初中数学归纳总结.docx
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初中数学归纳总结
初中数学总复习资料
㈠数与代数
1数及运算
(1)有理数:
有限或不限循环性数(无理数:
无限不循环小数)
⑵数轴:
“三要素”原点正方向分度值
⑶相反数
⑷绝对值:
│a│=a(a≥0)│a│=-a(a<0)
⑸倒数
⑹指数
1零指数:
=1(a≠0)②负整指数:
(a≠0,n是正整数)
⑺完全平方公式:
⑻平方差公式:
(a+b)(a-b)=
⑼幂的运算性质:
1
·
=
②
÷
=
③
=
④
=
⑤
⑽科学记数法:
(1≤a<10,n是整数)
⑾算术平方根、平方根、立方根、
⑿
(2)无理数:
无限不循环小数叫无理数
平方根:
1果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
2如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。
3一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
4一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。
立方根:
1果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。
2正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
3一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。
实数:
1数分有理数和无理数。
2在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。
3每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
2代数式、方程(组)
(1)代数式
代数式:
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
合并同类项:
①含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。
②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
a.整式与分式整式和分式统称为有理式。
整式:
①与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。
②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
整式运算:
加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。
整式的乘法:
1项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式。
2单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
3多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
公式两条:
平方差公式:
a2-b2=(a+b)*(a-b);(8-2)(8+2)=60;
完全平方公式:
a2+/-2ab+b2=(a+/-b)2(a+b)2--(a-b)2=4ab
整式的除法:
①项式相除,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
分解因式:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法:
提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。
分式:
①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母,那么这个就是分式,对于任何一个分式,分母不为0。
②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式,分式的值不变。
分式的运算:
乘法:
把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。
除法:
除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法:
1分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。
2异分母的分式先通分,化为同分母的分式,再加减。
(2)(整式、分式、根式)方程与方程组
(2)方程/方程(组)
a.一元一次方程:
①一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式,所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤:
去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。
b.二元一次方程:
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组:
定义:
两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解。
二元一次方程组的解法:
代入消元法/加减消元法。
c.一元二次方程:
定义:
只有一个未知数,并且未知数的项的最高系数为2的方程;
1)一元二次方程的二次函数的关系
大家已经学过二次函数(即抛物线)了,对他也有很深的了解,好像解法,在图象中表示等等,其实一元二次方程也可以用二次函数来表示,其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况,就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来,一元二次方程就是二次函数中,图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了
2)一元二次方程的解法
大家知道,二次函数有顶点式(-b/2a,(4ac-b2)/4a),这大家要记住,很重要,因为在上面已经说过了,一元二次方程也是二次函数的一部分,所以他也有自己的一个解法,利用他可以求出所有的一元二次方程的解
(1)配方法
利用配方,使方程变为完全平方公式,在用直接开平方法去求出解
配方法的步骤:
先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式
(2)分解因式法
提取公因式,套用公式法,和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样,利用这点,把方程化为几个乘积的形式去解.
分解因式法的步骤:
把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式
(3)公式法
这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了,就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c
方程的根
;
3)韦达定理
利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,
二根之和,二根之积
利用韦达定理,可以求出一元二次方程中的各系数,在题目中很常用
常用等式:
4)一元二次方程根的情况
利用根的判别式去了解,根的判别式可在书面上可以写为“△”,读作“diaota”,而△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:
I当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;
II当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;
III当△<0时,一元二次方程没有实数根(在这里,学到高中就会知道,这里有2个虚数根)
分式方程:
1母中含有未知数的方程叫分式方程。
2将原方程化为整式方程求解
3方程的分母为0的解称为原方程的增根。
3不等式与不等式组
(1)不等式:
①符号〉,=,〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数,不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。
不等式的解集:
①使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式:
左右两边都是整式,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
(2)一元一次不等式组:
①于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向:
在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中,如果加上同一个数(或加上一个正数),不等式符号不改向;例如:
A>B,A+C>B+C
在不等式中,如果减去同一个数(或加上一个负数),不等式符号不改向;例如:
A>B,A-C>B-C
在不等式中,如果乘以同一个正数,不等号不改向;例如:
A>B,A*C>B*C(C>0)
在不等式中,如果乘以同一个负数,不等号改向;例如:
A>B,A*C
如果不等式乘以0,那么不等号改为等号
所以在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立;
(4)不等式的性质
1a>b→a+c>b+c
④a>b,b>c→a>c
2a>b→ac>bc(c>0)
⑤a>b,c>d→a+c>b+d.
