北师大版数学八年级下册第4章 因式分解 同步单元练习含答案解析.docx
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北师大版数学八年级下册第4章因式分解同步单元练习含答案解析
北师大版数学八年级下册第4章因式分解同步单元练习含答案解析
一.选择题(共8小题)
1.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A.a2+1=a(a+
)B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
C.a2+a﹣5=(a﹣2)(a+3)+1D.x2y+xy2=xy(x+y)
2.多项式9a2x2﹣18a4x3各项的公因式是( )
A.9axB.9a2x2C.a2x2D.a3x2
3.下列各多项式中,能用平方差公式分解因式有是( )
A.﹣x2+16B.x2+9C.﹣x2﹣4D.x2﹣2y
4.下列因式分解正确的是( )
A.x2﹣1=(x﹣1)2B.a2+ab+a=a(a+b)
C.﹣2y2+4y=﹣2y(y+2)D.m2n﹣2mn+n=n(m﹣1)2
5.如果二次三项式x2+ax+2可分解为(x﹣1)(x+b),则a+b的值为( )
A.﹣2B.﹣5C.3D.5
6.在实数范围内分解下列因式正确的是( )
A.a2﹣4=(a﹣2)2B.2a2﹣4=2(a2﹣2)
C.
D.
7.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:
x﹣y,a﹣b,2,x2﹣y2,a,x+y,分别对应下列六个字:
华、我、爱、美、游、中,现将2a(x2﹣y2)﹣2b(x2﹣y2)因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱美
8.248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是( )
A.61和63B.63和65C.65和67D.64和67
二.填空题(共5小题)
9.多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是 .
10.已知x、y满足
,则x2﹣y2= .
11.若多项式x2﹣mx+6分解因式后,有一个因式是x﹣3,则m的值为 .
12.如图,边长为a,b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为 .
13.若多项式x2﹣(m﹣1)x+16能用完全平方公式进行因式分解,则m= .
三.解答题(共6小题)
14.分解因式:
(1)(a﹣b)2+4ab;
(2)﹣mx2+12mx﹣36m.
15.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
16.不解方程组
,求代数式7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3的值.
17.已知a、b、c分别是△ABC的三边.
(1)分别将多项式ac﹣bc,﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解;
(2)若ac﹣bc=﹣a2+2ab﹣b2,试判断△ABC的形状,并说明理由.
18.如图
(1),有A、B、C三种不同型号的卡片若干张,其中A型是边长为a(a>b)的正方形,B型是长为a、宽为b的长方形,C型是边长为b的正方形.
(1)若用A型卡片1张,B型卡片2张,C型卡片1张拼成了一个正方形(如图
(2)),此正方形的边长为 ,根据该图形请写出一条属于因式分解的等式:
.
(2)若要拼一个长为2a+b,宽为a+2b的长方形,设需要A类卡片x张,B类卡片y张,C类卡片z张,则x+y+z= .
(3)现有A型卡片1张,B型卡片6张,C型卡片11张,从这18张卡片中拿掉两张卡片,余下的卡片全用上,你能拼出一个长方形或正方形吗?
有几种拼法?
请你通过运算说明理由.
19.阅读并解决问题.
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有:
x2+2ax﹣3a2=(x2+2ax+a2)﹣a2﹣3a2=(x+a)2﹣(2a)2=(x+3a)(x﹣a).
像这样,先添﹣适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
(1)利用“配方法”分解因式:
a2﹣6a+8.
(2)若a+b=5,ab=6,求:
①a2+b2;②a4+b4的值.
(3)已知x是实数,试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小,说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A.a2+1=a(a+
)B.(x+1)(x﹣1)=x2﹣1
C.a2+a﹣5=(a﹣2)(a+3)+1D.x2y+xy2=xy(x+y)
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
【解答】解:
A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故不符合题意;
B、是整式的乘法,故不符合题意;
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故不符合题意;
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式,故符合题意;
故选:
D.
2.多项式9a2x2﹣18a4x3各项的公因式是( )
A.9axB.9a2x2C.a2x2D.a3x2
【分析】找出系数的最大公约数,相同字母的最低指数次幂,然后即可确定公因式.
