全等三角形难题集锦整理.docx
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全等三角形难题集锦整理
1、
(1)如图1,点0是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三
角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求/AEB的大小;
(2)如图2,△OAB固定不动,保持△OCD勺形状和大小不变,将△OCD绕着点O旋转(△OA审△OCD不能
重叠),求/AEB的大小.
2、
(1)如图1,现有一正方形ABCD,将三角尺的指直角顶点放在A点处,两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F.请你通过观察、测量,判断AE与AF之间的数量关系,并说明理由.
(2)将三角尺沿对角线平移到图2的位置,PE、PF之间有怎样的数量关系,并说明理由.
请说明
(3
3、
求证:
AHAB.
4、C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE,
AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
1AD=BE;②PQ//AE;③AP=BQ;
④DE=DP;⑤AOB60⑥CP=CQ⑦△CPQ为等边三角形.
⑧共有2对全等三角形
⑨CO平分AOE⑩CO平分BCD
5、D为等腰RtABC斜边AB的中点,DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当MDN绕点D转动时,求证:
DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
6、如图,
ABC是正三角形,ABDC是顶角
BDC120的等腰三角形,以
A
N
D为顶点作一个
60。
角,角的两边
分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.探究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
7、点
C为线段AB上一点,△ACM,MBN都是等边三角形,线段AN,MC交于点
E,
求证:
(1)
AN=MB.
(2)
将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度,如图②所示,其他条件不变,
成立?
(3)
AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。
B
图②
N
aaA
C
图①
8、复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:
“如图①,已知在ABC中,
BM,CN交于点F。
(1)中的结论是否依然
AB=AC,P是ABC内
部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使QAP
BAC,连接BQ、CP,贝UBQ=CP•”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了
△ABQ经ACP,从而证得BQ=CP之后,将点P移到等
9、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片ABC和DEF•且ABC也DEF。
将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点0•
1当DEF旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,AFD与DCA的数量关系是
2当DEF继续旋转至如图③位置时,
(1)中的结论还成立吗?
A0与DO存在怎样的数量关系?
请说明理由.
10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图
1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一
条直线上,连结DC•
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母)
(2)证明:
DC丄BE•
图1图2
11、两个全等的含30°、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起,DEAACB90,DAEABC30,
E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD中点M,连接ME、MC,试判断AEMC的形状,并说明理由.
12、如图,AD//BC,AD=BC,AE丄AD,AF丄AB,且AE=AD,AF=AB,求证:
AC=EF
13、如图,AE丄AB,AD丄AC,AB=AE,ZB=/E,求证:
(1)BD=CE;
(2)BD丄CE.
14、如图,BF丄AC于点F,CE丄AB于点E,且BD=CD。
求证:
(1)
△BDECDF;
(2)
分线上
C
15、如图1,A、E、F、C在同一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE丄AC,BF丄AC,
(1)若AB=CD,试说明BD平分EF;
BD是否还平分EF,请说明理由。
(2)若将ADEC的边EC沿AC方向移动变为图2时,其余条件不变,
16、如图①,0P是ZMON的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考
这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在ABC中,ZACB是直角,ZB=60°AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线,AD、CE相交
于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在ABC中,如果ZACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是
否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
P
17、如图1,点M为锐角ABC内任意一点,连接AM、BM、
AB
为一边向外作等边ABE,将BM绕
点B逆时针旋转60。
得到BN,连接EN.
(1)求证:
△AMB空ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为ABC的费尔马点.
若点
ABC的费尔马点,试求此时AMB、
BMC、
CMA的度数;
2,分别以ABC的AB、AC为一边
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:
如图向外作等边AABE和等边AACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为ABC的费尔马点.试说明这种作法
的依据.
迟劉C
18、如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点
E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与ZCBM的平分线BF相交于点F.
(1)如图1,当点E在AB边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是
2连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是
3请证明你的上述两猜想
(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在
AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE
与EF有怎样的数量关系并证明
D
19、如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:
①AF=DE;
②AFIDE.(不需要证明)
(1)如图2,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍
然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结
论①、②是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由
20、如图1、图2、图3,△AOB,ACOD均是等腰直角三角形,ZAOB=ZCOD=90o,
(1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?
请说明理由。
(2)若MOD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图
2的位置,请问AC与BD还相等吗,还具有那种位置关
系吗?
为什么?
(3)若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后,到达图
3的位置,请问AC与BD还相等吗?
还具有上问中的位
置关系吗?
为什么?
21、如图1,在
ABC中,BC边在直线I上,AC丄BC,且AC=BC.AEFP的边FP也在直线I上,边EF与边
AC重合,且EF=FP.
