1、概率论与数理统计第一章第一章概率论的基本概念【基本要求】1、理解随机事件和样本空间的概念，熟练掌握事件之间的关系与基本运算;2、 理解事件频率的概念，了解随机现象的统讣规律性；3、 理解古典概率的定义，了解概率的定义4、 掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算；5、 理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算；6、 理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。【本章重点】理解概率的定义、性质；掌握概率的讣算及事件的独立性【本章难点】判别事件概率的类型；注意有放回抽样与无放回抽样的区别：条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用【学时分配
2、】16学时【授课内容】引言1确定性现象与不确定性现象（随机现象）：在自然界与人类社会生活中，存在着两类截然不同的现象：一类是确定性现象。例如：早晨太阳必然从东方升起；在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度必然沸腾；边长为a, b的矩形,其面积必为ab等。对于这类现象，其特点是：在试验之前就能断定它有一个确定的结果，即在一定条件下，重复进行试验，其结果必然出现且唯一。另一类是随机现象：例如：某地区的年降雨量；打靶射击时，弹着点离靶心的距离；投掷一枚均匀的硬币，可能出现“正面”，也可能出现“反面”，事先不能作出确定的判断。因此，对于这类现象，其特点是可能的结果不止一个，即在相同条件下进行重复试验，
3、试验的结果事先不能唯一确定。就一次试验而言，时而出现这个结果，时而出现那个结果，呈现出一种偶然性。概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学分支。其研究对象为：竝机现象研究内容为：随机现象的统讣规律件。2.随机现象的统讣规律性：以前，山于随机现象事先无法判定将会出现那种结果，人们就以为随机现象是不可捉摸的， 但是后来人们通过大量的实践发现：在相同条件下，虽然个别试验结果在某次试验或观察中可以 出现也可以不出现，但在大量试验中却呈现出某种规律性，这种规律性称为统计规律性。例如： 在投掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定的判断是不可能的，但是 假如硬币均匀，直观上出现正面与
4、出现反面的机会应该相等，即在大量的试验中出现正面的频率 应接近50%,这正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是 受内部的隐藏着的规律支配的，而问题只是在于发现这些规律。”因此，人们买彩票经常不能中 奖，总是抱怨运气不好，其最主要的原因就是没有进行大量的重复试验，从而也就不能发现其内 部隐藏着的规律。 1. 1随机试验下面具一些试验的例子：厶：抛一枚硬币，观察正面H,反面T出现的情况。E,：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H,反面T出现的情况。3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。e4：抛一颗骰子，观察出现的点数。e5：电话总机在单位时间内接到的呼唤次数e6：在
5、一批灯泡中任意抽取一次，测试它的寿命。e7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。上面举出了七个试验的例子，它们有着共同的特点。例如，试验Z有两种可能的结果，出现 H或者出现T,但在抛掷之前不能确定出现H还是出现T ,这个试验可以在相同的条件下重复地 进行。乂如试验瓦，我们知道灯泡的寿命（以小时计）/no,但在测试之前不能确定它的寿命 有多长。这一试验也可以在相同的条件下重复进行。概括起来，这些试验具有以下的特点：1可以在相同的条件下重复进行；2每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。在概率中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机
6、试验。简而言之，就是对随机现象的一次观察或试验。通常用大写的字母E表示。本书中以后提到的试验都是指随机试验。 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。 1. 2样本空间.随机事件（一）样本空间山随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S.样本空间的元素，即 E的每个结果，称为样本点。下面写出 1. 1中试验瓦伙=1，2,7）的样本空间SSy H, TS： HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTTS3： 0, 1, 2, 3S4： 1, 2, 3, 4, 5, 6S5 : 0,1, 2, 3, S6： /lr0S?： (x,y)l7；SxS)V
7、7；,这里x表示最低温度，y表示最高温度。并设这一地区的温度 不会小于7；也不会大于7?注：样本空间是一个集合，它是由样本点构成。其表示方法，可以用列举法，也可以用描 述法。2在样本空间中，样本点可以是一维的，也可以是多维的；可以是有限个，也可以是无 限个。3在同一试验中，当试验的目的不同时，样本空间往往是不同的，但通常只有一个会提 供最多的信息。例如，在E?和&中同时将一枚硬币连抛三次，由于试验的目的不一 样，其样本空间也不一样。(二)随机事件我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。用字母A, B, C等表示。显 然它是山部分样本点构成的。如在上面试验中，若我们关心出现一次正
