信号与线性系统11.docx
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信号与线性系统11
信号与线性系统-11
(总分:
100.00,做题时间:
90分钟)
一、计算题(总题数:
20,分数:
100.00)
求下列序列的离散傅里叶变换。
(分数:
15.00)
(1).f(k)={5,2,4,9},N=4(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由DFT公式
,这里
,可得
故F(m)={20,1+j7,-2,1-j7}
(2).f(k)={16,17,15,20},N=4(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由DFT公式
,这里
,可得
故F(m)={68,1+j3,-6,1-j3}
(3).f(k)={1,1,1,1,1,1,1,1},N=8(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题利用矩阵计算。
N=8,则
,用矩阵形式表示DFT为
故F(m)={8,0,0,0,0,0,0,0}
(4).f(k)={1,1,1,1,0,0,0,0},N=8(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题利用矩阵计算,其中方阵W8与(3)中的方阵W8相同。
故
(5).f(k)=cos(2πk/8),k=0,1,2,…,7,N=8(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由f(k)=cos(2πk/8)知
此题利用矩阵计算DFT,其中方阵W8与(3)、(4)中同。
故F(m)={0,4,0,0,0,0,0,4}
(6).f(k)=cos[2π(k+0.5)/8],k=0,1,2,…,7,N=8(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由f(k)=cos[2π(k+0.5)/8]知,
用矩阵计算DFT:
故
求下列序列的N点离散傅里叶变换。
(分数:
10.00)
(1).f(k)=δ(k)(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解
(2).f(k)=δ(k-k0)(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解
(3).f(k)=ak(k=0,1,2,…,N-1)(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解
(4).f(k)=1(k=0,1,2,…,N0,其中0<N0<N)(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解
当m=0时,
当m=1,2,…,N-1时,
求下列序列的IDFT。
(分数:
10.00)
(1).F(m)={18,-2+j2,-2,-2-j2},N=4(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由
得
故f(k)={3,4,5,6}
(2).F(m)={150,-30+j60,-50,-30-j60},N=4(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由
得
故f(k)={10,20,40,80}
(3).F(m)={152,-8+j40,-8,-8-j40},N=4(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由
得
故f(k)={32,20,40,60}
(4).F(m)={32,20,40,60},N=4(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由
得
故f(k)={38,-2-j10,-2,-2+j10}
已知序列的DFT结果如下,求其原序列。
(分数:
5.00)
(1).F(m)=δ(m),m=0,1,2,…,N-1(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由
得
(2).F(m)=δ(m-N0)+δ(N-m-N0),m=0,1,2,…,N-1,0<N0<N(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由IDFT公式得
1.求有限长离散余弦序列
的N点离散傅里叶变换。
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解先将f(k)表示为
再由DFT公式得
计算下列序列之间的4点循环卷积。
(分数:
10.00)
(1).f1(k)={4,2,10,5},f2(k)={3,7,9,11}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解以下用列表的方式给出求解循环卷积的过程,详见表(a)。
表(a)循环卷积计算过程
操作
循环卷积
相乘叠加结果
f1(k)
{4,2,10,5}
f2(k)
{3,7,9,11}
f2(k)反褶
{3,11,9,7}
f(0)=159
f2(k)右移1
{7,3,11,9}
f
(1)=189