【解答】解:
9a2x2﹣18a4x3中
∵系数的最大公约数是9,相同字母的最低指数次幂是a2x2,
∴公因式是9a2x2.
故选:
B.
3.下列各多项式中,能用平方差公式分解因式有是( )
A.﹣x2+16B.x2+9C.﹣x2﹣4D.x2﹣2y
【分析】利用平方差公式判断即可.
【解答】解:
﹣x2+16=(4+x)(4﹣x),
故选:
A.
4.下列因式分解正确的是( )
A.x2﹣1=(x﹣1)2B.a2+ab+a=a(a+b)
C.﹣2y2+4y=﹣2y(y+2)D.m2n﹣2mn+n=n(m﹣1)2
【分析】各项分解得到结果,即可作出判断.
【解答】解:
A、原式=(x+1)(x﹣1),不符合题意;
B、原式=a(a+b+1),不符合题意;
C、原式=﹣2y(y﹣2),不符合题意;
D、原式=n(m2﹣2m+1)=n(m﹣1)2,符合题意,
故选:
D.
5.如果二次三项式x2+ax+2可分解为(x﹣1)(x+b),则a+b的值为( )
A.﹣2B.﹣5C.3D.5
【分析】直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案.
【解答】解:
∵二次三项式x2+ax+2可分解为(x﹣1)(x+b),
∴x2+ax+2=(x﹣1)(x+b)
=x2+(b﹣1)x﹣b,
则﹣b=2,b﹣1=a,
解得:
b=﹣2,a=﹣3,
故a+b=﹣5.
故选:
B.
6.在实数范围内分解下列因式正确的是( )
A.a2﹣4=(a﹣2)2B.2a2﹣4=2(a2﹣2)
C.
D.
【分析】由平方差公式可得a2﹣4=(a﹣2)(a+2),2a2﹣4=2(a2﹣2)=2(a+
)(a﹣
),即可判断答案.
【解答】解:
a2﹣4=(a﹣2)(a+2),故A选项不正确;
2a2﹣4=2(a2﹣2)=2(a+
)(a﹣
),故B、C选项不正确;
故选:
D.
7.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:
x﹣y,a﹣b,2,x2﹣y2,a,x+y,分别对应下列六个字:
华、我、爱、美、游、中,现将2a(x2﹣y2)﹣2b(x2﹣y2)因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.爱我中华B.我游中华C.中华美D.我爱美
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2(x+y)(x﹣y)(a﹣b),然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断.
【解答】解:
2a(x2﹣y2)﹣2b(x2﹣y2)=2(x2﹣y2)(a﹣b)=2(x+y)(x﹣y)(a﹣b),
信息中的汉字有:
华、我、爱、中.
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华.
故选:
A.
8.248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除,则这两个数是( )
A.61和63B.63和65C.65和67D.64和67
【分析】248﹣1=(224+1)(224﹣1)=(224+1)(212+1)(212﹣1)=(224+1)(212+1)(26+1)(26﹣1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)(23﹣1),即可求解.
【解答】解:
248﹣1=(224+1)(224﹣1)=(224+1)(212+1)(212﹣1)
=(224+1)(212+1)(26+1)(26﹣1)
=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)(23﹣1)
=(224+1)(212+1)×65×63,
故选:
B.
二.填空题(共5小题)
9.多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是 x﹣2 .
【分析】分别将多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4进行因式分解,再寻找他们的公因式.
【解答】解:
∵3x2﹣12=3(x2﹣4)=3(x+2)(x﹣2),
x2﹣4x+4=(x﹣2)2,
∴多项式3x2﹣12与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2.
故答案为:
x﹣2
10.已知x、y满足
,则x2﹣y2= 15 .
【分析】直接利用已知将两方程相加或相减得出x+y=5,x﹣y=3,进而得出答案.
【解答】解:
由已知可得:
3x+3y=15,
则x+y=5,x﹣y=3,
故x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=15.
故答案为:
15.