8、面的情况，满足这一条件的样本点组成S,的一 个子集A二HTT, THT, TTH,那么A称为试验E,的一个随机试验。下面了解以下儿个概念：1.事件发生：在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。2.基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。例如，试验厶有两个基本事件 H和T；有8个基本事件。3.必然事件：样本空间S所包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。4.不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都 不发生，称为不可能事件。例如，在上述掷骰子的试验中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”
9、是不可能事件。注：严格来讲，必然事件与不可能事件反映了确定性现象，可以说它们并不是随机事件，但为了 研究问题的方便，我们把它们作为特殊的随机事件。有了上述讨论，可见事件与集合之间建立了一定的对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算，（三入事件间的关系1 事件的包含：当事件A发生时必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含茁 记为Au B或Bz A o即AuBo若owA,则qwB,用文（Venn）图表示为:反之，BzdA 若B不发生，则必然A也不会发生。显然，对任意事件 A 有：（l）AuA； （2）eu4uG； （3）若 Au B, BuC,则 AuC。2.事件的相等：
10、若事件A的发生能导致B的发生，且B的发生也能导致A的发生，则称A与B相等。记为A=B,即A与B有相同的样本点。显然有A=BOAuB且BuA3事件的互斥（互不相容）：若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥,记为AB=。显然有：（1）基本事件是互斥的；与任意事件互斥。（四入事件的运算（和、差、积、逆运算）1 事件的和（并九两个事件A、B中至少有一个发生的事件，称为事件A与 事件B的并（或和），记为 2B （或A+B）o即2B= 3/3胡或3胡显然有：（1）AuA = A; （2）Au AuB , BuAuB;若 AuB,则 A5 = B 特别地，= =2事件的积（交）:两个事件A与B同时发生的事
11、件，称为事件A与事件B的积（或交）。记为AcB （或AB ）即 AcB = q/o w A且e w B o显然有：（l）AcBuA, AcBuB;若AuB,则AcB=A,特别地AQ=A；若A与B互斥，则AB=d,特另I地QA=A2 c= o/coe 厲且3 w 且且cow A”*】XQA. = & ccA” c=co/coe &且cow A?且且co w A”3.事件的差:事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件A与事件B的差，记为A-B。即 A-B 6?e A而eg 8。显然有:（1）不要求AnB,才有A B,若AuB,则AB =：若A与B互斥，贝ijA-B=A, B-A=B；（3）A-B=
12、A-AB （证明：利HlABuAAB且AABuAB）；（4）q-（3 C）H4-3 + C （左边为A的子事件，而右边不是）。4事件的逆（对立事件人若事件A与事件B满足A u B=且AB =D,则称B为A的逆，记为B =A。即 A = co/co g A, cd e Q显然有：(1)AjA=Q, AA=D(2)A-B=AB (证明：AB=AAB=A (QB) =AB )注：互逆事件与互斥事件的区别：互逆必定互斥，互斥不一定互逆；互逆只在样本空间只有两个事件时存在，互斥还可在样本空间有多个事件时存在。例如，在抛硬币的试验中，设A=出现正面, B=出现反面,则A与B互斥且A与B互为对立事 件；而在
13、掷骰子的试验中，设A二出现1点, B=出现2点,则A与B互斥，但A与B不是对立 事件。（五）、事件的运算性质（规律）山前面可知，事件之间的关系与集合之间的关系建立了一定的对应法则，因而事件之间的运 算法则与布尔代数中集合的运算法则相同。1.交换律：A5 = B5, AB=BA2.结合律：A u(3 u C) = (A o B) u C, A(BC) = (AB)C3.分配律:Ac(3uC) = (AB)u(AC),A= B)(AuC)4徳莫根（对偶）定律：Ua=Aa （和的逆=逆的积）/-I /-1qa=UA （积的逆=逆的和）r-l 1-1（六）、举例例1：设A、B、C为任意三个事件，试用A
14、、B、C的运算关系表示下列各事件：1三个事件中至少一个发生2没有一个事件发生 ABC = AuBuC （由对偶律）3恰有一个事件发生 ABC ABC ABC4至多有两个事件发生（考虑其对立事件）ABC. ABC kJ ABC） ABC ABC ABC） kJ （ABC） = ABC = A B/r(A)0规范性：(S) = 1可加性：若是两两不相容的事件，贝9A(A 心心)= ()+ (%)+(G(3)频率的稳定性：在大量的重复试验中，频率常常稳定于某个常数，称为频率的稳定性。通过大量的实践，我们还容易看到，若随机事件A出现的可能性越大，一般来讲，其频率人(A)也 越大。由于事件A发生的可能性