f2(k)右移2
{9,7,3,11}
f
(2)=135
f2(k)右移3
{11,9,7,3}
f(3)=147
即
(2).f1(k){1,2,3,4},f2(k)={1,1,1,1}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解以下用列表的方式给出求解循环卷积的过程。
详见表(b)。
表(b)循环卷积计算过程
操作
循环卷积
相乘叠加结果
f1(k)
{l,2,3,4}
f2(k)
{1,1,1,1}
f2(k)反褶
{1,1,1,1}
f(0)=10
f2(k)右移1
{1,1,1,1}
f
(1)=10
f2(k)右移2
{1,1,1,1}
f
(2)=10
f2(k)右移3
{1,1,1,1}
f(3)=10
即
(3).f1(k){1,1,1,1},f2(k)={1,1,1}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题采用竖式乘法运算来计算循环卷积。
将以上数据从左至右每4个构成一组,于是得到两个数组{1,2,3,3}和{2,1,0,0}。
然后将这两个数组相加:
即
(4).f1(k){1,2,3,4},f2(k)={0,1,0}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题仍采用竖式乘法运算来计算循环卷积。
将以上数据从左至右每4个构成一组,得到两个数组{0,1,2,3}和{4,0,0,0}。
然后将这两个数组相加:
即
计算题中各对序列间的6点圆周卷积和线性卷积,并比较其结果。
(分数:
10.00)
(1).f1(k)={4,2,10,5},f2(k)={3,7,9,11}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题用竖式乘法计算6点圆周卷积和线性卷积。
首先计算两序列乘积:
对于线性卷积,结果就已出来了;对于圆周卷积,还需要将以上数据从左至右分成两组,每6个一组,这两个数组分别为{12,34,80,147,147,155}和{55,0,0,0,0,0},将这两个数组相加:
即6点圆周卷积结果
线性卷积结果f1(k)*f2(k)={12,34,80,147,147,155,55}
对比二者可发现6点圆周卷积的结果与线性卷积的结果不同,因为线性卷积的结果长度为7,而我们计算的圆周卷积长度为6,小于7,这意味着折叠时有一个重叠,所以二者不同。
(2).f1(k){1,2,3,4},f2(k)={1,1,1,1}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题用竖式乘法来计算。
对于线性卷积,结果就已出来了;对于圆周卷积,还需要将以上数据从左至右分成两组,每6个一组,这两个数组分别为{1,3,6,10,9,7}和{4,0,0,0,0,0},将这两个数组相加:
即6点圆周卷积结果
线性卷积结果f1(k)*f2(k)={1,3,6,10,9,7,4}
对比二者可发现结果不同,因为我们计算的6点圆周卷积,比线性卷积的结果长度短,这意味着对于圆周卷积来说,需将线性卷积的结果序列先按长度6折叠,再相加,所以二者不同。
(3).f1(k){1,1,1,1},f2(k)={1,1,1}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题采用列表的方式给出求解6点圆周卷积和线性卷积的过程。
详见表(a)。
表(a)线性卷积及圆周卷积计算过程
操作
线性卷积
相乘叠加
结果
6点圆周卷积
相乘叠加
结果
f1(k)
{1,1,1,1}
{1,1,1,1,0,0}
f2(k)
{1,1,1}
{1,1,1,0,0,0}
f2(k)反褶
{1,1,1}
f3(0)=1
{1,0,0,0,1,1}
f4(0)=1
f2(k)右移1
{1,1,1}
f3
(1)=2
{1,1,0,0,0,1}
f4
(1)=2
f2(k)右移2
{1,1,1}
f3
(2)=3
{1,1,1,0,0,0}
f4
(2)=3
f2(k)右移3
{1,1,1}
f3(3)=3
{0,1,1,1,0,0}
f4(3)=3
f2(k)右移4
{1,1,1}
f3(4)=2
{0,0,1,1,1,0}
f4(4)=2
f2(k)右移5
{1,1,1}
f3(5)=1
{0,0,0,1,1,1}
f4(5)=1
由上表可见,6点圆周卷积的结果为{1,2,3,3,2,1},线性卷积的结果也为{1,2,3,3,2,1},二者相同。
因为线性卷积的结果长度为6,不大于圆周卷积的长度,故二者相同。
(4).f1(k){1,2,3,4},f2(k)={0,1,0}(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题采用列表的方式给出求解6点圆周卷积和线性卷积的过程。
详见表(b)。
表(b)线性卷积及圆周卷积计算过程
操作
线性卷积
相乘叠加
结果
6点圆周卷积
相乘叠加
结果
f1(k)
{1,2,3,4}
{1,2,3,4,0,0}
f2(k)
{0,1,0}
{0,1,0,0,0,0}
f2(k)反褶
{0,1,0}
f3(0)=0
{0,0,0,0,0,1}
f4(0)=0
f2(k)右移1
{0,1,0}
f3
(1)=1
{1,0,0,0,0,0}
f4
(1)=1
f2(k)右移2
{0,1,0}
f3
(2)=2
{0,1,0,0,0,0}
f4
(2)=2