(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将AEFP沿直线I向左平移到图14-2的位置时,EP交AC于点Q,连结AP,BQ.猜想并写出BQ与AP
所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将址卩卩沿直线I向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
I
I
22、如图①所示,在
ABC和
ADE中,
ABAC,ADAE,
BAC
DAE,且点
A,D在一条直线上,
连接BE,CD,M,
N分别为BE,CD的中点.
(1)求证:
①BE
CD•,②AMAN;
(2)在图①的基础上,将ADE绕点A按顺时针方向旋转180
,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接
写出
(1)中的两个结论是否仍然成立
D
图①
A
图②
23、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,
四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.AEF90,且
EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取
AB的中点M,连接ME,贝UAM=EC,易证AME也ECF,所
以AEEF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C夕卜)的任意一点”,
其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不
正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”
仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
图1
图2
图3
24、问题背景,如下命题:
①如图1,在正三角形ABC中,
BC边上任一点,
CM为正三角形外角ZACK的平分线,若ANM60,
贝UAN=NM。
②如图2,在正方形ABCD中,
N为BC边上任一点,
CM为正方形外角ZDCK的平分线,若ANM90,则
AN=NM。
3如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,
CM为正五边形外角ZDCK的平分线,若ANM180,
贝UAN=NM。
图2
图3
任务要求:
(1)请你证明以上三个命题;
(2)请你继续完成下面的探索:
①如图4,在正n(n>3)边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,
CM为正
n边形外角ZDCK的平分线,
CM为ZDCN的平分线,若Z
问当ZANM等于多少度时,结论AN=NM成立(不要求证明)
②如图5,在梯形ABCD中,ADIIBC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,
ANM=ZABC,请问AN=NM是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由
M
K
图5
若不成立
B
O
B
A
A
E
B
B
D
6
D
F
E
A
M
B
C
Q
A
F
E
P
E
B
请写出你的猜想,不需证明
AE丄AB,AF丄AC,AE=AB
(1)当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图
26、已知
28、已知
27、已知
1),易证:
CD=CE
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2图3这两种情况下,上述结论是否成立,请给予证明
C,将一个三角板的直角顶点与点C重合,它的两条直角
25、已知ZAOB=90°ZAOB的平分线OM上有一点
BE,CF是ABC的高,且BP=AC,CQ=AB,试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E
FE
AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC丄BF
E_
B
AM
AB=CD=AE=BC+DE=2,C/ABC=ZAED=90°求五边形ABCDE的面积
BC
29、已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且ZDAE=ZFAE。
求证:
AFADCF
E
C
的两侧.
30、已知PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB
(1)如图,当ZAPB=45时,求AB及PD的长;
(2)当ZAPB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应ZAPB的大小.
AF.求证:
DEBF.
E
C
31、已知点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且EA
试判断ABC与AEG面
32、以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连结EG,积之间的关系,并说明理由.
F
33、用两个全等的等边ABC和△ACD拼成菱形ABCD,把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60
角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合•将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长
度,你能得出什么结论?
并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2),你在
(1)中得到的
结论还成立吗?
简要说明理由•
34、在等边
图13—2
BD
CD,
探究:
当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系及AMN的周长与
等边
ABC
的周长L的关系.
(1)
如图①,当点
M,N在边AB,AC上,且DM=DN时,BM,NC,MN之间的数量关系式
(2)
如图②,当点
M,N在边AB,AC上,且DMDN时,猜想
(1)
问的两个结论还成立吗?
写出你的猜
ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点,且MDN60,BDC120,
想并加以证明;
(3)如图③,当点
M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若AN=x,则
35、在等边
ABC中,P在AC延长线上一点,以
FA为边作等边APE,
(用x,L表示)
EC延长线交BP于M,连接AM。
求证:
(1)BP=CE;
(2)EM—PM=AM.
36、在等边
ABC中,点D为直线BC上的一动点
(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、
F按逆时针排列),使ZDAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:
①BD=CF:
②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?
若不成立,请写出
AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)
AC、CF、CD之间存在的
如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出
数量关系.
37、在等边ABC中,过AB边上的点D作DG//BC,交AC于点G,在GD的延长线上取点E,使DEDB,连接AE,CD•
(1)求证:
AGEDAC;
(2)过点E作EF//DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断AEF是怎样的三角形,试证明你的结论.
38、在等腰
ABC中,ABAC,D是BC的中点,过A作AEDE,AF
DF,且AEAF.求证:
EDBFDC.
F
39、在等腰RtABC中,ZACB=90°AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F。
求证:
ZADC=ZBDE.
