特征值与特征向量定义与计算.docx
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特征值与特征向量定义与计算
特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念及其计算
_anl_a2n"■久一%
=晋+务矿4+廻矿‘+…+坷+g
的n次多项式,E是单位矩阵莎j
()=1E-A|=n+「+•••+n=0是一个n次代数方程,称为A的特征方程。
特征方程()=|E-A|=0的根(如:
o)称为A的特征根(或特征值)。
n次代数方程在复数域内有且仅有n个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。
以A的特征值o代入(E-A)X=,得方程组(oE-A)X=,是一个齐次方程组歩,称为A的关于o的特征方程组。
因为|oE-A|=O,(oE-A)X=必存在非零解Xo)臣1,於o)称为A的属于o的特征向量。
所有o的特征向量全体构成了o的特征向量空间。
一.特征值与特征向量的求法
对于矩阵A,由AX=oX,oEX=AX得:
[oE-A]X=即齐次线性方程组
\_aU-ai3_ain
即说明特征根入是特征多项式|
oE-A|=0的根,由代数基本定
厂%盟L-%百…一(九一百)%
有非零解的充分必要条件是:
_alS
一%-沁n…
有n个复根1,2,…,n,为A的n个特征根
当特征根i(1=1,2,…,n)求出后,(iE-A)X=是齐次方程,均会使|iE-A|=O,(iE-A)X=必存在非零解,且有无穷个解向量,(iE-A)X=的基础解系澎1以及基础解系的线性组合眇1都是A的特征向量。
例1.求矩阵A=3-53的特征值与特征向量
6-54
解:
由特征方程
X-l3-S
13—3
dct(AE-A)=
-SX+5-S
=(A-f2)
1X+5-S
\-66X-4
06入一4
=(入+2)3CA-4)=0
解得A有2重特征值1=2=-2,有单特征值3=4
对于特征值1=2=-2,解方程组(-2E-A)x=
-33-Sir1-11"
-2E-A=-33-S——000
-6畐-Jbu
得同解方程组x1-X2+X3=0
解为X1=X2-X3(X2,X3为自由未知量#1)
分别令自由未知量
[;:
比
1
-1
得基础解糸E]—
1
^==
0
0
I
所以A的对应于特征值1=2=-2的全部特征向量为
x=kii+k22(ki,k2不全为零)
特征值在重根
可见,特征值=-2的特征向量空间是二维的。
注意,时,特征向量空间的维数特征根的重数。
4E-A=
0
-6
0
0
12-6
对于特征值3=4,方程组(4E-A)x=
X1Aj—0
得同解方程组为<
2
X,-丄X=fl
223
1
Xj=-;X3
:
(嘉任意)
令自由未知量X3=2得基础解系^3=1
所以A的对于特征值3=4得全部特征向量为x=k33
42-5
例2.求矩阵A=64-9的特征值与特征向量
53-7
解:
由特征方程
1-4-25
det(AE-A)=-6丸一49=a?
(X-1)=0
-5—3A.+7
解得A有单特征值1=1,有2重特征值2=3=0
对于1=1,解方程组(E-A)x=
-3-25
_10-1
E—A=
-6-39
>
01-1
-5-38
000
同解为
hi=屯
'll
令自由未知量X3=1,得基础解系&=1
所以A的对应于特征值1=1的全部特征向量为x=kii(ki0)
对于特征值2=3=0,解方程组(OE-A)二
-4-25
~10-1
A=
-6-49
>
01;
-5-37
000
得同解方程组为
通解为'
E=ha
此处,二重根=0的特征向量空间是一维的,特征向量空间的维数
<特征根的重数1^;1,这种情况下,矩阵A是亏损的X!
所以A的对应于特征值2=3=0得全部特征向量为X=k23
100
例3.矩阵A=00-1的特征值与特征向量
010
解:
由特征方程
X-1«0
dct(AE-A)=0X1=(A-1)(21?
+1)=0
0-1%
解得A的特征值为1=1,2=i,3=-i
对于特征值1=1,解方程组(E-A)二,由
€
0
0~
0
1
0"
E—A=
4
1
1
>
0
0
1
°
-1
1
°
0
0
得通解为
{:
&厲任意)
令自由未知量x1=1,得基础解系1=(1,0,0)T,所以A的对应于特征
值1=1得全部特征向量为x=k11
对于特征值2=i,解方程组(iE-A)=
i-1
ft
0
1
0
0
iE-A=
0
■
1
1
>
0
1
—i
0
-1
i
0
0
0
得同解方程组为
严=0
=»
通解为
(s,=0為任意)
T,所以A对应于特征值
,由
令自由未知量X3=1,得基础解系2=(0,i,1)
2=1的全部特征向量为x=k22(k20)。
对于特征值3=-i,解方程组(-E-A)x=
-1-1
0
0
1
0
LE-A=
0
一1
1
>
4
1
0
-1
-i
0
0
得同解方程组为
k十%=0
通解为
(勺任意)
令自由未知量X3=1,,得基础解系3=(0,-i,1)T,所以A的对应于
3=-i的全部特征向量为X=k33。
特征根为复数时,特征向量的分量也有复数出现。
特征向量只能属于一个特征值。
而特征值i的特征向量却有无
穷多个,他们都是齐次线性方程组(iE-A)x=的非0解。
其中,方程组(iE-A)x=的基础解系就是属于特征值i的线性无关的特征向
量。
性质1.n阶方阵A=(aj)的所有特征根为1,2,…,n(包括重根),则
S.j+九++入血=另刊订
1=1
丸比…亠十|
证第二个式子:
二才十+dTj兄11-5+…十=0
又|E-A|=Ji“1+..计n-i1+n中用=0代入二边,得:
卜A|=n,而|A|=(-1)
性质2•若是可逆阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则
11
亠是A-的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
X
证:
=二边左得:
x=A-1Ax=
再二边左乘?
得:
=
可见'是A-1的一个特征根。
其中0,这是因为0不会为可逆阵的特征根,不然,若i=0,
|A|=12…n=0,A奇异,与A可逆矛盾。
性质3.若是方阵A的一个特征根,x为对应的特征向量,则
“是AT的一个特征根,x仍为对应的特征向量。
证:
1)Ax=x,二边左乘A,得:
A^x=Ax=Ax=x=2x,
可见2是A2的特征根;
2)若m是Am的一个特征根,Amx=°X,
二边左乘A,得:
Am+1x=AAX=Amx=mAx=mx=m+1x,
得m+1是Am+1的特征根
用归纳法证明了m是Am的一个特征根。
性质4.设1,2,…,m是方阵A的互不相同的特征值。
Xj是属于
i的特征向量(i=1,2,…,m),则xi,x2,…,xm线性无关,即不相同特征值的特征向量线性无关。
性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系,因而是
一个很重要的结论。
性质4可推广为:
设1,2,…,m为方阵A的互不相同的特征
值,xil,x12,…,x1,k1是属于1的线性无关特征向量,,
xm1,xm2,…,xm,k1是属于m的线性无关特征向量。
则向量组
X11,x12,…,x1,k1,…,Xm1,Xm2,…,Xm,k1也是线性无关的。
即对于互不相同特征值,取他们各自的线性无关的特征向量,则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。
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- 特征值 特征向量 定义 计算