f2(k)右移3
{0,1,0}
f3(3)=3
{0,0,1,0,0,0}
f4(3)=3
f2(k)右移4
{0,1,0}
f3(4)=4
{0,0,0,1,0,0}
f4(4)=4
f2(k)右移5
{0,1,0}
f3(5)=0
{0,0,0,0,1,0}
f4(5)=0
由上表可见,6点圆周卷积的结果为{0,1,2,3,4,0},线性卷积的结果也为{0,1,2,3,4,0},二者相同。
因为线性卷积的结果长度为6,而圆周卷积的长度也为6,只要圆周卷积的长度不小于线性卷积的长度,二者的结果就一定相同。
2.设x(k)为长度为N的有限长序列,其N点DFT为X(m)。
现通过补零将x(k)的长度扩大L倍,成为长度为LN的序列y(k),即
求y(k)的DFT。
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解y(k)的长度为LN,于是由DFT的定义有
考虑到当N≤k<LN时,y(k)=0,且0≤k<N时,y(k)=x(k),故有
对于x(k),由IDFT公式有
将式②代入式①,同时为了与式①中变量m相区别,将式②中变量m换成n,于是得到
交换式③中两个求和的顺序,可得
当m为L的整数倍时,不妨设m=i·L,i=0,1,2,…,N-1,则
易见若i≠n,则
,只有当i=n时,
,即当m为L的倍数时,
综上所述,y(k)的DFT为
3.设x(k)为长度为N的有限长序列,其N点DFT为X(m)。
现通过在x(k)的每两点间补上L-1个零将其扩展为长度等于NL的新的序列y(k),即
求这个新序列的NL点DFT。
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解y(k)的长度为NL,于是由DFT的定义有
对于y(k)来说,当k≠iL(i=0,1,2,…,N-1)时,y(k)=0,所以
当m=0,1,2,…,N-1时,
Y(m)=X(m)
当m>N-1时,不妨设
m=pN+q(p=1,2,…,L-1;q=0,1,2,…,N-1)
则由于
可知此时Y(m)=X(q)=X((m))NGNL(m)
综上所述,y(k)的NL点DFT为
Y(m)=X((m))NGNL(m)(m=0,1,2,…,NL-1)
4.设x(k)为长度为N的有限长序列,其N点DFT为X(m)。
现以N为周期,将其周期延拓成长度等于NL的新的序列,即
求这个新序列的NL点DFT。
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解y(k)的长度为NL,由DFT定义有
由于
,所以上式可表示成为
当m为L的倍数时,
当m不为L的倍数时,
。
而
综上所述,y(k)的NL点DFT为
5.设N点复数序列x(k)的DFT为X(m),证明其共轭序列x*(k)的DFT等于X*(N-m)。
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
证明由DFT的定义,x*(k)的N点DFT为
即x*(k)的DFT等于X*(N-m),命题得证。
6.设复数序列c(k)=x(k)+jy(k),其中x(k)和y(k)是两个实数序列,分别对应于c(k)的实部和虚部。
假设已知c(k)的DFT等于C(m),求x(k)和y(k)的DFT。
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解由题意知
且
于是
考虑到x(k)和y(k)都是实数序列,可得
由式①+式②可得
由式①-式②可得
即x(k)的DFT为
y(k)的DFT为
当m=0时,易知X(0)=Re{C(0)},Y(0)=Im{C(0)}]。
已知序列x(k)的N点DFT为X(m),利用DFT的移频特性求下列序列的DFT。
(分数:
5.00)
(1).
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解
由DFT的移频特性有
(2).
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解
由DFT的移频特性有
7.利用DFT的卷积性质求题中各对序列的4点循环卷积。
(1)f1(k)={4,2,10,5},f2(k)={3,7,9,11}
(2)f1(k){1,2,3,4},f2(k)={1,1,1,1}
(3)f1(k){1,1,1,1},f2(k)={1,1,1}
(4)f1(k){1,2,3,4},f2(k)={0,1,0}
(分数:
2.50)
__________________________________________________________________________________________
正确答案:
()
解析:
解本题中涉及的循环卷积的长度及DFT、FDFT的长度均为4,故只需考虑W4方阵。
以下计算均利用矩阵,W4方阵直接给出其值。
(1)f1(k)={4,2,10,5},f2(k)={3,7,9,11}
先求F1(m)和F2(m)。
即
F1(m)=(21,-6+j3,7,6-j3}
F2(m)={30,-6+j4,-6,-6-j4}
则F(m)=F1(m)·F2(m)={630,24-j42,-42,24+j42}
通过IDFT,可得
即f1(k)与f2(k)的4点循环卷积结果为{159,189,135,147}。
(2)f1
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