平面BCM就应选取“向内”的方向,此时是自上而下穿过xOy平面,与z轴正向所夹的
角是钝角.
(1)如图,以AD为x轴,AB为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系,则平面AMB勺法向量为=(1,0,0),设平
uu
面ACM的法向量为n2=(x,y,z).
由已知C(1,1,0),
1
P(0,0,1),B(0,2,0),则M(0,1,2),
AC二(1,1,0),
AM二(0,1,2).
uu
-n2
由uu
uurACuuuuAM
0,
0.
yo,丄z0.
2
取y二1,则x二1,z二2,
uu
二n2=(1,
1,2).
(满足
设二面角CAMB的大小为,
uu—
n2•AZ>0).
ur
tr-
则cos
ur
nu
•••所求二面角的大小为arccos6
6
uu
(2)选取
(1)中平面ACM勺法向量n2=(1,1,2),设平面BCM勺法向量为
n二(x,y,z).
~BC=(1,1,0),IBM二(0,
1,1),
uuuuu
n3BC0,uuujun
n3BM0.
xy0,
1
yz0.
2
A—MC—B的大小,
uuuuuu
取z=—2,贝Uy=—1,x=—1,耳=(—1,—1,—2),则n2,耳所夹的角大小即为二面角
设为
cos
£
3
uuuu
所求二面角的大小为
arccos
【例题3】如图,已知长方体ABCDABCD中,AB-BC=1,AA=2,E是BB的中点.
(1)求二面角E—AG—B的大小;
(2)求二面角C—AE-B的大小.
【解析】在第
(1)题中,只需在AG上找到两点GH,使得GB、HE均与AC垂直,
uuuujuuunuunuuuuuuuurn
面角的大小.如何确定GH的位置呢?
可设GAAG,GBGAABAGAB,
出来了,再由"Gb•毛C=0求出的值,贝U向量~Gb即可确定,同理可定出H点.第
则GB、HE的夹角即为所求
这样向量GB就用参数表示
(2)题方法类似.
以B为坐标原点,BC为x轴,BA为y轴建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),B(0,0,2),Ci(1,0,2),
E(0,
0,1)
.AG=(1,
-1,
5uur
umu
(1)
设GA
AC1
(,
uuu
uuu
uuu
GB
GA
AB(
1,2),
由-
GB•
AG=
0
+(
2),则
解得:
+1)+4=0,
2),7b二(0,-1,0).
GB
同理可得:
(6,
11
2,1,0)
,_HE•TAg
图六
GB、~HE的夹角等于二面角E—AG—B的平面角.
cos ■wu— -uuur GB HE uuuuuur GBHE III1IHIT uur uuur 6GB 2HE uuuuuur 6GB2HE 」_5__15 ”3025 面角 E—AG—B的大小为arccos 15 (2)飞E二(0, —1,1), 在AE上取点MN, uuuruuu MAAE(0, ), uuuruuuruuu贝UMBMAAB (0, 1,), 5 由MB•AE=0得: +1+=0,解得: ©2, 同理可求得: 飞—(1,1,)朮 ~MB、鼻G的夹角等于二面角 C—AE—B的平面角. cosvMB,NG> uuuruLun 11 面角Gi—AE—B的大小为arccos( 五、课堂运用 【基础】 1.在空间直角坐标系—xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,.2)•若S,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则() A.S=S=S3B.S=S且S2mS3 C.S3=Si且S3^S2D.S3=S2且S3工Si 【解析】设顶点D在三个坐标平面xOy、yOz、zOx上的正投影分别为D、D2、D3,则 AD=BD=,2,A吐2, 111 Si=2^2X2=2,S2=SOCD=22X2=: : : .2,S=SOA吐qX2X2=2. •••选D. 【答案】D 2.求过点Mi(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的法向量. 【解析】方法一: 由给定平面上的三个点的坐标,可知平面上的两个向量 M1M2 1,1,1,M1M3 2,1,0, 设平面的法向量为nx,y,z,由 M1M2n0 ,得 M1M3n0 xyz 2xy 令x1,得平面的一个法向量n1,2,1. ByCzD 方法二: 设过点Mi(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的方程为Ax 2A 代入点的坐标,得A B 解之 D 3 四,即-x 33 D 3 2DD 厅y亍 所以平面的方程为x2y 0,所以平面的一个法向量 n1,2,1. 方法三: 由给定平面上的三个点的坐标,可知平面上的两个向量M1M2 1,1,1,M1M32,1,0 因为这两个向量不平行,计算 ijk 111i2jk.故所求平面的一个法向量 210 n1,2,1 3.已知正方体ACi的棱长为a,E是CG的中点,0是对角线BDi的中点, (1)求证: 0E是异面直线CCi和BDi的公垂线; (2)求异面直线CCi和BDi的距离. 【解析】 (1)解法一: 延长EO交AA于F,则F为AA的中点,•••EF//AC, 又O是BDi的中点,二OEBDi,二OE是异面直线CCi和BDi的公垂线.解法二: 以D为原点,分别以DA,DC,DDi为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 于是有Di(0,0,a),C(0,a,0),Ci(0,a,a),B(a,a,0),0(|,^,2),E(0,a,2, BD1 (a,a,a),CCi(0,0,a),EO a 2,0) BDiEO0,CCiEO0,所以OE是异面直线CCi和BDi的公垂线. (2)由 (1) 所以OE 知,OE为异面直线CC1和BD1的距离. 