3a>b→ac 4方程、方程组的应用题 (1)概述 1列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。 其具体步骤是: ⑴审题。 理解题意。 弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设元(未知数)。 ①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。 一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。 一般地,未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。 2综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。 在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。 因此,列方程是解应用题的关键。 (2)常用的相等关系 1行程问题: a.相遇问题、追及问题、 b.水中航行: ; 2增长率问题: 起始数(1+X)=终止数 3配料问题: 溶质=溶液×浓度;溶液=溶质+溶剂 4工程问题: 工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位“1”)。 5几何问题: 常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等 (3)注意语言与解析式的互化 如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、……又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为: 100a+10b+c,而不是abc。 (4)注意从语言叙述中写出相等关系。 如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。 又如,x与y的差为3,则x-y=3。 (5)注意单位换算 如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。 5函数 (1)一次函数 1定义: y=kx+b(k≠0) 2图象: 直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。 3性质: a.k>0,直线经过一、三象限,y随x的增大而增大。 b.k<0,直线经过二、四象限,y随x的增大而减小。 c.当b>0时,直线必通过一、二象限。 d.当b=0时,直线通过原点。 e.当b<0时,直线必通过三、四象限。 4象的四种情况: (k<0,b<0) (2)正比例函数: ①定义: y=kx(k≠0) ②图象: 直线(过原点) (3)反比例函数 ①定义: (k≠0). ②图象: 双曲线(两支) ③性质: k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限,y的值随x值的增大而减小。 k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限,y的值随x值的增大而增大。 ; ④两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 (4)二次函数. 1定义: ②图象: 抛物线 顶点: 顶点: (h,k) ③性质: ⑴当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 ⑵当a与b同号时(ab>0),对称轴在y轴左边;当a与b异号时(ab<0),对称轴在y轴右边;当b=0时,对称轴在y轴。 (左同右异) ⑶当c>0时,与y轴交于正半轴;当c<0时,与y轴交于负半轴;当c=0时,与y轴交于原点。 ④平行移动的规律: 当h>0时,y=ax向右平行移动h个单位得到y=a(x-h) 当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时,y=ax向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,得到y=a(x-h)+k 当h>0,k<0时,y=ax向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,得到y=a(x-h)+k 当h<0,k>0时,y=ax向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,得到y=a(x-h)+k 当h<0,k<0时,y=ax向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,得到y=a(x-h)^2+k ㈡空间与图形 1.直线、射线、线段、角 (1)直线/线段 ①线段有两个端点。 ②线段向一个方向无限延长就形成了射线。 射线只有一个端点。 ③线段的两端无限延长就形成了直线。 直线没有端点。 ④经过两点有且只有一条直线。 比较长短: ①两点之间的所有连线中,线段最短。 ②点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。 平行: ①一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 ②经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 ③如果两条直线都与第3条直线平行,那么这两条直线互相平行。 垂直: ①果两条直线相交成直角,那么这两条直线互相垂直。 ②相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 ③平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂直平分线: 垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。 垂直平分线垂直平分的一定是线段,不能是射线或直线,这根据射线和直线可以无限延长有关,再看后面的,垂直平分线是一条直线,所以在画垂直平分线的时候,确定了2点后(关于画法,后面会讲)一定要把线段穿出2点。 垂直平分线定理: 性质定理: 在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等; 判定定理: 到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上 定理 垂直平分线 ①线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 梯形中位线 ①梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。 平行线 ①内错角相等。 ②同旁内角互补。 ③同位角相等。 垂线段 ①点到直线的距离,垂线段最短。 角平分线 ①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2)角,及角的度量与表示: ①角由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点。 ②度的1/60是一分,一分的1/60是一秒。 角的比较: ①也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。 ②条射线绕着他的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角。 始边继续旋转,当他又和始边重合时,所成的角叫做周角。 ③从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。 角平分线: 把一个角平分的射线叫该角的角平分线。 定义中有几个要点要注意一下的,就是角的角平分线是一条射线,不是线段也不是直线,很多时,在题目中会出现直线,这是角平分线的对称轴才会用直线的,这也涉及到轨迹的问题,一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点 性质定理: 角平分线上的点到该角两边的距离相等 判定定理: 到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上 特殊的角: 1对顶角 2余角 3补角 2.三角形 ⑴面积公式: 底乘以高除以2;面积公式求对应边的高 ⑵“四心”: ①垂心: 三角形三条高的交点。 ②内心: 三角形三条内角平分线的交点,即内接圆的圆心。 ③重心: 三角形三条中线的交点。 ④外心: 三角形三条边的垂直平分线的交点,即外接圆的圆心。 ⑶三角形边与边的关系: 两边之和大于第三边。 (较短的两条边) 两边之差小于第三边。 (最长的边和最小的边) ⑷三角形内角和、外角与内角的关系: 1三角形内角和为180度。 2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。 3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 ⑸证明(判定及性质) 判定及性质 直角 三角 形 ①在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ②如果三角形一边上的中线等于这条斜边的一半,那么这条边所对的角是直角。 ①直角三角形两个锐角互余。 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ③在直角三角形中,两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2。 等腰 三角形 ①等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角) ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 (三线合一) 等边三角形 ①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 相 似 三角形 ①相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ②相似三角形周长的比等于相似比。 ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ④相似三角形的对应角相等,对应边成比例。 全 等 三 角 形 ①三边对应相等的两个三角形全等。 (SSS) ②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 (SAS) ③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 (ASA) ④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (AAS) ⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。 (HL) ⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等。 三角形 中位线 ①连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ②三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半。 (6)三角函数 ⑴锐角三角函数: 正弦: sinA=余弦: cosA=正切: tanA= ⑵互余两角的三角函数: ①sinA=cos(90°-A)cosA=sin(90°-A) ②tanA=cot(90°-A)cotA=tan(90°-A) ⑶同一锐角的三角函数关系: sin2A+cos2A=1tanA·cotA=1tanA= ⑷特殊角的三角函数值: 三角函数 sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° ⑸对实际问题的处理: ①坡度: SinA的值越大,梯子越陡;CosA的值越小,梯子越陡。 ②方位角(上北下南左西右东) ③俯、仰角: 3.四边形 (1)面积公式: ①梯形,上底加下底的和乘以高除以2 ②菱形,对角线乘以对角线除以2 ③平行四边行,底乘以高 (2)⑵判定和性质 判定 性质 平 行 四 边 形 ①两组对边分别平行。 ②两组对边分别相等。 ③两组对角分别相等。 ④两条对角线互相平分。 ⑤一组对边平行且相等。 ⑥一组对角相等且一组对边平行。 ①对角相等。 ②两组对边平行且相等。 ③两组对角线互相平分。 菱 形 ①有一组邻边相等的平行四边形。 ②两条对角线互相垂直的平行四边形。 ③四条边都相等的四边形。 ①具有平行四边形的一切性质。 ②四条边都相等。 ③对角线互相垂直,每条对角线平分一组对角。 ④既是轴对称图形,也是中心对称图形。 矩 形 ①有一个角是直角的平行四边形。 ②对角线相等的平行四边形。 ③有三个角是直角的四边形。 ①具有平行四边形的一切性质。 ②四个角都是直角。 ③对角线相等。 ④既是轴对称图形,也是轴对称图形。 正方形 ①有一组邻边相等的矩形。 ②有一个角是直角的菱形。 ③有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 ④对角线互相垂直平分且相等的四边形。 ①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。 ②对角线互相垂直、平分且相等。 ③既是轴对称图形,也是中心对称图形。 等腰 梯形 ①一组对边平行且另一组对边相等。 ②同一底上的两个底角相等的梯形。 ①两条腰相等。 ②对角线相等。 (3)⑶顺次连结各边中点得到的图形: ①顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 ②顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ③顺次连结对角线垂直相等的四边形各边中点得正方形。 ④顺次连结对四边形各边中点得平行四边形。 4.圆 (1)垂径定理: 过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的优劣弧。 (知二推三) (2)与圆有关的角: 圆心角 圆周角 定义 顶点在圆心的角 顶点在圆周上的角 性质 圆心角的度数等于它的弧度。 直径所对的圆周角为90度。 在同圆或等圆中,相等的圆心(周)角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距也相等。 关系 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (3)圆和圆的位置关系: (圆心距d,半径分别为Rr且R>r) 外离: d>R+r外切: d=R+r相交: R-r d=R-r内含: d (4)直线和圆的位置关系: (半径为r,圆心O到直线l的距离为d) 相离: d>R相切: d=R相交: d (5)点和圆的位置关系: (半径为r,某一点到圆心O的距离为d) 点在圆外: d>r点在圆内: d d=R (6)计算公式: ①圆周长公式: ②圆面积公式: ③扇形面积公式: ④弧长公式: (7)概念: 弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 5.尺规作图要求 ⑴作一条线段等于已知线段 1½等分 21/3等分、任意等分 ⑵作一个角等于已知角 ⑶作角的平分线 1½角平分线 21/3角平分线 ⑷作线段的垂直平分线 ⑸作三角形 ①已知三边作三角形 ②已知两边及其夹角作三角形 ③已知两角及其夹边作三角形 ④已知底边及底边上的高作等腰三角形 ⑹过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆 6.视图与投影 ⑴直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图 ⑵轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆 ⑶中心对称图形: 矩形、圆、 ⑷图形的平移和旋转 ⑸图形的相似: ㈢概率与统计 1.统计 ⑴重要概念 ①总体: 考察对象的全体。 ②个体: 总体中每一个考察对象。 ③样本: 从总体中抽出的一部分个体。 ④样本容量: 样本中个体的数目。 ⑤众数: 一组数据中,出现次数最多的数据。 ⑥中位数: 将一组数据按大小依次排列,处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数)。 ⑵扇形统计图、条形统计图、折线统计图 ⑶计算方法 ①平均数: 平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。 通常用样本平均数去估计总体平均数,样本容量越大,估计越准确。 ②加权平均数: ③样本方差: ⑴ 样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数,当样本容量较大时,样本方差非常接近总体方差,通常用样本方差去估计总体方差。 ④样本标准差: ⑤极差: 最大的数减去最小的数 2.概率 ①列表法、画树状图法 第一章实数 ★重点★实数的有关概念及性质,实数的运算 ☆内容提要☆ 一、重要概念 1.数的分类及概念 数系表: 说明: “分类”的原则: 1)相称(不重、不漏) 2)有标准 2.非负数: 正实数与零的统称。 (表为: x≥0)
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