D
A
40、在等腰RtABC中,ZACB=90°F是AB的中点,直线l经过点C,分别过点A、B作I的垂线,即ADCE,
BE
CE,
(1)
如图
1,当
兰CE位于点F的右侧时,求证:
△ADC^△CEB;
(2)
如图
2,当
兰CE位于点F的左侧时,求证:
ED=BE-AD;
(3)
如图
3,当
1CE在ABC的外部时,试猜想
ED、AD、BE之间的数量关系,并证明你的猜想
A
图1團2图3
41、四边形ABCD中,AB=BC,BF是ZABC的平分线,AFIIDC,连接AC、CF。
求证:
CA是ZDCF的平分
线。
42、在四边形ABCD中,AC平分BAD,CEAB于E,且B+D=180,求证:
AE=AD+BE
C
43、在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求ZEAF的度数.
44、在正方形ABCD中,
FADFAE.求证:
BEDFAE.
45、在ABC中,ABBC2,
ABC120,将ABC绕点B顺时针旋转角
(0
于点E,AiCi分别交AC、
BC于D、
两点.如图
F
90)得AiBC1AB父AC
1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA与FC有怎样的
数量关系?
并证明你的结论。
1
Ci
46、在RtABC中,ACBC,C90
D为AB边的中点,
EDF
90,EDF绕D点旋转,它的两边分
别交AC、BC(或它们的延长线)于E、F。
1
当EDF绕D点旋转到ACDE于E时(如图1),易证S^DEFS^CEF一ABC.
2
当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予
证明;若不成立,S
△def、Sacef、S»bc又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
F图1
图2
A
F
47、在ABC中,
ZA=90°D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任一点,PE丄BD,PF丄AC,E、F为垂
足.求证:
PE+PF=AB.
48、在ABC中,ZABC=45°CD丄AB于D,BE平分/ABC,且BE丄AC于E,与CD相交于点F,H是BC
边的中点,连结DH与BE相交于点G。
(1)求证:
BF=AC;
1
(2)求证:
CE=—BF;
2
(3)CE与BC的大小关系如何?
试证明你的结论。
49、在
ABC中,ZACB=90°AC=BC,AE是BC边上的中线,过
C作CF丄AE,垂足为F,过B作BD丄BC
交CF的延长线于D.求证:
(1)AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
50、在
ABC中,ZACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直
角△ADE,解答下列各题:
如果AB=AC,ZBAC=90
(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,猜想并证明线段BD,CE之间的位置关系。
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,
(1)中的结论是否还成立?
为什么?
3
匿曰
51、在ABC中,ZBAC=60°ZC=40°AP平分ZBAC交BC于P,BQ平分ZABC交AC于Q。
求证:
ABBPBQAQ。
52、在ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,/ADB=60°E是AD上一点,且DE=DB,求证:
ADBC2BE
C
53、在ABC中,AB=AC=6cm,ZB=ZC,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.
1若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,ABPD与△CQP是否全等,请说明理由;
2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使ABPD与MQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点
C出发,点P以原来的运动速度从点
B同时出发,都逆时针沿ABC三边运
动,则经过
后,点P与点Q第一次在ABC的
边上相遇?
(在横线上直接写出答案,不必书写解
题过程)
54、在ABC中,AB>AC,BADCAD,P为AD上任意一点,求证:
ABACPBPC
DG丄AC交AB于点G.
55、在RtABC中,AC=BC,ZACB=90;D是AC的中点,
(1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF,连结EF与CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H.①求证:
DG=DC;②判断FH与FC的数量关系并加以证明.
(2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上,
(1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。
必证明)
56、在
ABC中,
D、
AD丄BC,BE丄AC,
E为垂足,
AD与BE交与点H,
BD=AD。
求证:
BH=AC
57、在ABC中,BD=DC,ED丄DF.求证:
BE+CF>EF.
A
58、在ABC中,AM是中线•求证:
AM-(ABAC).2
59、正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。
(1)证明:
ABCG空DCE;
(2)BH丄DE
(3)BG与CD有何关系?
为什么?
(4)将正方形GCEF绕点C顺时针旋转,在旋转过程中,
(1)、
(2)中的结论还成立吗?
画出一个图形,直接
回答,不必说明理由。
60、直线CD经过BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点,且BECCFA
(1)若直线CD经过BCA的内部,且E、F在射线CD上,请解决下面两个问题:
①如图1,若BCA90,90,则EF|BEAF|(填“”,“”或“”号);
②如图2,若0BCA180,若使①中的结论仍然成立,则与BCA应满足的关系是
(2)如图3,若直线CD经过BCA的外部,
BCA,请探究
EF、与BE、AF三条线段的数量关系,并给
予证明.
图1
图2
图3
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