典型时间序列模型分析.docx
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典型时间序列模型分析
实验1典型时间序列模型分析
1、实验目的
熟悉三种典型的时间序列模型:
AR模型,MA模型与ARMA模型,学会运用Matlab工具对
对上述三种模型进行统计特性分析,通过对2阶模型的仿真分析,探讨几种模型的适用范围,并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。
2、实验原理
AR模型分析:
设有AR
(2)模型,
X(n)=-0.3X(n-1)-0.5X(n-2)+W(n)
其中:
W(n)是零均值正态白噪声,方差为4。
(1)用MATLAB模拟产生X(n)的500观测点的样本函数,并绘出波形
(2)用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差
(3)画出理论的功率谱
(4)估计X(n)的相关函数和功率谱
【分析】给定二阶的AR过程,可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到,这个系统的传递函数为:
Pxw
1
H(z)
12
10.3z0.5z
这是一个全极点的滤波器,具有无限长的冲激响应。
对于功率谱,可以这样得到,
可以看出,Fxw完全由两个极点位置决定。
对于AR模型的自相关函数,有下面的公式:
这样,就可以求出理论的AR模型的自相关序列。
1.产生样本函数,并画出波形
2.题目中的AR过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出,可以按照上面的方法进行描述。
clearall;
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,20);%得到系统的单位冲激函数,在20点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2
x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
plot(x,'r');
ylabel('x(n)');
title('邹先雄——产生的AR随机序列');
gridon;
得到的输出序列波形为:
2.估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差,得到mx0,对于方差可以先求出理论自相
关输出,然后取零点的值。
并且,:
(恥矯(叭带入有
在最大值处输出的功率,也就是方差,为
<7;■匚⑼-5.6
两者合理论值吻
对实际数据进行估计,均值为mean(x)=-0.0703,而方差为var(x)=5.2795,
合得比较好。
程序及运行结果图如下,其中y_mean表示均值,y_var表示方差。
>>clearall;
b=[l];a=[l0.30.5];由描连的差分方程,稈到墓统借诺函数
hFinpitbia^O);%得到系統的单位冲液固救,在如点处已经可以认芮值是Qrandn(state',0);
iRnorarndtOij^j13500);K产主题设的白噪声曜机序列?
标准差为2x=fil-ter(bja,wk%通讨毀理焉绑・得到珈出試昱题目申裏求的2歸AR过理Plfft(X,JrJ);
ylabsl(1k(n)?
);
title(-产生的AR甌机序列);
£ridon.;
yl_Fiean.=niftarL(x)
y2_var=var(x)
yl_nean=
-0.0703
y2_var二
5.2795
3.画出理论的功率谱密度曲线
理论的功率谱为,
砂七-0|时卄4叶)
用下面的语句产生:
delta=2*pi/1000;
w_min=-pi;
w_max=pi;
Fs=1000;
可以看出,这个系统是带通系统。
4•估计自相关函数和功率谱密度
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过,在这里仅给出最后的仿真图形。
Mlag=20;%定义最大自相关长度
Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');
m=-Mlag:
Mlag;
stem(m,Rx,'r.');
title('邹先雄自相关函数');
最终的值为
邹先雄一目相关團数
可以看出,它和上面的理论输出值吻合程度很好。
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方
法进行估计,
window=hamming(20);%采用hanmming窗,长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率,为1000Hz
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,20);%得到系统的单位冲激函数,在20点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2
x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided');%估计功率谱密度
f=[-fliplr(f)f(1:
end)];%构造一个对称的频率,范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[-fliplr(Px)Px(1:
end)];%对称的功率谱
plot(f,10*log10(Py),'b');
title('邹先雄一一实际的功率谱密度曲线');
估计出来的功率谱密度为,
将两幅图画在一起,可以看到拟合的情况比较好(两者相位刚好相反,但是基本波形相似)
代码如下:
clearall;
delta=2*pi/1000;
w_min=-pi;
w_max=pi;
Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点,范围是[-pi,pi]
Gx=4*(abs(1丿(1+0.3*exp(-i*w)+0.5*exp(-2*i*w)))A2);%计算出理论值
Gx=Gx/max(Gx);%归一化处理
f=w*Fs/(2*pi);%转化到模拟域上的频率结束
plot(f,Gx,'r');
holdon;
title('邹先雄一一理论和实际的功率谱密度曲线拟合');
window=hamming(20);%采用hanmming窗,长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率,为1000Hz
