中考数学几何综合圆的综合大题压轴题.docx
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中考数学几何综合圆的综合大题压轴题
圆的综合大题
1•如图,OO是厶ABC的外接圆,FH是。
O的切线,切点为F,FH//BC,连
接AF交BC于E,ZABC的平分线BD交AF于D,连接BF.
(1)证明:
AF平分/BAC;
(2)证明:
BF=FD;
(3)若EF=4,DE=3,求AD的长.
H
2.如图,AB是OO的直径,过点B作OO的切线BM,点P在右半圆上移动(点P与点A,B不重合),过点P作PC丄AB,垂足为C;点Q在射线BM上移动(点M在点B的右边),且在移动过程中保持0Q//AP.
(1)若PC,QO的延长线相交于点E,判断是否存在点P,使得点E恰好在OO上?
若存在,求出/APC的大小;若不存在,请说明理由;
(2)连接AQ交PC于点F,设上-一,试问:
k的值是否随点P的移动而变
化?
证明你的结论.
BQ2/
3•已知:
如图1,把矩形纸片ABCD折叠,使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D,C重合),MN为折痕,点M,N分别在边BC,AD上,连接AP,MP,AM,AP与MN相交于点F.OO过点M,C,P.
(1)请你在图1中作出OO(不写作法,保留作图痕迹);
(2)仝与—是否相等?
请你说明理由;
ANAD
(3)随着点P的运动,若OO与AM相切于点M时,OO又与AD相切于点H.设AB为4,请你通过计算,画出这时的图形.(图2,3供参考)
BMCB去/、匸8
\P
1
1JVQ
>A
A*DA
JVD
S3
4.在OO中,弦AB与弦CD相交于点G,0A丄CD于点E,过点B作OO的切线BF交CD的延长线于点F.
(I)如图①,若/F=50°,求/BGF的大小;
(II)如图②,连接BD,AC,若/F=36°,AC//BF,求/BDG的大小.
5.如图,在。
O中,半径0D丄直径AB,CD与。
O相切于点D,连接AC交。
O
于点E,交0D于点G,连接CB并延长交。
于点F,连接AD,EF.
(1)求证:
/ACD=/F;
(2)若tan/F=l
3
①求证:
四边形ABCD是平行四边形;
②连接DE,当O0的半径为3时,求DE的长.
6.如图,O0的直径AB为10cm,弦BC为6cm,D、E分别是/ACB的平分线
与。
O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求AC、AD的长;
(2)试判断直线PC与。
O的位置关系,并说明理由.
7.如图,点A是。
O上一点,0A丄AB,且OA=1,AB=二OB交。
O于点D,作AC丄0B,垂足为M,并交。
0于点C,连接BC.
(1)求证:
BC是。
0的切线;
(2)过点B作BP丄0B,交0A的延长线于点P,连接PD,求sin/BPD的
8.如图,在△ABC中,/ABC=90°,以AB的中点0为圆心,0A为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,0E.
(1)判断DE与。
0的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
BC2=2CD?
0E;
求0E的长.
14
3
9.已知:
如图,OO是厶ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,PA是。
O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交OO于另一点D,连接CD.
(1)求证:
PA//BC;
(2)求OO的半径及CD的长.
10.如图,已知△ABC内接于OO,AD平分/BAC,交OO于点D,过D作OO的切线与AC的延长线交于点E.
(1)求证:
BC/DE;
(2)若AB=3,BD=2,求CE的长;
(3)在题设条件下,为使BDEC是平行四边形,△ABC应满足怎样的条件(不要求证明).
11.如图,AB、BC、CD分别与OO相切于E、F、G,且AB//CD,B0=6,
C0=8.
(1)判断△OBC的形状,并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求O0的半径OF的长.
AE3
gC
12.已知:
以Rt△ABC的直角边AB为直径作O0,与斜边AC交于点D,过点D作。
0的切线交BC边于点E.
