立体几何专项练习.docx
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立体几何专项练习
立体几何专项练习
一.选择题(共24小题)
1.(2014•闵行区一模)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
2.(2014•广西)已知二面角α﹣l﹣β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
3.(2014•辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD若m∥α,m⊥n,则n⊥α
4.(2014•广东)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.
l1⊥l4
B.
l1∥l4
C.
l1与l4既不垂直也不平行
D.
l1与l4的位置关系不确定
5.(2015•广东模拟)如果直线l、m与平面α、β、γ满足:
l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )
A.
α⊥γ且l⊥m
B.
α⊥γ且m∥β
C.
m∥β且l⊥m
D.
α∥β且α⊥γ
6.(2014•市中区二模)已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,给出下列命题
①α∥β=l⊥m;
②α⊥β⇒l∥m;
③l∥m⇒α⊥β;
④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A.
①②③
B.
②③④
C.
①③
D.
②④
7.(2014•蚌埠一模)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )
A.
α∥β且l∥α
B.
α⊥β且l⊥β
C.
α与β相交,且交线垂直于l
D.
α与β相交,且交线平行于l
8.(2013•广东)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
9.(2013•浙江)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
10.(2012•广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )
A.
72π
B.
48π
C.
30π
D.
24π
11.(2012•上海)已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,则( )
A.
m与n异面
B.
m与n相交
C.
m与n平行
D.
m与n异面、相交、平行均有可能
12.(2012•浙江)已知矩形ABCD,AB=1,BC=
.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.
存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.
存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.
存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.
对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
13.(2012•浙江)设l是直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
14.(2011•浙江)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )
A.
α内存在直线与l异面
B.
α内存在与l平行的直线
C.
α内存在唯一的直线与l平行
D.
α内的直线与l都相交
15.(2011•浙江)下列命题中错误的是( )
A.
如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.
如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.
如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.
如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
16.(2010•湖北)用a、b、c表示三条不同的直线,y表示平面,给出下列命题:
( )
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若a∥y,b∥y,则a∥b;
④若a⊥y,b⊥y,则a∥b.
A.
①②
B.
②③
C.
①④
D.
③④
17.(2010•上海)若空间三条直线a、b、c满足a⊥b,b⊥c,则直线a与c( )
A.
一定平行
B.
一定相交
C.
一定是异面直线
D.
平行、相交、是异面直线都有可能
18.(2010•江西)如图,M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交;
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直;
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交;
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.
其中真命题是( )
A.
②③④
B.
①③④
C.
①②④
D.
①②③
19.(2009•浙江)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂βB.若l∥α,α∥β,则l⊂β
C.若l⊥α,α∥β,则l⊥βD.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
20.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A.
①和②
B.
②和③
C.
③和④
D.
②和④
21.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )
A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥β
C.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β
22.设有直线m、n和平面α、β,下列四个命题中,正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α
23.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )条件
A.
充要
B.
充分非必要
C.
必要非充分
D.
既非充分又非必要
24.两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A.若m∥∂,n∥∂,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
C.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
25.(2014•四川)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
(锥体体积公式:
V=
Sh,其中S为底面面积,h为高)
A.
3
B.
2
C.
D.
1
26.(2014•重庆)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为( )
A.
54
B.
60
C.
66
D.
72
27.(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
8﹣
B.
8﹣
C.
8﹣π
D.
8﹣2π
28.(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
8﹣2π
B.
8﹣π
C.
8﹣
D.
8﹣
29.(2014•重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
12
B.
18
C.
24
D.
30
二.解答题(共25小题)
6.(2014•沈阳模拟)如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.
(Ⅰ)证明AC⊥NB;
(Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
7.(2014•福建)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:
AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
8.(2014•西藏一模)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1
(Ⅰ)求证:
CD=C1D;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.
9.(2014•湖南)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.
(Ⅰ)证明:
O1O⊥底面ABCD;
(Ⅱ)若∠CBA=60°,求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值.
10.(2014•重庆)如图,四棱锥P﹣ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=
,M为BC上的一点,且BM=
,MP⊥AP.
(Ⅰ)求PO的长;
(Ⅱ)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.
11.(2014•湖北)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2)
(Ⅰ)当λ=1时,证明:
直线BC1∥平面EFPQ;
(Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?
若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
12.(2014•仁寿县模拟)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
13.(2014•广东)如图,四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.
(1)证明:
CF⊥平面ADF;
(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
14.(2014•河南)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
(Ⅰ)证明:
AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
15.(2014•广西)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.
(Ⅰ)证明:
AC1⊥A1B;
(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为
,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.
16.(2014•江西)如图,四棱锥P﹣ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:
AB⊥PD;
(2)若∠BPC=90°,PB=
,PC=2,问AB为何值时,四棱锥P﹣ABCD的体积最大?
并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.
17.(2014•天津)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=
,AD=2,PA=PD=
,E,F分别是棱AD,PC的中点.
(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)若二面角P﹣AD﹣B为60°,
(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;
(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
18.(2014•浙江)如图,在四棱锥A﹣BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=
.
(Ⅰ)证明:
DE⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣E的大小.
19.(2014•湖北)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点,求证:
(Ⅰ)直线BC1∥平面EFPQ;
(Ⅱ)直线AC1⊥平面PQMN.
20.(2014•四川)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形
(Ⅰ)若AC⊥BC,证明:
直线BC⊥平面ACC1A1;
(Ⅱ)设D、E分别是线段BC、CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?
请证明你的结论.
21.(2014•开封二模)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°
(Ⅰ)证明:
AB⊥A1C;
(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=
,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.
22.(2014•河南)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:
B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.
23.(2014•北京)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(Ⅰ)求证:
平面ABE⊥B1BCC1;
(Ⅱ)求证:
C1F∥平面ABE;
(Ⅲ)求三棱锥E﹣ABC的体积.
24.(2013•北京)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(Ⅰ)PA⊥底面ABCD;
(Ⅱ)BE∥平面PAD;
(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.
25.(2013•山东)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点.
(Ⅰ)求证:
CE∥平面PAD
(Ⅱ)求证:
平面EFG⊥平面EMN.
26.(2013•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=
,PA=
,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:
BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求
的值.
27.(2013•重庆)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2
,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=
.
(Ⅰ)求证:
BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P﹣BDF的体积.
28.(2013•辽宁)如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆O上的点.
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:
QG∥平面PBC.
29.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,已知PB=PD=2,PA=
.
(Ⅰ)证明:
PC⊥BD
(Ⅱ)若E为PA的中点,求三棱锥P﹣BCE的体积.
30.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点,已知AB=2,AD=2
,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.
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