立体几何练习题(精).doc
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立体几何练习题(精).doc
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立体几何练习题
1.设α、β、γ为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
③若α∥β,l⊂α,则l∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
2.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BD1与平面ABCD所成角的余弦值为()
A. B. C D.
3.三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1=2且AA1⊥平面ABC,△ABC是
边长为的正三角形,该三棱柱的六个顶点都在一个球面上,则这个球的体积为()
A. 8π B. C. D. 8π
4.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于点O,空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5,则OP长为()
A. 5 B. 2 C. 3 D. 5
5.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是()
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=AD=1,设点CG到平面PAB的距离为d1,点B到平面PAC的距离为d2,则有( )
A.1<d1<d2 B.d1<d2<1
C.d1<1<d2 D.d2<d1<1
E
F
A
G
a
b
7.在锐角的二面角,,,,若与所成角为,则二面角为__________.
8.给出下列四个命题:
(1)若平面上有不共线的三点到平面的距离相等,则;
(2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线;
(3)两条异面直线中的一条平行于平面,则另一条必定不平行于平面;
(4)为异面直线,则过且与平行的平面有且仅有一个.
其中正确命题的序号是_______________________
9.已知正方体中,点E是棱的中点,则直线AE与平而所成角的正弦值是_________.
10.已知直三棱柱中,,,,为的中点,则与平面的距离为______
11.边长分别为、的矩形,按图中所示虚线剪裁后,可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面,则的取值范围是.
12.已知矩形的长,宽,将其沿对角线折起,得到四面体,如图所示,
给出下列结论:
①四面体体积的最大值为;
②四面体外接球的表面积恒为定值;
③若分别为棱的中点,则恒有且;
④当二面角为直二面角时,直线所成角的余弦值为;
⑤当二面角的大小为时,棱的长为.
其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号).
13.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1,直线B1C与平面ABC成30°角.
(I)求证:
平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(II)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值.
14.如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=AB=6,BC=8,DF=5.
(1)若PB⊥BC,证明平面BDE⊥平面ABC.
(2)求直线BD与平面ABC所成角的正切值.
15.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.
(1)求证:
直线BD1∥平面PAC;
(2)求证:
平面PAC⊥平面BDD1B1;
(3)求CP与平面BDD1B1所成的角大小.
16.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上
(1)求证:
AC⊥平面PDB
(2)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
17.在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点.
(Ⅰ)求证:
PB∥平面ACM;
(Ⅱ)求证:
AD⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角M﹣AC﹣D的正切值.
18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:
BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.
19.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA⊥CB,AA1=AC=CB=2,D是AB的中点.
(1)求证:
BC1∥平面A1CD;
(2)求证:
A1C⊥AB1;
(3)若点E在线段BB1上,且二面角E﹣CD﹣B的正切值是,求此时三棱锥C﹣A1DE的体积.
20.如图,四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:
AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P﹣AC﹣D的大小;
(3)在
(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:
EC的值;若不存在,试说明理由.
试卷答案
1.B:
解:
若α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能平行也可能相交,故①错误;
由于m,n不一定相交,故α∥β不一定成立,故②错误;
由面面平行的性质定理,易得③正确;
由线面平行的性质定理,我们易得④正确;
故选B
2.D
考点:
棱柱的结构特征.
专题:
空间角.
分析:
找出BD1与平面ABCD所成的角,计算余弦值.
解答:
解:
连接BD,;
∵DD1⊥平面ABCD,∴BD是BD1在平面ABCD的射影,
∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角;
设AB=1,则BD=,BD1=,
∴cos∠DBD1===;
故选:
D.
点评:
本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角,是基础题.
3.C
考点:
球的体积和表面积.
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
根据题意,正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,求出球的半径即可求出球的体积.
解答:
解:
由题意可知:
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心,
因为△ABC是边长为的正三角形,所以底面中心到顶点的距离为:
1;
因为AA1=2且AA1⊥平面ABC,所以外接球的半径为:
r==.
所以外接球的体积为:
V=πr3=π×()3=.
故选:
C.
点评:
本题给出正三棱柱有一个外接球,在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识,属于中档题.
4.D
考点:
平面与平面垂直的性质.
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
构造棱长分别为a,b,c的长方体,P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,OP为长方体的对角线,求出OP即可.
解答:
构造棱长分别为a,b,c的长方体,P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,
则a2+b2+c2=32+42+52=50
因为OP为长方体的对角线.
所以OP=5.
故选:
D.
点评:
本题考查点、线、面间的距离计算,考查计算能力,是基础题.
5.D
考点:
直线与平面垂直的性质.
专题:
综合题;探究型.
分析:
根据SD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,以及三垂线定理,易证AC⊥SB,根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD,根据直线与平面所成角的定义,可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角,∠CSO是SC与平面SBD所成的角,根据三角形全等,证得这两个角相等;异面直线所成的角,利用线线平行即可求得结果.