(1)如图,求证:
EB=EC=ED;
(2)试问在线段DC上是否存在点F,满足BC2=4DF?
DC?
若存在,作出点
13.|如图,Rt^ABC中,/ACB=90°,以AC为直径的OO与AB边交于点D,过点D作。
O的切线,交BC于点E;
(1)求证:
BE=CE;
(2)若以0、D、E、C为顶点的四边形是正方形,OO的半径为r,求厶ABC的面积;
(3)若EC=4,BD=•:
;,求O0的半径OC的长.
14.已知:
如图,PA、PB是OO的切线;A、B是切点;连接OA、OB、OP,
(1)若/AOP=60°,求/OPB的度数;
(2)过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点,
1若/COP=ZDOP,求证:
AC=BD;
2连接CD,设△PCD的周长为I,若I=2AP,判断直线CD与OO的位置关
系,并说明理由.
15•如图1,已知正方形ABCD的边长为;「心,点M是AD的中点,P是线段MD上的一动点(P不与M,D重合),以AB为直径作。
0,过点P作。
O的切线交BC于点F,切点为E.
(1)除正方形ABCD的四边和O0中的半径外,图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线);
(2)求四边形CDPF的周长;
(3)延长CD,FP相交于点G,如图2所示•是否存在点P,使BF?
FG=CF
16•如图,从。
0外一点A作。
0的切线AB、AC,切点分别为B、C,且。
0直径BD=6,连接CD、A0.
(1)求证:
CD//A0;
(2)设CD=x,A0=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
17.如图1,A为。
O的弦EF上的一点,0B是和这条弦垂直的半径,垂足为H,BA的延长线交O0于点C,过点C作。
0的切线与EF的延长线相交于点D.
(1)求证:
DA=DC;
(2)当DF:
EF=1:
8,且DF=二时,求AB?
AC的值;
(3)将图1中的EF所在直线往上平行移动到O0外,如图2的位置,使EF与0B,延长线垂直,垂足为H,A为EF上异于H的一点,且AH小于。
0的半径,AB的延长线交。
0于C,过C作。
0的切线交EF于D.试猜想DA=DC是否仍然成立?
并证明你的结论.
18.如图,圆0是以AB为直径的厶ABC的外接圆,D是劣弧I':
'的中点,连AD
并延长与过C点的切线交于点P,0D与BC相交于E;
(1)
求证:
0E=」AC;
(3)当AC=6,AB=10时,求切线PC的长.
19.如图,已知AB是。
O的直径,PC切。
O于C,AD丄PD,CM丄AB,垂足分别为D,M.
(1)求证:
CB平分/PCM;
(2)若/CBA=60°,求证:
△ADM为等边三角形;
(3)若P0=5,PC=a,OO的半径为r,且a,r是关于x的方程x2-(2m+1)
x+4m=0的两根,求m的值.
D
c
A
八、
、
tp
p
20.已知:
在Rt△ABC中,/ABC=90°,D是AC的中点,OO经过A、D、
B三点,CB的延长线交OO于点E(如图1).
在满足上述条件的情况下,当/CAB的大小变化时,图形也随着改变(如图2),在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系.
(1)观察上述图形,连接图2中已标明字母的某两点,得到一条新线段与线
段CE相等,请说明理由;
(2)在图2中,过点E作OO的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD,求sin/CAB的值;
21.如图,OA和0B是OO的半径,并且0A丄OB.P是OA上的任意一点,BP的延长线交O0于点Q,点R在0A的延长线上,且RP=RQ.
(1)求证:
RQ是。
0的切线;
(2)求证:
0B2=PB?
PQ+0P2;
22.如图,AB为。
0的直径,C为。
0上一点,连接CB,过C作CD丄AB于点D,过C作/BCE,使/BCE=ZBCD,其中CE交AB的延长线于点E.