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,20);%得到系统的单位冲激函数,在20点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2
x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided');%估计功率谱密度f=[-fliplr(f)f(1:
end)];%构造一个对称的频率,范围是[-Fs/2,Fs/2]Py=[-fliplr(Px)Px(1:
end)];%对称的功率谱Py=-10*log10(Py);
Py=Py/max(Py);
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+2.6;%用来归一处理,使两者吻合plot(f,Py,'b');
legend('实际值','理论值');
gridon;
邹先雄一理论和实际的功率谙密度曲线拟合
ARMA模型分析
设有ARMA(2,2)模型,
X(n)+0.3X(n-1)-0.2X(n-2)=W(n)+0.5W(n-1)-0.2W(n-2)
W(n)是零均值正态白噪声,方差为4。
(1)用MATLAB模拟产生X(n)的500观测点的样本函数,并绘出波形
(2)用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差
(3)画出理论的功率谱
(4)估计X(n)的相关函数和功率谱
【分析】给定(2,2)的ARMA过程,也可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到,这个系统的传递函数为:
7173亠。
右
对于功率谱,可以这样得到,
对于ARMA过程,当模型的所有极点均落在单位圆内时,才是一个渐进平稳的随机过程。
这个过程的自相关函数不能简单地写成Yule-Walker方程形式,它于模型的参数具有高度的
非线性关系。
1.产生样本函数,并画出波形
题目中的ARMA过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出,可以按照上面的方法进行描述。
clearall;
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,10);%得到系统的单位冲激函数,在10点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2
x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA过程
plot(x,'r');
title('邹先雄一一输出的AR随机序列');
得到的输出序列波形为:
邹先雄一输出的AR随机序列
0SO1C01S02002503003504004&0500
2.估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差,得到mx0,对于方差可以先求出理论自相关输出,然后取零点的值。
:
(nt)壬蚁川)*)*几(m)
并且,K(耐■镂何),带入有
在最大值处就是输出的功率,也就是方差,为
GT;-7;(0>-4.2
对实际数据进行估计,均值为mean(x)=-0.0547,而方差为var(x)=3.8,两者和理论值吻
合的比较好。
附代码及运行结果截图如下:
»clearall,
b=[l0.5-0.2]:
sf[10.3-0.2];%由插述的差分方程,得到系缔传递團数hFi»pi(bjaj10):
K谒到嘉统的单位冲致函数,在10点处已经可叹认対值恳口
Anfstatet0):
^norBrndO,2^,500);%产生腫设的白噪声随机序列,标准差拘2y=filter(bja^):
35谨过线形系统,得對输出就是题目中要求的也,?
)阶ARMA过程plot(X,'rJ);
Py_mean=nieaiLtK)
Pyvarsvar(x)
Py.mean=
-0.1488
Py_var=
3.798E
3.画出理论的功率谱密度曲线
理论的功率谱为,
耳(也)=卑(岬心卜4阳
用下面的语句产生:
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点,范围是[-pi,pi]
NS=1+0.5*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w);%分子
DS=1+0.3*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w);%分母
Gx=4*(abs(NS./DS)A2);%计算出理论值
Gx=Gx/max(Gx);f=w*Fs/(2*pi);%转化到模拟域上的频率
plot(f,Gx,'b');
title('邹先雄一一理论的功率谱密度曲线');
gridon;
邹先雄一理论的功率谱密度曲线
4•估计相关函数和功率谱密度曲线
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过,在这里仅给出仿真图形。
%计算理论和实际的自相关函数序列
Mlag=20;%定义最大自相关长度
Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff);
m=-Mlag:
Mlag;
stem(m,Rx,'r.');
title('邹先雄一一估计自相关函数’);
最终的值为
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方法进行估计,
window=hamming(20);%采用hanmming窗,长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率,为1000Hz
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,10);%得到系统的单位冲激函数,在10点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2
x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided');%估计功率谱密度
f=[-fliplr(f)f(1:
end)];%构造一个对称的频率,范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr(Px)Px(1:
end)];%对称的功率谱
plot(f,10*log10(Py),'b');
title('邹先雄一一实际的功率谱密度曲线');
估计出来的功率谱密度为
邹先雄—奚际的功率谱密度曲线
”2了
-28
2§101LF」LL」I.