解答:
解:
∵SD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,
∴连接BD,则BD⊥AC,根据三垂线定理,可得AC⊥SB,故A正确;
∵AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,
∴AB∥平面SCD,故B正确;
∵SD⊥底面ABCD,
∠ASO是SA与平面SBD所成的角,∠DSO是SC与平面SBD所成的,
而△SAO≌△CSO,
∴∠ASO=∠CSO,即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角,故C正确;
∵AB∥CD,∴AB与SC所成的角是∠SCD,DC与SA所成的角是∠SAB,
而这两个角显然不相等,故D不正确;
故选D.
点评:
此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理,以及直线与平面所成的角,异面直线所成的角等问题,综合性强.
6.D
考点:
点、线、面间的距离计算.
专题:
综合题;空间位置关系与距离;空间角.
分析:
过C做平面PAB的垂线,垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形,根据斜边大于直角边,再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角,能够推导出d2<d1<1.
解答:
解:
过C做平面PAB的垂线,
垂足为E,连接BE,
则三角形CEB为直角三角形,其中∠CEB=90°,
根据斜边大于直角边,得CE<CB,即d2<1.
同理,d1<1.
再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知,前者大于后者,
所以d2<d1.
所以d2<d1<1.
故选D.
点评:
本题考查空间距离的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意空间角的灵活运用.
7.
8.
(2)(4)
9.
10.1
11.
12.②③④
13.
考点:
平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
专题:
证明题.
分析:
(I)欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1,关键是寻找线面垂直,而AC⊥平面ABB1A1,又AC⊂平面B1AC,满足面面垂直的判定定理;
(II)过A1做A1M⊥B1A1,垂足为M,连接CM,∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角,然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可.
解答:
解:
(I)证明:
由直三棱柱性质,B1B⊥平面ABC,
∴B1B⊥AC,又BA⊥AC,B1B∩BA=B,
∴AC⊥平面ABB1A1,又AC⊂平面B1AC,
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1.
(II)解:
过A1做A1M⊥B1A1,垂足为M,连接CM,
∵平面B1AC⊥平面ABB1A,且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A,
∴A1M⊥平面B1AC.
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角,
∵直线B1C与平面ABC成30°角,∴∠B1CB=30°.
设AB=BB1=a,可得B1C=2a,BC=,
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为
点评:
本题主要考查了平面与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
14.
考点:
直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.
专题:
空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(1)由已知得DE⊥AC,DE2+EF2=DF2,从而DE⊥平面ABC,由此能证明平面BDE⊥平面ABC.
(2)由DE⊥平面ABC,得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角,由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值.
解答:
(1)证明:
∵在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.
PA⊥AC,PA=AB=6,BC=8,DF=5,
∴DE⊥AC,DE=3,EF=4,DF=5,
∴DE2+EF2=DF2,∴DE⊥EF,
又EF∩AC=F,∴DE⊥平面ABC,
又DE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC.
(2)∵DE⊥平面ABC,∴PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,
∵PB⊥BC,∴AB⊥BC,
∴AC==10,∴,
由DE⊥平面ABC,得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角,
tan∠DBE==.
∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为.
点评:
本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正切值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
15.
考点:
直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
专题:
证明题.
分析:
(1)设AC和BD交于点O,由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1,从而证明直线BD1∥平面PAC.
(2)证明AC⊥BD,DD1⊥AC,可证AC⊥面BDD1B1,进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1.
(3)CP在平面BDD1B1内的射影为OP,故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角,在Rt△CPO中,利用边角关系求得∠CPO的大小.
解答:
(1)证明:
设AC和BD交于点O,连PO,由P,O分别是DD1,BD的中点,故PO∥BD1,
∵PO⊂平面PAC,BD1⊄平面PAC,所以,直线BD1∥平面PAC.
(2)长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=AD=1,底面ABCD是正方形,则AC⊥BD,又DD1⊥面ABCD,则DD1⊥AC.
∵BD⊂平面BDD1B1,D1D⊂平面BDD1B1,BD∩D1D=D,∴AC⊥面BDD1B1.∵AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面BDD1B1.
(3)由
(2)已证:
AC⊥面BDD1B1,∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP,∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角.
依题意得,,在Rt△CPO中,,∴∠CPO=30°
∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°.
点评:
本题考查证明线面平行、面面垂直的方法,求直线和平面所称的角的大小,找出直线和平面所成的角是解题的难点,属于中档题.
16.
考点:
直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
专题:
综合题;空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(1)根据题意证明AC⊥BD,PD⊥AC,可得AC⊥平面PDB;
(2)设AC∩BD=O,连接OE,根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角,在Rt△AOE中求出此角即可.
