中考第5讲整式的运算.docx
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中考第5讲整式的运算.docx
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中考第5讲整式的运算
中考第三讲:
整式的运算
考点一 整式的运算:
1、整式的加减:
①去括号法则:
a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.
②添括号法则:
a+b+c=a+(),a-b-c=a-()
同类项与合并同类项
1.所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项.
2.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数
,字母和字母的指数不变.
③整式加减的步骤是先,再。
【名师提醒:
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号,特别强调:
括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】
2整式的乘法
①单项式与单项式相乘:
把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
②单项式与多项式相乘:
m(a+b+c)=ma+mb+mC.
③多项式与多项式相乘:
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nB.
3整式的除法
①单项式除以单项式:
把系数、同底数幂相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
②多项式除以单项式:
(a+b)÷m=a÷m+b÷m.
4.乘法公式
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2;
(2)完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.
【名师提醒:
1、在多项式的乘法中有三点注意:
一是避免漏乘项,二是要避免符号的错误,三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用,要注意各自的形式特点,灵活进行运用。
】
5、幂的运算性质:
1、同底数幂的乘法:
不变相加,即:
aman=(a>0,m、n为整数)
2、幂的乘方:
不变相乘,即:
(am)n=(a>0,m、n为整数)
3、积的乘方:
等于积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂。
即:
(ab)n=(a>0,b>0,n为整数)。
4、同底数幂的除法:
不变相减,即:
am÷an=(a>0,m、n为整数)
【名师提醒:
运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误,(-a)n=(n为奇数),(-a)n=(n为偶数),二是应知道所有的性质都可以逆用,如:
已知3m=4,2n=3,则9m8n=。
】
考点二 整数指数幂的运算
正整数指数幂的运算法则:
am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn,
=am-n(m,n是正整数).
【重点考点例析】
考点一:
代数式的相关概念。
例1(2012•珠海)计算-2a2+a2的结果为( )
A.-3aB.-aC.-3a2D.-a2
考点:
合并同类项.专题:
推理填空题.分析:
根据合并同类项法则(把同类项的系数相加作为结果的系数,字母和字母的指数不变)相加即可得出答案.解答:
解:
-2a2+a2
=-a2,
故选D.点评:
本题考查了合并同类项法则的应用,注意:
系数是-2+1=-1,题目比较好,难度也不大,但是一道比较容易出错的题目.
对应训练
1.(2012•莆田)如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项,那么ab=.
考点:
同类项.专题:
计算题.分析:
根据同类项的定义可知,相同字母的次数相同,据此列出方程即可求出a、b的值.解答:
解:
∵单项式xa+1y3与2x3yb是同类项,
∴a+1=3b=3,
解得a=2b=3,
则ab=23=8.
故答案为:
8.点评:
本题考查了同类项的定义,要注意定义中的两个“相同”:
(1)所含字母相同;
(2)相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点.解题时注意运用二元一次方程组求字母的值.
2.(2012•桂林)计算2xy2+3xy2的结果是( )
A.5xy2B.xy2C.2x2y4D.x2y4
考点:
合并同类项.专题:
计算题.分析:
根据合并同类项的法则:
把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变,进行运算即可.解答:
解:
2xy2+3xy2=5xy2.
故选A.点评:
此题考查了合并同类项的知识,属于基础题,注意掌握合并同类项的法则是关键.
考点二:
整式的运算。
例2(2012•宿迁)求代数式(a+2b)(a-2b)+(a+2b)2-4ab的值,其中a=1,b=
.
考点:
整式的混合运算—化简求值.
专题:
计算题.
分析:
先用平方差公式、完全平方公式去括号,再合并同类项,然后把a、b的值代入计算即可.
解答:
解:
原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2,
当a=1,b=
时,
原式=2×12=2.
点评:
本题考查了整式的化简求值,解题的关键是去括号、合并同类项,并且注意公式的使用.
对应训练
2.(2012•贵阳)先化简,再求值:
2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2,其中a=-3,b=
.
考点:
整式的混合运算—化简求值.
专题:
探究型.
分析:
先根据整式混合运算的法则把原式进行化简,再把a=-3,b=
代入进行计算即可.
解答:
解:
原式=2b2+a2-b2-(a2+b2-2ab)
=2b2+a2-b2-a2-b2+2ab
=2ab,
当a=-3,b=
时,原式=2×(-3)×
=-3.
点评:
本题考查的是整式的化简求出,熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键.
考点三:
幂的运算。
例3(2012•南平)下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5B.a5÷a4=aC.a•a4=a4D.(ab2)3=ab6
考点:
同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
分析:
利用幂的有关运算性质及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案.