(1)求证:
CE是。
0的切线;
(2)如图2,点F在。
0上,且满足/FCE=2/ABC,连接AF并延长交EC的延长线于点G.
i)试探究线段CF与CD之间满足的数量关系;
23.如图1,等腰△ABC中,AC=BC,点0在AB边上,以0为圆心的圆经过
点C,交AB边于点D,EF为。
0的直径,EF丄BC于点G,且D是FE的中
占
八、、・
(1)求证:
AC是。
0的切线;
(2)如图2,延长CB交。
0于点H,连接HD交0E于点P,连接CF,求
证:
CF=D0+0P;
(3)
在
(2)的条件下,连接CD,若tan/HDC=—,CG=4,求0P的长.
24.如图,CD为。
0的直径,直线AB与。
0相切于点D,过C作CA丄CB,分别交直线AB于点A和B,CA交。
0于点E,连接DE,且AE=CD.
(1)如图1,求证:
△AEDCDB;
(2)如图2,连接BE分别交CD和。
0于点F,G,连接CG,DG.
i)试探究线段DG与BF之间满足的等量关系,并说明理由.
ii)若DG=2,求。
0的周长(结果保留n)
K~?
k
E
A.
A
RC
W—/B
圍1
图2
25.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1将三角板的直角顶点放在点P处,三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F,连接EF.
(1)如图,当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合,求此时PC的长;
(2)将三角板从
(1)中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E与点A重合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答:
1/PEF的大小是否发生变化?
请说明理由;
2求从开始到停止,线段EF的中点所经过的路线长.
26•如图,△ABC内接于。
O,AB是。
O的直径,点D是劣弧AC上的一点,连结AD并延长与BC的延长线交于点E,AC、BD相交于点M.
(1)求证:
BC?
CE=AC?
MC;
(2)若点D是劣弧AC的中点,tan/ACD二丄,MD?
BD=10,求。
O的半径.
(3)若CD//AB,过点A作AF//BC,交CD的延长线于点F,求祟-弟的
LU
值.
27.如图,OO是厶ABC的外接圆,AB为直径,过点0作0M//BC,交AC于点M.
(1)求/AMO;
(2)延长0M交O0于点E,过E作O0的切线,交BC延长线于点F,连接FM,并延长FM交AB于点G.
1试判断四边形CFEM的形状,并说明理由;
2若AG=2,CM=3,求四边形CFEM的面积.
28.如图〔,△ABC内接于O0,且AB为O0的直径./ACB的平分线交O0于点D,过点D作DP//BA交CA的延长线于点P;
(1)求证:
PD是O0的切线;
(2)如图2,过点A作AE丄CD于点E,过点B作BF丄CD于点F,试猜想线段AE,EF,BF之间有何数量关系,并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,如图2,若AC=6,tan/CAB二斗,求线段PC的长.
29•如图,PA为。
O的切线,A为切点,直线PO交。
O与点E,F过点A作PO的垂线AB垂足为D,交。
O与点B,延长BO与。
O交与点C,连接AC,BF.
(1)求证:
PB与OO相切;
(2)试探究线段EF,OD,OP之间的数量关系,并加以证明;
30.如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点,连接OB、AB,并延长AB至点D,使
DB=AB,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线OB于点E、F,点E为垂足,连接CF.
(1)当/AOB=30°时,求弧AB的长度;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)
在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB若不存在,请说明理由.
31•如图,AB是。
O的直径,AB=4二点E为线段0B上一点(不与O,B重合),作CE丄0B,交。
0于点C,垂足为点E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,AF丄PC于点F,连接CB.
(1)求证:
CB是/ECP的平分线;
(2)求证:
CF=CE;
n)
32.如图,O0是厶ABC的外接圆,BC是。
0的直径,/ABC=30°,过点B作。
0的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径A0的延长线交于点E,过点A作。
0的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.
(1)
求证:
△ACFDAE;
33.OO是厶ABC的外接圆,AB是直径,过甘的中点p作。
O的直径PG交弦
BC于点D,连接AG、CP、PB.
