高三大一轮复习数学文学案课件 教师用书 课时规范训练第五章 平面向量 11份打包.docx
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高三大一轮复习数学文学案课件教师用书课时规范训练第五章平面向量11份打包
§5.1 平面向量的概念及线性运算
[知识梳理]
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小,又有方向的量统称为向量;向量的大小叫作向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线
0与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( )
(2)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.( )
(3)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
(4)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(5)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( )
(6)△ABC中,D是BC中点,则=(+).( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√
[基础自测]
1.D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于( )
A.-+ B.--
C.-D.+
解析:
选A.如图,
=+=+=-+.
2.判断下列四个命题:
①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;
③若|a|=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a|=|b|.其中正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选A.①中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;②中两向量的模相等,但方向不一定相同,故这两向量不一定相等;③中两向量的模相等,但两向量不一定共线;④中两向量相等,则模一定相等,故正确.
3.(2015·高考课标卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+B.=-
C.=+D.=-
解析:
选A.∵=3,∴-=3(-),
则4-=3,∴=-+.
4.(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________(用a,b表示).
解析:
如图,==-=b-a,
=-=--=-a-b.
答案:
b-a -a-b
5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
解析:
由已知得a+λb=-k(b-3a),
∴解得
答案:
-
类型一 平面向量的概念
[例1] 下列命题中,正确的是________(填序号)
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量与向量共线,则A、B、C、D四点共线;
④两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;
④正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.
答案 ④
[方法引航]
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:
是与a同方向的单位向量.
1.给出下列命题:
①若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
②0·a=0;
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中正确命题的序号是________.
解析:
①正确;②一方面,数乘向量的结果为向量,而不是实数;另一方面,实数与向量的数乘运算不能用符号“·”,故不正确;③当a=b时|a|=|b|且a∥b,反之不成立,故错误;④当a,b不同向时不成立,故错误.
答案:
①
类型二 平面向量的线性运算
[例2]
(1)如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则( )
A.++=0B.-+=0
C.+-=0D.--=0
解析 ∵++=0,
∴2+2+2=0,
即++=0.
答案 A
(2)(2017·福建泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( )
A.=B.=2
C.=2D.=2
解析 由题意得++=-,
即=-2=2.
答案 D
(3)已知:
任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,求证:
=(+).
证明 如图所示,∵E,F分别是AD与BC的中点,
∴+=0,+=0.
又∵+++=0,
∴=++.①
同理=++.②
由①+②得,2=++(+)+(+)=+,∴=(+).
[方法引航] 向量线性运算的方法技巧
由于向量具有数形两方面的性质,在进行向量的线性运算时,一定要结合图形进行,即将向量转化到同一三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则求解.
2.
(1)在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=( )
A.b+cB.c-b
C.b-cD.b+c
解析:
选A.∵=2,∴-=2(-),
∴3=2+,∴=+=b+c.
(2)若A,B,C,D是平面内任意四点,给出下列式子:
①+=+;②+=+;③-=+.其中正确式子的序号为________.
解析:
①由+=+得,-=-=--=-2+-,从而=-2+,即=0,故不正确;
②由+=+得,
-=-,即=,故正确;
③由-=+得-=+,即=,故正确.综上可得②③正确.
答案:
②③
类型三 共线定理的应用
[例3] 设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:
A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
解
(1)证明:
∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴、共线,又∵它们有公共点B,
∴A、B、D三点共线.
(2)∵ka+b和a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb.
∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a、b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,
∴k2-1=0.∴k=±1.
[方法引航]
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a、b不共线.
3.
(1)(2017·四川资阳模拟)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则( )
A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线
解析:
选B.∵=+=2a+6b=2(a+3b)=2,
∴、共线,又有公共点B,
∴A,B,D三点共线.故选B.
(2)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ=________.
解析:
由题意知:
a+λb=k(2a-b),则有
∴k=,λ=-.
答案:
-
[思想与方法系列]
方程思想在平面向量线性运算中的应用(十)
典例 (12分)如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.
思维点拨
(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解.
(2)既然能用a、b表示,那我们不妨设出=ma+nb.
(3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.
[解] 设=ma+nb,
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.[3分]
又∵A、M、D三点共线,∴与共线.
∴存在实数t,使得=t,
即(m-1)a+nb=t.[5分]
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴消去t得,m-1=-2n,
即m+2n=1.①[7分]
又∵=-=ma+nb-a=a+nb,
=-=b-a=-a+b.
又∵C、M、B三点共线,∴与共线.[10分]
∴存在实数t1,使得=t1,
∴a+nb=t1,
∴
消去t1得,4m+n=1.②
由①②得m=,n=,∴=a+b.[12分]
[警示]
(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.
(2)易错点是找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.
思想方法 感悟提高
[方法与技巧]
1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论:
对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
[失误与防范]
1.解决向量的概念问题要注意两点:
一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
课时规范训练[单独成册]
[A组 基础演练]
(时间:
35分钟)
1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|a
解析:
选B.对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ|·|a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.
2.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,但a+b与c共线,且b+c与a共线,则向量a+b+c=( )
A.aB.b
C.cD.0
解析:
选D.依题意,设a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na.又a与c不共线,于是有m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0.
3.设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么( )
A.与同向,且||>||
B.与同向,且||<||
C.与反向,且||>||
D.∥
解析:
选A.=++=2a+3b+(-8a-2b)+(-6a-4b)=-12a-3b,又=-8a-2b,
∴=.∵>0,
∴与同向,且||=||.
∴||>||.
4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与( )
A.反向平行B.同向平行
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
解析:
选A.由题意得=+=+,
=+=+,
=+=+,
因此++=+(+-)
=+=-,
故++与反向平行.