解答:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,
又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB,(3分)
(2)设AC∩BD=O,连接OE,由
(1)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,(5分)
又O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE∥PD,OE=PD,
在Rt△AOE中,OE=PD=AB=AO,
∴∠AEO=45°,(7分)
即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.(8分)
点评:
本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.
17.
考点:
与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
专题:
计算题.
分析:
(Ⅰ)连接OM,BD,由M,O分别为PD和AC中点,知OM∥PB,由此能够证明PB∥平面ACM.
(Ⅱ)由PO⊥平面ABCD,知PO⊥AD,由∠ADC=45°,AD=AC=1,知AC⊥AD,由此能够证明AD⊥平面PAC.
(Ⅲ)取DO中点N,连接MN,由MN∥PO,知MN⊥平面ABCD.过点N作NE⊥AC于E,由E为AO中点,连接ME,由三垂线定理知∠MEN即为所求,由此能求出二面角M﹣AC﹣D的正切值.
解答:
(Ⅰ)证明:
连接OM,BD,
∵M,O分别为PD和AC中点,
∴OM∥PB,
∵OM⊂平面ACM,PB⊄ACM平面,
∴PB∥平面ACM….(4分)
(Ⅱ)证明:
由已知得PO⊥平面ABCD
∴PO⊥AD,
∵∠ADC=45°,AD=AC=1,
∴AC⊥AD,
∵AC∩PO=O,AC,PO⊂平面PAC,
∴AD⊥平面PAC.…..(8分)
(Ⅲ)解:
取DO中点N,连接MN,则MN∥PO,
∴MN⊥平面ABCD
过点N作NE⊥AC于E,则E为AO中点,
连接ME,由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角,
∵MN=1,NE=
∴tan∠MEN=2…..(13分)
点评:
本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明,考查二面角的正切值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意三垂直线定理的合理运用.
18.
考点:
二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.
专题:
空间位置关系与距离;空间角;立体几何.
分析:
(1)由题设条件及图知,可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD,再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可;
(2)由图可令AC与BD的交点为O,连接OE,证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角,然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值.
解答:
(1)∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD,又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
(2)设AC与BD交点为O,连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形,又PA=1,AD=2,可得BD=AC=2,PC=3
∴OC=
在△PAC∽△OEC中,
又BD⊥OE,
∴
∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3
点评:
本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理,属于立体几何中的基本题型,二面角的平面角的求法过程,作,证,求三步是求二面角的通用步骤,要熟练掌握
19.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定.
专题:
综合题;空间位置关系与距离;空间角.
分析:
(1)连接AC1交A1C于点F,由三角形中位线定理得BC1∥DF,由此能证明BC1∥平面A1CD.
(2)利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1,即可证明A1C⊥AB1;
(3)证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角,点E为BB1的中点,确定DE⊥A1D,再求三棱锥C﹣A1DE的体积.
解答:
(1)证明:
连结AC1,交A1C于点F,则F为AC1中点,
又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF,
因为DF⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.…(3分)
(2)证明:
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
因为AA1=AC,所以AC1⊥A1C…(4分)
因为CA⊥CB,B1C1∥BC,
所以B1C1⊥平面ACC1A1,所以B1C1⊥A1C…(6分)
因为B1C1∩AC1=C1,所以A1C⊥平面AB1C1
所以A1C⊥AB1…(8分)
(3)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥CD,
因为AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB,CD⊥平面ABB1A1.
所以CD⊥DE,CD⊥DB,
所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角.
在Rt△DEB中,.
由AA1=AC=CB=2,CA⊥CB,
所以,.
所以,得BE=1.所以点E为BB1的中点.…(11分)
又因为,,,A1E=3,
故,故有DE⊥A1D
所以…(14分)
点评:
本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系,考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C﹣A1DE的体积等知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力,是中档题.
20.
考点:
直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
专题:
计算题;证明题;压轴题.
分析:
(1)连BD,设AC交于BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系O﹣xyz,设底面边长为a,求出高SO,从而得到点S与点C和D的坐标,求出向量与,计算它们的数量积,从而证明出OC⊥SD,则AC⊥SD;
(2)根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量,设所求二面角为θ,则,从而求出二面角的大小;
(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC,根据(Ⅱ)知是平面PAC的一个法向量,设,求出,根据可求出t的值,从而即当SE:
EC=2:
1时,,而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC
解答:
证明:
(1)连BD,设AC交于BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,
分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系O﹣xyz如图.
设底面边长为a,则高.
于是,
,,
,
故OC⊥SD
从而AC⊥SD
(2)由题设知,平面PAC的一个法向量,
平面DAC的一个法向量.
设所求二面角为θ,则,
所求二面角的大小为30°.
(3)在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(Ⅱ)知是平面PAC的一个法向量,
且
设,
则
而
即当SE:
EC=2:
1时,
而BE不在平面PAC内,故BE∥平面PAC
点评:
本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法,涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强.
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