(1)如图1,若D是线段OP的中点,求/BAC的度数;
(2)如图2,在DG上取一点K,使DK=DP,连接CK,求证:
四边形AGKC是平行四边形;
(3)如图3,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,连接PH,求证:
PH丄AB.
34.如图1,点O和矩形CDEF的边CD都在直线I上,以点O为圆心,以24为半径作半圆,分别交直线I于A,B两点.已知:
CD=18,CF=24,矩形
自右向左在直线I上平移,当点D到达点A时,矩形停止运动.在平移过程
(3)若线段PD的长为20,直接写出此时OD的值.
35•图1和图2中,优弧门纸片所在OO的半径为2,AB=2:
;,点P为优弧■=上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A'.发现:
(1)点0到弦AB的距离是,当BP经过点0时,/ABA'=;
(2)当BA'与O0相切时,如图2,求折痕的长.
拓展:
把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁,得到半圆形纸片,点P(不与点M,N重合)为半圆上一点,将圆形沿NP折叠,分别得到点M,0的对称点A',0',设/MNP=a.
(1)当a15°时,过点A'作A'C//MN,如图3,判断A'C与半圆0的位置关系,并说明理由;
(2)如图4,当a=°时,NA'与半圆0相切,当a=°时,
点0'落在L;上.
(3)当线段N0'与半圆0只有一个公共点N时,直接写出a的取值范围.
36•如图,AB是。
O的直径,DO丄AB于点O,连接DA交。
O于点C,过点C作。
O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.
(1)求证:
CE=EF;
(2)连接AF并延长,交。
O于点G.填空:
1当/D的度数为时,四边形ECFG为菱形;
2当/D的度数为时,四边形ECOG为正方形.
37•如图,点B,C为。
O上两定点,点A为。
O上一动点,过点B作BE//AC,交。
O于点E,点D为射线BC上一动点,且AC平分/BAD,连接CE.
(1)求证:
AD//EC;
(2)连接EA,若BC=CD,试判断四边形EBCA的形状,并说明理由.
38.
(1)特例探究.
如图
(1),在等边三角形ABC中,BD是/ABC的平分线,AE是BC边上的高线,BD和AE相交于点F.
请你探究肛坐是否成立,请说明理由;请你探究塑二坐是否成立,并说
CDBCEPBE
明理由.
(2)归纳证明.
如图
(2),若厶ABC为任意三角形,BD是三角形的一条内角平分线,请问一=丄一定成立吗?
并证明你的判断.
BC
(3)拓展应用.
如图(3),BC是厶ABC外接圆。
O的直径,BD是/ABC的平分线,交。
O
于点E,过点E作AB的垂线,交BA的延长线于点F,连接OF,交BD于点
39.已知:
AB是。
O直径,C是。
O外一点,连接BC交。
O于点D,BD=CD,连接AD、AC.
(1)如图1,求证:
/BAD=/CAD;
(2)如图2,过点C作CF丄AB于点F,交。
O于点E,延长CF交。
O于点G.过点作EH丄AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF;
(3)如图3,在
(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.
圏1S2圍3
40.如图,以△ABC的AB边为直径作。
O交BC于点D,过点D作。
O切线交
AC于点E,AB=AC.
(1)如图1,求证:
DE丄AC;
(2)如图2,设CA的延长线交OO于点F,点G在「上,uli,连接BG,
求证:
AF=BG;
(3)在
(2)的条件下,如图3,点M为BG中点,MD的延长线交CE于点
41•已知AB,CD都是。
O的直径,连接DB,过点C的切线交DB的延长线于
点E.
(1)如图1,求证:
/A0D+2/E=180°;
(2)如图2,过点A作AF丄EC交EC的延长线于点F,过点D作DG丄AB,
垂足为点G,求证:
DG=CF;
(3)如图3,在
(2)的条件下,当—时,在。
O外取一点H,连接CH、
CE4
DH分别交。
O于点M、N,且/HDE=/HCE,点P在HD的延长线上,连
接PO并延长交CM于点Q,若PD=11,DN=14,MQ=OB,求线段HM的
42.已知△ABC内接于OO,AD平分/BAC.