11.若多项式x2﹣mx+6分解因式后,有一个因式是x﹣3,则m的值为 5 .
【分析】设另一个因式为x+a,(x+a)(x﹣3)=x2+(﹣3+a)x﹣3a,根据题意得出﹣m=﹣3+a,6=﹣3a,求出m、a即可.
【解答】解:
设另一个因式为x+a,
则(x+a)(x﹣3)=x2+(﹣3+a)x﹣3a,
∴﹣m=﹣3+a,6=﹣3a,
∴a=﹣2,m=5,
故答案为:
5.
12.如图,边长为a,b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为 78 .
【分析】先把所给式子提取公因式ab,再整理为与题意相关的式子,代入求值即可.
【解答】解:
根据题意得:
a+b=5,ab=6,
则a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2﹣2ab]=6×(52﹣2×6)=6×13=78.
故答案为:
78.
13.若多项式x2﹣(m﹣1)x+16能用完全平方公式进行因式分解,则m= 9或﹣7 .
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值.
【解答】解:
∵多项式x2﹣(m﹣1)x+16能用完全平方公式进行因式分解,
∴m﹣1=±8,
解得:
m=9或m=﹣7,
故答案为:
9或﹣7
三.解答题(共6小题)
14.分解因式:
(1)(a﹣b)2+4ab;
(2)﹣mx2+12mx﹣36m.
【分析】
(1)原式整理后,利用完全平方公式分解即可;
(2)原式提取﹣m,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:
(1)(a﹣b)2+4ab
=a2﹣2ab+b2+4ab
=a2+2ab+b2
=(a+b)2;
(2)﹣mx2+12mx﹣36m
=﹣m(x2﹣12xy+36)
=﹣m(x﹣6)2.
15.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知:
a是﹣6的两个因数的和,则﹣6可分成3×(﹣2),﹣3×2,6×(﹣1),﹣6×1,共4种,所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况.
【解答】解:
x2+x﹣6=(x+3)(x﹣2);
x2﹣x﹣6=(x﹣3)(x+2);
x2+5x﹣6=(x+6)(x﹣1);
x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).
16.不解方程组
,求代数式7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3的值.
【分析】将原式分解因式,产生x﹣3y与2x+y,再整体代入,计算简便.
【解答】解:
7y(x﹣3y)2﹣2(3y﹣x)3=(x﹣3y)2[7y+2(x﹣3y)]
=(x﹣3y)2(7y+2x﹣6y)=(x﹣3y)2(2x+y).
把
代入原式得
原式=12×6=6.
17.已知a、b、c分别是△ABC的三边.
(1)分别将多项式ac﹣bc,﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解;
(2)若ac﹣bc=﹣a2+2ab﹣b2,试判断△ABC的形状,并说明理由.
【分析】
(1)ac﹣bc提出公因式c得c(a﹣b);﹣a2+2ab﹣b2提出负号得﹣(a2﹣2ab+b2)再利用完全公式法得﹣(a﹣b)2;
(2)利用上面因式分解的结果,写出等式c(a﹣b)=﹣(a﹣b)2,移项后得到c(a﹣b)+(a﹣b)2=0,再利用提公因式法得到(a﹣b)(c+a﹣b)=0,得到a﹣b=0,c+a﹣b≠0,得出△ABC的形状是等腰三角形.
【解答】解:
(1)ac﹣bc=c(a﹣b)
﹣a2+2ab﹣b2=﹣(a2﹣2ab+b2)=﹣(a﹣b)2
(2)∵ac﹣bc=﹣a2+2ab﹣b2
∴c(a﹣b)=﹣(a﹣b)2
c(a﹣b)+(a﹣b)2=0
(a﹣b)(c+a﹣b)=0
∵a、b、c分别是△ABC的三边,满足两边之和大于第三边,即c+a﹣b>0
∴a﹣b=0
即a=b
故△ABC的形状是等腰三角形.
18.如图
(1),有A、B、C三种不同型号的卡片若干张,其中A型是边长为a(a>b)的正方形,B型是长为a、宽为b的长方形,C型是边长为b的正方形.