解答:
解:
A、a3与a2不是同类项,不能合并,故选项错误;
B、a5÷a4=a5-4=a,故选项正确;
C、a•a4=a4+1=a5,故选项错误;
D、(ab2)3=a3b6,故选项错误.
故选B.
点评:
本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则,属于基本运算,应重点掌握.
对应训练
3.(2012•衢州)下列计算正确的是( )
A.2a2+a2=3a4B.a6÷a2=a3C.a6•a2=a12D.(-a6)2=a12
考点:
同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
专题:
计算题.
分析:
分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可.
解答:
解:
A、2a2+a2=3a2,故本选项错误;
B、a6÷a2=a4,故本选项错误;
C、a6•a2=a8,故本选项错误;
D、符合幂的乘方与积的乘方法则,故本选项正确.
故选D.
点评:
本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则,熟知以上知识是解答此题的关键.
考点四:
完全平方公式与平方差公式
例4(2012•衡阳)下列运算正确的是( )
A.3a+2a=5a2B.(2a)3=6a3
C.(x+1)2=x2+1D.x2-4=(x+2)(x-2)
考点:
完全平方公式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;平方差公式.
专题:
计算题.
分析:
根据合并同类项、幂的乘方及完全平方公式的知识,分别运算各选项,从而可得出答案.
解答:
解:
A、3a+2a=5a,故本选项错误;
B、(2a)3=8a3,故本选项错误;
C、(x+1)2=x2+2x+1,故本选项错误;
D、x2-4=(x+2)(x-2),故本选项正确;
故选D.
点评:
此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式,涉及的知识点较多,难度一般,注意掌握各个运算的法则是关键.
例5(2012•遵义)如图,从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a>1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是( )
A.2cm2B.2acm2C.4acm2D.(a2-1)cm2
考点:
完全平方公式的几何背景;平方差公式的几何背景.
专题:
计算题.
分析:
根据题意得出矩形的面积是(a+1)2-(a-1)2,求出即可.
解答:
解:
矩形的面积是(a+1)2-(a-1)2,
=a2+2a+1-(a2-2a+1),
=4a(cm2),
故选C.
点评:
本题考查了完全平方公式的应用,主要考查学生的观察图形的能力和计算能力,题型较好,难度不大.
对应训练
4.(2012•哈尔滨)下列运算中,正确的是( )
A.a3•a4=a12B.(a3)4=a12
C.a+a4=a5D.(a+b)(a-b)=a2+b2
考点:
平方差公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
专题:
探究型.
分析:
分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可.
解答:
解:
A、a3•a4=a7,故本选项错误;
B、(a3)4=a12,故本选项正确;
C、a与a4不是同类项,不能合并,故本选项错误;
D、(a+b)(a-b)=a2-b2,故本选项错误.
故选B.
点评:
本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式,熟知以上知识是解答此题的关键.
5.
10.(2012•绵阳)图
(1)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( )
A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2D.m2-n2
考点:
完全平方公式的几何背景.
分析:
先求出正方形的边长,继而得出面积,然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案.
解答:
解:
由题意可得,正方形的边长为(m+n),
故正方形的面积为(m+n)2,
又∵原矩形的面积为4mn,
∴中间空的部分的面积=(m+n)2-4mn=(m-n)2.
故选C.
点评:
此题考查了完全平方公式的几何背景,求出正方形的边长是解答本题的关键,难度一般.
考点四:
规律探索。
例6(2012•株洲)一组数据为:
x,-2x2,4x3,-8x4,…观察其规律,推断第n个数据应为.
考点:
单项式.专题:
规律型.
分析:
通过观察题意可得:
n为奇数时,单项式为正数.x的指数为n时,2的指数为(n-1).由此可解出本题.
解答:
解:
依题意得:
(1)n为奇数,单项式为:
2n-1xn;
(2)n为偶数时,单项式为:
-2n-1xn.
综合
(1)、
(2),本数列的通式为:
(-2)n-1•xn.
故答案为:
(-2)n-1xn.
点评:
本题考查了单项式,确定单项式的系数和次数时,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,是找准单项式的系数和次数的关键.分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.
对应训练
6.(2012•盐城)已知整数a1,a2,a3,a4,…满足下列条件:
a1=0,a2=-|a1+1|,a3=-|a2+2|,a4=-|a3+3|,…,依次类推,则a2012的值为( )
A.-1005B.-1006C.-1007D.-2012
考点:
规律型:
数字的变化类.专题:
规律型.分析:
根据条件求出前几个数的值,再分n是奇数时,结果等于
,n是偶数时,结果等于
,然后把n的值代入进行计算即可得解.
解答:
解:
a1=0,
a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1,
a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1,
a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2,
a5=-|a4+3|=-|-2+4|=-2,
…,
所以,n是奇数时,an=
,n是偶数时,an=
,
a2012=
=-1006.