5.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A.3B.4
C.5D.6
解析:
选B.∵D为AB的中点,
则=(+),
又++2=0,
∴=-,∴O为CD的中点,
又∵D为AB中点,
∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,
则=4.
6.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________(用a,b表示).
解析:
由=3,得4=12=12×=3=3(a+b),=a+b,所以=(a+b)-=-a+b.
答案:
-a+b
7.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=|-|,则||=________.
解析:
由|+|=|-|可知,
⊥,则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,
因此,||=||=2.
答案:
2
8.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________.
解析:
∵=2,∴=.
∵=,∴=(+),
∴=-=(+)-
=-.又=x+y,∴x=,y=-.
答案:
-
9.
在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.
解:
=(+)=a+b.
=+=+
=+(+)
=+(-)
=+
=a+b.
10.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:
A,P,B三点共线;
(2)若A,P,B三点共线,求证:
m+n=1.
证明:
(1)若m+n=1,
则=m+(1-m)
=+m(-),
∴-=m(-),
即=m,∴与共线.
又∵与有公共点B,
∴A,P,B三点共线.
(2)若A,P,B三点共线,
存在实数λ,使=λ,
∴-=λ(-).
又=m+n.
故有m+(n-1)=λ-λ,
即(m-λ)+(n+λ-1)=0.
∵O,A,B不共线,∴,不共线,
∴∴m+n=1.
[B组 能力突破]
(时间:
15分钟)
11.设M是△ABC所在平面上的一点,且++=0,D是AC的中点,则的值为( )
A.B.
C.1D.2
解析:
选A.∵D是AC的中点,延长MD至E,使得DE=MD,∴四边形MAEC为平行四边形,∴==(+).∵++=0,∴=-(+)=-3,∴==,故选A.
12.已知O是三角形ABC的重心(三条中线的交点),动点P满足=,则点P一定为三角形ABC的( )
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心
D.AB边的中点
解析:
选B.取AB的中点D,则=-,
故=
=
=
=(+2)
==,
故点P为中线CD的三等分点(非重心).
13.设G为△ABC的重心,且sinA·+sinB·+sinC·=0,则B的大小为( )
A.45°B.60°
C.30°D.15°
解析:
选B.∵G是△ABC的重心,∴++=0,=-(+),将其代入sinA·+sinB·+sinC·=0,得(sinB-sinA)+(sinC-sinA)=0.又,不共线,
∴sinB-sinA=0,sinC-sinA=0,
则sinB=sinA=sinC.根据正弦定理知b=a=c,
∴△ABC是等边三角形,则角B=60°.故选B.
14.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:
①=a-b;②=a+b,③=-a+b;④++=0.
其中正确命题的个数为________.
解析:
=a,=b,=+=-a-b,故①错;
=+=a+b,故②正确;
=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;
++=-b-a+a+b+b-a=0,故④正确.
∴正确命题为②③④.
答案:
3
15.
如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R,则+的值为________.
解析:
设=a,=b,由题意知=×(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b,由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,得nb-ma=λa+λb,
从而
消去λ得+=3.
答案:
3
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
[知识梳理]
1.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a、b共线⇔x1y2-x2y1=0.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )
(3)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成=.( )
(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)√ (4)× (5)√
[基础自测]
1.设e1,e2是平面内一组基底,那么( )
A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间内任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)
C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内
D.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
答案:
A
2.(2017·河北衡水冀州中学第四次月考)在△ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s等于( )
A. B.
C.-3D.0
解析:
选D.因为=2,所以==(-)=-,则r+s=+=0,故选D.
3.(2016·高考全国甲卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8B.-6
C.6D.8
解析:
选D.(方法1)因为a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2).
因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,所以12-2(m-2)=0,解得m=8.
(方法2)因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即a·b+b2=3-2m+32+(-2)2=16-2m=0,解得m=8.
4.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________.
解析:
设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),
即解得
答案:
(1,5)
5.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
解析:
=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.
答案:
类型一 平面向量基本定理的应用
[例1]
(1)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于( )
A. B.
C.D.
解析 因为=+=+=+(+)=2++=2--,
所以=-,所以λ+μ=.
答案 D
(2)(2017·山东济南调研)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为________.
解析 设=k,k∈R.
因为=+=+k
=+k(-)=+k
=(1-k)+,
且=m+,所以1-k=m,=,
解得k=,m=.
答案
[方法引航]
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
1.(2017·重庆模拟)
(1)在平行四边形ABCD中,=e1,=e2,=,=,则=________.(用e1,e2表示)
解析:
如图,=-
=+2=+
=-+(-)
=-e2+(e2-e1)
=-e1+e2.
答案:
-e1+e2
(2)如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则=________.
解析:
=+=+
=+(-)=+
=a+b.
答案:
a+b
类型二 平面向量的坐标运算
[例2]
(1)(2017·甘肃兰州调研)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=________.
解析 因为a∥b,所以sin2θ=cos2θ,
即2sinθcosθ=cos2θ.
因为0<θ<,所以cosθ≠0,得2sinθ=cosθ,
所以tanθ=.
答案
(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.
解析 以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),
则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),∴a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).∵c=λa+μb,
∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),
即解得λ=-2,μ=-,∴=4.
答案 4
[方法引航] 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
2.
(1)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于( )
A.(-2,7) B.(-6,21)
C.(2,-7)D.(6,-21)
解析:
选B.=3=3(2-)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21).
(2)若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为( )
A.a+bB.-a-b
C.a+bD.a-b
解析:
选A.设c=xa+yb,则=(2x-y,x+2y),
所以
解得则c=a+b.
类型三 向量共线的坐标表示
[例3] 已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
解
(1)∵a=(1,0),b=(2,1),
∴
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