(1)如图1,求证:
;=H;
(2)如图2,当BC为直径时,作BE丄AD于点E,CF丄AD于点F,求证:
DE=AF;
(3)如图3,在
(2)的条件下,延长BE交。
O于点G,连接OE,若EF=
2EG,AC=2,求OE的长.
43.已知:
如图,AB为。
O的直径,C是BA延长线上一点,CP切。
O于P,弦PD丄AB于E,过点B作BQ丄CP于Q,交。
O于H,
(1)如图1,求证:
PQ=PE;
(2)如图2,G是圆上一点,/GAB=30°,连接AG交PD于F,连接BF,若tan/BFE=3-;,求/C的度数;
(3)如图3,在
(2)的条件下,PD=6「;,连接QC交BC于点M,求QM
的长.
44.已知:
OO是厶ABC的外接圆,点D在J上,连接AD,BD,AD的延长线交BC的延长线于点E,点F在BD上,连接EF,/ACB=2/DEF.
(1)如图1,求证:
/DEF=/DFE;
(2)如图2,延长EF交AB于点G,若AE=BF,求证:
AG=BG;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接0G,若cos/AGE=莘,Sabef=60,
圏1S2图苗
45.已知AB为。
O的直径,CD为。
O的弦,CD//AB,过点B的切线与射线
AD交于点M,连接AC、BD.
(1)如图I,求证:
AC=BD;
(2)如图2,延长AC、BD交于点F,作直径DE,连接AE、CE,CE与AB交于点N,求证:
/AFB=2/AEN;
(3)如图3,在
(2)的条件下,过点M作MQ丄AF于点Q,若MQ:
QC=
3:
2,NE=2,求QF的长.
46.如图〔,△ABC内接于圆0,点D为弧BC上一点,连接AD交BC于点E,
/ACD-ZB=2/BAD.
(1)求证:
AE=AC;
(2)如图2,连接C0并延长交圆0于点F,连接AF,ZDAF=2ZBCD,求证:
AF=AE;
(3)如图3,在
(2)条件下,过点F作FH//BC交AB于点H,连接CH,过点A作AK//BF交CH于点K,当AK=EC,AB=3二时,求线段AD的长度.
47.如图1,OO中,AB为直径,弧BC=弧AC,点P在。
O上,连接PC交
AB于点E,过C作PC的垂线交OO于点Q
(1)求证:
弧AP=弧BQ;
(2)如图2,点F在弧AC上,/FEA=ZQEB=30°,连接PF,求证:
PF
=AO;
(3)在
(2)的条件下,如图3,过E作EG丄FP于点G,若EG=6,求0E的长.
48.如图1,等腰△ABC中,AC=BC,点0在AB边上,以0为圆心的圆与AC相切于点C,交AB边于点D,EF为O0的直径,EF丄BC于点G.
(1)求证:
D是弧EC的中点;
(2)如图2,延长CB交O0于点H,连接HD交0E于点K,连接CF,求证:
CF=0K+D0;
(3)如图3,在
(2)的条件下,延长DB交O0于点Q,连接QH,若D0
49.如图,在RtAACB中,/C=90°,D是AB上一点,以BD为直径的OO切AC于点E,交BC于点F,连接DF,OP丄AB交。
O于点P,连接ED、
EP,过点A作DQ丄PE于点Q,
(1)求证:
DF=2CE;
(2)求证:
/A=2/P;
50.已知:
AD、DE是OO的弦,DB平分/ADE交OO于B,
(1)求证:
匸=盲
(2)连接AB、AE、DB,若DE是OO的直径,AE、BD交于C,CD=2AB,求/E的度数;
(3)在
(2)的条件下,K是弧AE上一点,连接OK,交AE于点G,F是
AD上一点,连接AK、KE,FG,若/AFG=4/KAE,FG=5,DE=6■:
求KG长.
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