故选B.
点评:
本题是对数字变化规律的考查,根据所求出的数,观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键.
1.单项式-
m2n的系数是__________,次数是__________.
2.下列运算中,结果正确的是( ).
A.a·a=a2B.a2+a2=a4C.(a3)2=a5D.a3÷a3=a
3.下列各式中,与x2y是同类项的是( ).
A.xy2B.2xyC.-x2yD.3x2y2
4.如果a-3b=-3,那么代数式5-a+3b的值是( ).
A.0B.2C.5D.8
5.下列运算正确的是( ).
A.x3·x4=x12B.(-6x6)÷(-2x2)=3x3C.2a-3a=-aD.(x-2)2=x2-4
6.
(1)化简:
(a+2b)(a-2b)-
b(a-8b);
(2)先化简,再求值:
(a+b)2+(a-b)(2a+b)-3a2,其中a=-2-
,b=
-2;
一、整数指数幂的运算
【例1】下列运算正确的是( ).
A.3ab-2ab=1B.x4·x2=x6C.(x2)3=x5D.3x2÷x=2x
解析:
A项是整式的加减运算,3ab-2ab=ab,A项错;B项是同底数幂相乘,x4·x2=x4+2=x6,B项正确;C项是幂的乘方,(x2)3=x2×3=x6,C项错;D项是单项式相除,3x2÷x=(3÷1)x2-1=3x,D项错.
答案:
B
幂的运算问题除了注意底数不变外,还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方,以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘.
二、同类项与合并同类项
【例2】单项式-
xa+b·ya-1与3x2y是同类项,则a-b的值为( ).
A.2B.0C.-2D.1
解析:
本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法,由-
xa+b·ya-1与3x2y是同类项,
得
得
∴a-b=2-0=2.
答案:
A
1.同类项必须具备以下两个条件:
(1)所含字母相同;
(2)相同字母的指数分别相同.二者必须同时具备,缺一不可;
2.同类项与项的系数无关,与项中字母的排列顺序无关,如xy2与-y2x也是同类项;
3.几个常数项都是同类项,如-1,5,
等都是同类项.
三、整式的运算
【例3】先化简,再求值:
(a+b)(a-b)+(a+b)2-2a2,其中a=3,b=-
.
解:
(a+b)
(a-b)+(a+b)2-2a2=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2=2ab,当a=3
,b=-
时,2ab=2×3×
=-2.
整式的乘
法法则和除法法则是整式运算的依据,必须在理解的基础上加强记忆,并在运算时灵活运用法则进行计算.使用乘法公式时,要认清公式中a,b所表示的两个数及公式的结构特征,不要犯类似下面的错误:
(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2.
1.(2012江苏南京)计算(a2)3÷(a2)2的结果是( ).
A.aB.a2C.a3D.a4
2.(2012福建福州)下列计算正确的是( ).
A.a+a=2aB.b3·b3=2b3C.a3÷a=a3D.(a5)2=a7
3.(2011山东枣庄)如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠,无缝隙),
若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是( ).
A.m+3B.m+6C.2m+3D.2m+6
1.下列运算中,正确的是( ).
A.4m+n=5mnB.-(m-n)=m+nC.(m2)3=m6D.m2÷m2=m
2.把代数式mx2-my2分解因式,下列结果正确的是( ).
A.m(x+y)2B.m(x-y)2C.m(x+2y)2D.m(x+y)(x-y)
3.已知代数式3x2-4x+6的值为9,则x2-
x+6的值为( ).
A.7B.18C.12D.9
4.如图所示,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,验证了公式( ).
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.(a±b)2=a2±2ab+b2
5.若3xm+5y2与x3yn的和是单项式,则nm=__________.
6.若m2-n2=6,且m-n=3,则m+n=__________.
7.若2x=3,4y=5,则2x-2y的值为__________.
8.给出3个整式:
x2,2x+1,x2-2x.
(1)从上面3个整式中,选择你喜欢的两个整式进行加法运算,若结果能因式分解,请将其因式分解;
(2)从上面3个整式中,任意选择两个整式进行加法运算,其结果能因式分解的概率是多少?