*-500400-300-200-1000100200300490500
把两幅图画在一起,可以得到下面的图形,可以看出两者的吻合度比较高。
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1OOO;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点,范围是[-pi,pi]
NS=1+0.5*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w);%分子
DS=1+0.3*exp(-i*w)-0.2*exp(-2*i*w);%分母
Gx=4*(abs(NS./DS).A2);%计算出理论值
Gx=Gx/max(Gx);f=w*Fs/(2*pi);%转化到模拟域上的频率
plot(f,Gx,'r');
title('邹先雄一一理论和实际的功率谱密度曲线的拟合');
holdon;
window=hamming(20);%采用hanmming窗,长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率,为1000Hz
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,10);%得到系统的单位冲激函数,在10点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2
x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided');%估计功率谱密度
f=[-fliplr(f)f(1:
end)];%构造一个对称的频率,范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr(Px)Px(1:
end)];%对称的功率谱
Py=10*log10(Py);Py=Py/max(Py);
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+4;%用来归一处理,使两者吻合plot(f,Py,'b');
legend('实际值','理论值');
gridon;
邹芫嬢一理论和实际的功率谱密度由线的般合
3、实验内容
1熟悉实验原理,将实验原理上的程序应用matlab工具实现;
2、设有MA
(2)模型,
|x(n)=W(n)-0,3W(n-1)+02W(n-2)
W(n)是零均值正态白噪声,方差为4。
(1)用MATLAB模拟产生X(n)的500观测点的样本函数,并绘出波形
(2)用产生的500个观测点估计X(n)的均值和方差
(3)画出理论的功率谱
(4)估计X(n)的相关函数和功率谱完成4个问题的源代码如下
clearall;
%产生样本函数,并画出波形
b=[1-0.30.2];a=[1];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,10);%得到系统的单位冲激函数,在10点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA过程figure
(1);
plot(x,'r');
title('邹先雄——样本函数');
Py_mean=mean(x)
Py_var=var(x)%画出理论的功率谱密度曲线delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点,范围是[-pi,pi]NS=1-0.3*exp(-i*w)+0.2*exp(-2*i*w);%分子
DS=1;%分母
Gx=4*(abs(NS./DS)A2);%计算出理论值
Gx=Gx/max(Gx);f=w*Fs/(2*pi);%转化到模拟域上的频率figure
(2);
plot(f,Gx,'b');
title('邹先雄——理论的功率谱密度曲线');%估计相关函数
Mlag=20;%定义最大自相关长度Rx=xcorr(x,Mlag,'coeff');
m=-Mlag:
Mlag;
figure(3);
stem(m,Rx,'r.');
title('邹先雄——估计相关函数');%画出估计的功率谱密度曲线window=hamming(20);%采用hanmming窗,长度为20noverlap=10;%重叠的点数Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率,为1000Hz[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided');%估计功率谱密度
f=[-fliplr(f)f(1:
end)];%构造一个对称的频率,范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr(Px)Px(1:
end)];%对称的功率谱
figure(4);plot(f,10*log10(Py),'b');
title('邹先雄——估计的功率谱密度曲线');%对实际和估计两功率谱密度曲线进行拟合delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点,范围是[-pi,pi]
NS=1-0.3*exp(-i*w)+0.2*exp(-2*i*w);%分子
DS=1;%分母
Gx=4*(abs(NS./DS).A2);%计算出理论值
Gx=Gx/max(Gx);f=w*Fs/(2*pi);%转化到模拟域上的频率figure(5);
plot(f,Gx,'r');
title('邹先雄——实际和估计两功率谱密度曲线的拟合');
holdon;
window=hamming(20);%采用hanmming窗,长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率,为1000Hz
b=[1-0.30.2];a=[1];%由描述的差分方程,得到系统传递函数
h=impz(b,a,10);%得到系统的单位冲激函数,在10点处已经可以认为值是0
randn('state',0);
w=normrnd(0,2,1,500);%产生题设的白噪声随机序列,标准差为2
x=filter(b,a,w);%通过线形系统,得到输出就是题目中要求的(2,2)阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch(x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided');%估计功率谱密度
f=[-fliplr(f)f(1:
end)];%构造一个对称的频率,范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr(Px)Px(1:
end)];%对称的功率谱
Py=10*log10(Py);
Py=Py/max(Py);
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+4;%用来归一处理,使两者吻合
plot(f,Py,'b');
legend('实际值','理论值');
gridon;
样本函数波形为:
邹先雄——样本函数
理论功率谱密度曲线为:
邹先雄——理论的功率谱密度曲线
估计相关函数波形为:
邹先雄一怙计相关商数
0.G
0.4
0.2
11T
-0.2
■°^0d5-10
10
15
20
估计功率谱密度曲线为:
实际和估计两功率谱密度曲线的拟合截图如下:
附程序运行后得到的均值与方差的截图,其中差,大小为3.9324:
y_mean为均值,大小为-0.1127;y_var为方
holdon,
windov^hanuung(20);%采用harunning窗'点度为20
rwnrerlap=10:
%重屋的点數
Nfft=612;%做FFT的点勤
Fs=10CO;K采样频車,再血0Hz
b=[l-0.3D.2];a^[l];%由描述的差分方程,得到系统传递的敎
hFl些叫13;M得到系绕的单位冲漱函敎,在IO点处已径可以认论值是Urandu(*stat$".D);
^norurndCD^^1,500):
%产生题设的白噪芦随机序列,标淮差苑2
黑通过线形系编,得到输出就是题目中要求的住,2)阶ARIA过程[Px*f]=pnrelch(Xjwindo-Vjnoverlap,Hfft,Fs,7onesided,);%皆计功率i普密度f=[-fliplr(f)f(l!
fend)J;%构程一个对称的范圍是[-昨/2』Fs/2]
P尸[fldplr(Px)Pkti;ozuD];%对称的#1車谱
Py=10»losl0(Py):
Py=Py/niax(Py);
Py=^Py;Py=3+
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- 典型 时间 序列 模型 分析