15、大小与其频率大小有如此密切的关系，加之频率乂有稳定性，故 而可通过频率来定义概率。(二)概率(1)定义：设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P (A), 称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：1.非负性：对任意A, P(A) 02.规范性：P(S) = 13.可列可加性(完全可加性)：设A,，是两两互不相容的事件，即对于i 丰 j, A,Aj = 0, J = 1, 2,，8 90则有 p(Uaj = p(4)1-1(2)概率的性质P()=0由公理1, P()=P()+ P()+，P()为非负实数P()=02有限可加性：若A，A2,，A”两两互不相
16、容，即A. = 0(/ 7),则有 P(ClA ) = f HA)i-l r-1证明：因为CjA, =l4 uuu.,利用公理一有i-l r-lp(乙 4)= p(乙 )= p(A.)+p(4)+p(o)+= p(4)/I r1 ,3对任意事件A,有P(A) = 1-P(A)证明：因为 AA=Q,AA = ,所以 P(A) + P(A) = PAjA) = P(Q) = 1P(A-B) = P(A)-P(AB)O 特别，若BuA，则 P(A-B)=P(A)-P(8)。证明：因为A=(A-B)jAB且(A-B)cAB=D0TP(A)=P(A-B)AB) = P(A-B) + P(AB),即证。推
17、论：(单调性)若 BuA, WJ P(B) 05加法公式：对任意的事件A、B有：P (AuB) =P (A) +P (B) -P (AB)特别，若A与B互斥,则有P(AB) = P(A) + P(B)证明：因为AjB = A(B-AB)且Ac(B-AB)所以 P(A u B) = P(A) + P(B- AB) = P(A) + P(B) - P(AB)(因为 AB c= B )砌:从数字1、2、9中有放回地取出n个数字，求取出这些数字的乘积能被10整除的概 率？解：“符号化”令A二取出的数字中含5, B=取出的数字中含偶数, _ _ _ _ 3 5n 4n则 P(AB) = 1 一 P(AB
18、) = 1 一 P(A u 3) = 1 - P(A) 一 P(B) + P(AB) =1- - + 课后作业：1、仔细阅读P1-12；2、 作业：P29 2, 4, 5, 6, 7, 8；3、 预习 P12-241.4等可能概型（古典概型）古典概率（其产生的源泉是古典型随机试验）1.古典概型：一个随机试验若满足：1样本空间中只有有限个样本点（有限性）2样本点的发生是等可能的（等可能性）则称该随机试验为等可能概型。它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型。等可能概型的一些概念具有直观容易理解的特点，有着广泛的应用。2.古典概率的计算公式：设古典型随机试验的样本空间S = *心,
19、J,若事件A中含有k（k 0规范性：P（C） = 1可加性：若A和B互斥，则P(AB) = P(A) +P(B) P(Q) = 0(5) P(A) = 1 - P(A)例:从标号为1, 2,，10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:抽 中2号，B:抽中奇数号，C:抽中的号数不小于7。解：令i表示“抽中，号”，2 1,2,10,则。=1,2,3,.0,所以1 5 4P(A) = , P(B) = , P(C)=10 10 10勿2从6双不同的鞋子中任取4只，求：其中恰有一双配对的概率；至少有两只鞋子 配成一双的概率。解：分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两
20、双，每双中取到一 只，则中所含样本点数为C：C；C；C；C；所以所求概率P=c：c；cfc；c；/C：2 = $设B表示至少有两只鞋子配成一双，则： 17 1 jP(B) = 1 P(B)=1 gCQC； /C； = l 或=CWG + 】/C ； =【注】：不能把有利事件数取为，从而出现重复事件。这是因为，若鞋子标有号码1, 2, 6时，C：可能取中笫i号鞋，此时可能取中丿号一双，此时成为两双的配对为(/, J)；但也 存在配对(j,i),(门)与(川)是一种，出现了重复事件，即多出了 C：个事件。例3：将n只球随机地放入个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒 子的容量不限)解：设
21、每个盒子至多有一只球N(N l)(N n + l)7T勿4：设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有kk 0 ,称P(A/B) = P(AB)/P(B)为在事件B发生条 件下事件A发生的条件概率。注：P(B) = O时，条件概率无意义。(即条件不能是不可能事件)P(A/ G) = P(AQ)/P(Q) = P(A)。(即P(A)是特殊的条件概率)2、 条件概率亦是概率，具有概率的某些性质：1P(/3) = 02P(AIB) = -P(AIB)3P(A, (%/)= p(44)(4)=(帀)(評帀=9(2)、乘法公式由条件概率的定义：P(A/B) = P(AB)/P(B) = P
22、(AB) = P(B)P(A/B) (P(3) 0)P(B/A) = P(AB)/P(A) = P(AB) = P(A)P(B/A) (P(A) 0)定理1(乘法公式)：一般地，对任意n个事件4，.,A”，若卩(备.观)0,贝9P(A,. ) = P(A, )P( A / A, )P(A, / A, A2). P( A / A,. A ) ( * )证明：因为 A 4 - A. u U. u A% u Ax山概率的性质4的推论(单调性)有：P(A,) P(A,A2). PAxA2.) 0乂山条件概率的定义有：(*)式右=卩()玖4/2)()1匸；0 (i=l,2,n)则对任一事件 B 有 P(B) = P(A.)P(B/Af)i-1证明：由 3 = 3S = 3c(4)= q4B 且(=