9.观察下列各式
(x-1)(x+1)=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3-1;
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;
(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1;
……
(1)试求26+25+24+23+22+2+1的值;
(2)判断22009+22008+22007+22006+…+2+1的值的末位数
第三部分:
课后巩固【聚焦中考】
1.(2012•济宁)下列运算正确的是( )
A.-2(3x-1)=-6x-1B.-2(3x-1)=-6x+1
C.-2(3x-1)=-6x-2D.-2(3x-1)=-6x+2
2.(2012•济南)化简5(2x-3)+4(3-2x)结果为( )
A.2x-3B.2x+9C.8x-3D.18x-3
3.(2012•威海)下列运算正确的是( )
A.a3•a2=a6B.a5+a5=a10C.a÷a-2=a3D.(-3a)2=-9a2
4.(2012•聊城)下列计算正确的是( )
A.x2+x3=x5B.x2•x3=x6C.(x2)3=x5D.x5÷x3=x2
5.(2012•临沂)下列计算正确的是( )
A.2a2+4a2=6a4B.(a+1)2=a2+1
C.(a2)3=a5D.x7÷x5=x2
6.(2012•东营)若3x=4,9y=7,则3x-2y的值为( )
A.
B.
C.-3D.
7.(2012•滨州)求1+2+22+23+…+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22012,则2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S-S=22013-1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012的值为( )
A.52012-1B.52013-1C.
D.
8.(2012•德州)化简:
6a6÷3a3=2a3
.
9.(2012•滨州)根据你学习的数学知识,写出一个运算结果为a6的算式a4•a2=a6(答案不唯一)
.
10.(2012•济宁)某种苹果的售价是每千克x元,用面值为100元的人民币购买了5千克,应找回元.
12.(2012•菏泽)一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和.例如:
23,33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和,即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;…;若63也按照此规律来进行“分裂”,
则63“分裂”出的奇数中,最大的奇数是.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2012•南昌)在下列表述中,不能表示代数式“4a”的意义的是( )
A.4的a倍B.a的4倍C.4个a相加D.4个a相乘
2.(2012•宜昌)根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》,教育经费投入应占当年GDP的4%.若设2012年GDP的总值为n亿元,则2012年教育经费投入可表示为( )亿元.
A.4%nB.(1+4%)nC.(1-4%)nD.4%+n
3.(2012•安徽)某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是( )
A.(a-10%)(a+15%)万元B.a(1-10%)(1+15%)万元
C.(a-10%+15%)万元D.a(1-10%+15%)万元
4.(2012•凉山州)若x是2的相反数,|y|=3,则x-y的值是( )
A.-5B.1C.-1或5D.1或-5
5.(2012•广州)下面的计算正确的是( )
A.6a-5a=1B.a+2a2=3a3C.-(a-b)=-a+bD.2(a+b)=2a+b
6.(2012•河北)如图,两个正方形的面积分别为16,9,两阴影部分的面积分别为a,b(a>b),则(a-b)等于( )
A.7B.6C.5D.4
7.(2012•湛江)下列运算中,正确的是( )
A.3a2-a2=2B.(a2)3=a5C.a3•a6=a9D.(2a2)2=2a4
9.(2012•鄂州)下列运算正确的是( )
A.x3+x2=2x6B.3x3÷x=2x2C.x4•x2=x8D.(x3)2=x6
10.(2012•苏州)若3×9m×27m=311,则m的值为( )
A.2B.3C.4D.5
11.(2012•镇江)下列运算正确的是( )
A.x2•x4=x8B.3x+2y=6xyC.(-x3)2=x6D.y3÷y3=y
12.(2012•柳州)如图,给出了正方形ABCD的面积的四个表达式,其中错误的是( )
A.(x+a)(x+a)B.x2+a2+2axC.(x-a)(x-a)D.(x+a)a+(x+a)x
13.(2012•杭州)下列计算正确的是( )
A.(-p2q)3=-p5q3B.(12a2b3c)÷(6ab2)=2ab
C.3m2÷(3m-1)=m-3m2D.(x2-4x)x-1=x-4
14.(2012•白银)如图,边长为(m+3)的正方形纸片,剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是( )
A.m+3B.m+6C.2m+3D.2m+6
15.(2012•武汉)一列数a1,a2,a3,…,其中a1=
,an=
(n为不小于2的整数),则a4的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
16.(2012•南通)单项式3x2y的系数为.
19.(2012•盐城)若x=-1,则代数式x3-x2+4的值为.
20.(2012•铜仁地区)照如图所示的操作步骤,若输入x的值为5,则输出的值为.
21.(2012•泰州)若2a-b=5,则多项式6a-3b的值是.
22.(2012•河北)已知y=x-1,则(x-y)2+(y-x)+1的值为.
23.(2012•黔东南州)二次三项式x2-kx+9是一个完全平方式,则k的值是±6
.
24.(2012•遵义)已知x+y=-5,xy=6,则x2+y2=13
.
25.(2012•镇江)化简:
(m+1)2-m2=2m+1
.
26.(2012•扬州)大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和,如23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…若m3分裂后,其中有一个奇数是2013,则m的值是( )
A.43B.44C.45D.46
27.(2012•遵义)猜数字游戏中,小明写出如下一组数:
…,小亮猜想出第六个数字是
,根据此规律,第n个
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