(1)若用A型卡片1张,B型卡片2张,C型卡片1张拼成了一个正方形(如图
(2)),此正方形的边长为 a+b ,根据该图形请写出一条属于因式分解的等式:
a2+2ab+b2=(a+b)2 .
(2)若要拼一个长为2a+b,宽为a+2b的长方形,设需要A类卡片x张,B类卡片y张,C类卡片z张,则x+y+z= 9 .
(3)现有A型卡片1张,B型卡片6张,C型卡片11张,从这18张卡片中拿掉两张卡片,余下的卡片全用上,你能拼出一个长方形或正方形吗?
有几种拼法?
请你通过运算说明理由.
【分析】
(1)由图可得可得正方形的边长为a+b,由图
(2)可得因式分解的等式a2+2ab+b2=(a+b)2;
(2)因为(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,所以需要用A类卡片2张,B类卡片5张,C类卡片2张,即可求x、y、z对应的值;
(3)第一种:
A型卡片拿掉1张,B型卡片拿掉1张,则能拼出一个长方形,即长方形的长为5A+11b,宽为b,
第二种:
A型卡片拿掉1张,C型卡片拿掉1张,则能拼出一个长方形,即长方形的长为3A+5b,宽为2b,
第三种:
C型卡片拿掉2张,则能拼出一个正方形方形,即正方形边长为A+3b,
【解答】解:
(1)由图
(1)和图
(2)可得正方形的边长为a+b,
由图
(2)可得因式分解的等式a2+2ab+b2=(a+b)2.
故答案为a+b,a2+2ab+b2=(a+b)2;
(2)∵(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,
∴需要用A类卡片2张,B类卡片5张,C类卡片2张,
∴x+y+z=2+5+2=9;
故答案为9;
(3)三种拼法:
第一种:
A型卡片拿掉1张,B型卡片拿掉1张,则能拼出一个长方形,即长方形的长为5A+11b,宽为b,
∴b(5a+11b)=5ab+11b2;
第二种:
A型卡片拿掉1张,C型卡片拿掉1张,则能拼出一个长方形,即长方形的长为3A+5b,宽为2b,
∴2b(3a+5b)=6ab+10b2;或者长为6A+10b,宽为b,∴(6a+10b)b=6ab+10b2;此种情况共2种拼法;
第三种:
C型卡片拿掉2张,则能拼出一个正方形方形,即正方形边长为A+3b,
∴(a+3b)2=a2+6ab+9b2.
19.阅读并解决问题.
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式.但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2,使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有:
x2+2ax﹣3a2=(x2+2ax+a2)﹣a2﹣3a2=(x+a)2﹣(2a)2=(x+3a)(x﹣a).
像这样,先添﹣适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.
(1)利用“配方法”分解因式:
a2﹣6a+8.
(2)若a+b=5,ab=6,求:
①a2+b2;②a4+b4的值.
(3)已知x是实数,试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小,说明理由.
【分析】
(1)加1再减1,可以组成完全平方式;
(2)①加2ab再减2ab可以组成完全平方式;②在①得基础上,加2a2b2再减2a2b2,可以组成完全平方式;
(3)把所给的代数式进行配方,然后比较即可.
【解答】解:
(1)a2﹣6a+8,
=a2﹣6a+9﹣1,
=(a﹣3)2﹣1,
=(a﹣3﹣1)(a﹣3+1),
=(a﹣2)(a﹣4);
(2)a2+b2,
=(a+b)2﹣2ab,
=52﹣2×6,
=13;(2分)
a4+b4=(a2+b2)2﹣2a2b2,
=132﹣2×62,
=97;(2分)
(3)∵x2﹣4x+5,
=x2﹣4x+4+1,
=(x﹣2)2+1≥1>0(2分)
﹣x2+4x﹣4,
=﹣(x2﹣4x+4),
=﹣(x﹣2)2≤0(2分)
∴x2﹣4x+5>﹣x2+4x﹣4.(1分)
(若用”作差法”相应给分)
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