【巩固】 1.已知正方体ABCDAiB1C1D1的棱长为a,求BQ与BD间的距离. 【解析】解法一: (转化为BiC到过BD且与B1C平行的平面的距离) 连结A1D,贝UAD〃B1C,二B1C//平面ADB,连AC1,可证得 AGBD,AGAD,二AC1平面A,DB, •••平面ACi平面AiDB,且两平面的交线为A0,过C作CEAO,垂足为E, 则CE即为B1C与平面A1DB的距离,也即3C与BD间的距离, 1i^3&3 在AOC中,—OCAACEAO,—CE—a.故BC与BD间的距离a. 223— 解法二: 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(a,O,O),B(a,a,O),C(O,a,O),Bi(a,a,a),A(a,0,a),D(0,0,0), 由(解法一)求点C到平面ADB的距离CE,设E(x,y,z), •••E在平面ADB上, umuuuuruuur •••AEADAB,即(xa,y,za)(a,0,a)(0,a,a), x aa uu uuuuuuu uuT .(x,y2,z)( a,0,a) 0 •••y a •/CE AD,CE BD,• 0 (x,y2,z)( a,a,0) z aa a 解得: 2 ,•• UJUCE J1(a,a. 1a),• 43 •-CEa. 3 33 3 3 解法三: 直接求 BQ与BD间的距离.设 BQ与BD的公垂线为 OO1,且 QB1C,0BD, LULT uuu 设O(x,y,z),设DOBD, x则(x,y,z)(a,a,0),•y z a a, 0 •0(a, a,0), 同理0勺(a,a, a), uuuu uuuu uuiuuuuu uuuu uuuuuuiu uuuu uuuu •001(( )a,aa,a), •001 BD,001 B1C,•' •001BD 0,001 B1C0, 21uuuu111uuuuJ3 解得: 2,3,001(3a,3咛),10011亍- 2.如图所示,三棱柱ABC-ABC中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,/AC*90°,BC=1,心CG=2. (1) 证明: AG丄AB; (2)设直线AA与平面BCCB的距离为{3,求二面角A- 【解析】方法一: ⑴证明: 因为AiD丄平面ABCA1D? 平面AACC,故平面AACC丄平面ABC 又BC丄AC,所以BCL平面AACC. 连接AC,因为侧面AACiC为菱形,故AG丄AiC.由三垂线定理得AG丄AB. ⑵BCL平面AACiC,BC? 平面BCCBi,故平面AACiC丄平面BCCB. 作AiE丄CC,E为垂足,则AE丄平面BCCB. 又直线AA//平面BCCB,因而AiE为直线AA与平面BCdBi的距离,即AE=Q3. 因为AiC为/ACC的平分线,所以AD=AE=3. 作DF丄AB,F为垂足,连接AiF. 由三垂线定理得AF丄AB,故/AiFD为二面角Ai-AB-C的平面角. 由AD=AAi-AiD2=i,得D为AC中点, J5ADli DF=,tan/AFD=二=i5,所以cos/AFD-: 5DFv,4 i 所以二面角A-AB-C的大小为arccos; 4 方法二: 以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 由题设知AiD与z轴平行,z轴在平面AAGC内. ⑴证明: 设A(a,0,c)•由题设有a<2,A(2,0,0),B(0,1,0), 则辰(—2,1,0),AC=(—2,0,0),AA=(a-2,0,c),AC=At>AA=(a-4,0,c),BA=(a,-1,c). 由|AAi|=2,得.(a—2)2+c=2,即卩a—4a+c=0.① 又AC-BA=a2—4a+c2=0,所以AG丄AB. (2)设平面BCGB的法向量m=(x,y,z),则mlCBm丄BB,即m-CB=0,m-BB=0.因为CB=(0,1,0),BB=AA =(a—2,0,c),所以y=0且(a—2)x+cz=0. 令x=c,则z=2—a,所以m=(c,0,2—a), 故点A到平面BCGB的距离为|CA-|cos〈mCA〉| 又依题设,A到平面BCCB的距离为.3,所以c=.3, 代入①,解得a=3(舍去)或a=1,于是AA=(—1,0,3). 设平面ABA的法向量n=(p,q,r), 则n丄AA,n丄AB即n•AA=0,n•Ab=0,—p+3r=0,且一2p+q=0.令p=3,则q=23,r=1,所以n=(3,23,1). 又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量,故 n•p1 cos〈n,p>=i^iTpT二4. 【拔高】 1.如图,已知ABC助边长是4的正方形,E、F分别是ABAD的中点,GC垂直于ABC[所在的平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离. B(0,4,0). 【解析】分别以CD、CB、CG为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则E(2,4,0),F(4,2,0),$0,0,2), •••IEf二(2,-2,0),IEg=(—2,-4,2), 设P是平面EFG上的动点,贝U存在实数s,t,使得 ~CP="Ce+sHf+td=G 二(2,4,0)+s(2,-2,0)+t(-2,-4,2) =(2s-2t+2,4-2s-4t,2t), •••P(2s-
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 立体几何 中的 向量 方法