中考数学复习一数与式复习重点难点教学重点实数的有关概念与.docx
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中考数学复习一数与式复习重点难点教学重点实数的有关概念与
中考数学复习一数与式
复习重点、难点
教学重点:
实数的有关概念与实数的运算;代数式概念运算以及简单应用,代数式的恒等变形及化简求值。
教学过程:
知识点回顾:
(一)实数
1.实数的有关概念[知识要点]
(1)实数分类
”正整数整数*零
实数严数'
负整数
分数正分数
负分数
I无理数无限不循环小数
实数还可以分为:
正实数、零、负实数;有理数还可以分为:
正有理数、零、负有理数。
解题中需考虑数的取值范围时,常常用到这种分类方法。
特别要注意0是自然数。
(2)数轴
数轴的三要素:
原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点是对应的,这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(3)绝对值
a(a>0)
绝对值的代数意义:
|a|=$0(a=0)
-a(av0)
绝对值的几何意义:
一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
(4)相反数、倒数
相反数以及倒数都是成对出现的,零的相反数是零,零没有倒数。
“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。
(5)三种非负数
|a|、a2、•.a(a—0)形式的数都表示非负数。
“几个非负数的和(积)仍是非负数”
与“几个非负数的和等于零,则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。
(6)平方根、算术平方根、立方根的概念
2.实数的运算
[知识要点]
(1)实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算,整数指数幕的运算。
(2)有理数的运算法则在实数范围仍然适用;实数的运算律、运算顺序。
(3)加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。
(4)近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a10n(其中仁|a|:
:
:
10,n为整数)。
(5)实数大小的比较:
两个实数比较大小,正数大于零和一切负数;两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的数较小。
常用方法:
①数轴图示法。
②作差法。
③平方法等。
(二)代数式
1•代数式概念、运算以及简单应用
[知识要点]
(1)代数式的分类
'''单项式
整式\有理式丫|多项式
代数式=
分式
、无理式
(2)各类代数式的概念
单项式、多项式、整式、分式、有理式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。
(3)代数式有意义的条件
分式有意义的条件是分式的分母不为零;分式的值为零的条件是分母不为零,分子为零。
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
由实际意义得到的代数式还要符合实际意义。
(4)代数式的运算
整式的加、减、乘、除、乘方运算,整式的添括号、去括号法则;分式的加、减、乘、除四则运算;二次根式的加、减、乘、除四则运算。
2•代数式的恒等变形
[知识要点]
(1)添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法。
(2)公式可正用、逆用、变用,因此公式可用于代数式恒等变形,特别是乘法公式,它是代数式恒等变形的重要工具。
(3)因式分解是多项式乘法的逆变形,常作为代数式恒等变形的工具使用。
因式分解主要有两种基本方法:
提取公因式法,运用公式法。
要注意方法的灵活选取和综合运用。
(4)待定系数法、配方法等都可应用代数式的恒等变形。
特别要注意待定系数法使用的前提条件是“恒等式”。
3•代数式的化简求值
[知识要点]
(1)含有绝对值的代数式的化简,通常可利用数轴的直观性。
(2)整式化简求值时要注意以下两点:
①运用公式时,要从全局出发,有时要把某个部分看成一个整体;②灵活运用配方、换元、整体代换等方法。
(3)分式的化简求值一般可先对分子、分母的多项式因式分解、约分,再运用分式的性质化简计算。
(4)在给定字母的取值范围的情况下,对二次根式进行化简。
典型例题
例1.已知x、y是实数,且满足(X-4)2•y_1=0,求x+2y的值。
解:
因为(X-4)2_0,y-1_0
又(x一4)2.y-1=0
所以(x-4)0,.y-1=0
所以x=4,y=1
所以x2y421=6
说明:
这是一个条件求值问题,利用非负数的性质可求出x、y的值,从而问题可解。
例2.2005年10月中旬,我国“神舟六号”载人飞船准确进入预定轨道,飞船返回地面,期间飞船绕地球共飞行了76圈,飞行路程约为324万千米,用平常记数法表示,结果保留
三位有效数字,则“神舟”六号飞船绕地球平均每圈约飞行()
A.4.28105千米B.4.26105千米
C.4.281C6千米D.4.26106千米
简析:
32万千米=32400千米0324P00E076,426316保留三位有
效数字用科学记数法表示为4.26105。
解:
选B。
说明:
运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题,是新课标的主要内容之一。
本题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。
例3.计算:
6(-152)
解:
d(-1.52)
3-1
8
=——
9
说明:
进行计算时,首先要注意观察题目中有哪几种运算,思考有无简便方法,然后确定运算顺序。
注意遇到同一级运算时,应按自左向右的顺序进行计算,并要随时检查运
例4.比较下列实数大小:
(1)
—
兰与
28
-9;
(2)
14
35与4、2
解:
(1)
解1
(作差法):
19
9
19-92
1门
因为
0
28
14
28
28
19
9
所以
>
28
14
19
9
因此
——-
<-
因此
2814
解2(作商法):
19
28191419“
因为281
928918
14
199
所以—
2814
199
因此__
2814
(2)解1(平方法):
因为(3.5)2=45,(4.3)2=48
又45:
:
48,350,4、30
所以35:
:
4.3
解2(比较被开方数法):
因为35=.325=-45,413=•.423=-48
又4845
所以.48•、45
因此4335
说明:
比较两个分数的大小,还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。
(3)x2y2「8xy316y4
二y2(x2-8xy16y2)=y2[x2-8xy(4y)2]
y2(x_4y)2
说明:
在解题前应先观察题目特征,灵活选取分解方法,往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法。
分解因式一定要彻定。
6.
已知
x1=2.3,求x4
1
-:
的值。
x
X
解:
4
1/21、
2-
x
4-(x2)
-2
xx
=[(X丄)2
-2]2-2
=[(2.3)2-2]2-2
=102-2
11
X4变形为关于X•—的代数式,从而
xx
=98
说明:
此题是反复运用完全平方公式,把
使问题得解。
这是条件求值问题的一个基本思路。
例7.当x取何值时,下列分式有意义?
分式的值等于零?
X2-3x+2
(1)丁
x+2x-3
简析:
当分母等于零时,分式没有意义,此外分式都有意义;当分子等于零时,并且分母不等于零时,分式的值等于零。
x2_3x+2
(2)当分母x2•2x-3=0,即卩x=1且x=-3时,分式飞有意义。
x+2x—3
2
解:
根据题意,得
x-3x2二0<1
二2
x2x-3=0:
:
2
由:
:
:
1-解得x=1或x=2
由:
:
:
2
解得x=1且x一3
x3x2
所以,当x=2时,分式2的值等于零。
X2+2x-3
说明:
(1)讨论分式有无意义时,一定对原分式进行讨论,而不能先化简,再对化简
后的分式讨论。
(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。
(3)在解分式的有关问题时,应特别注意分母不为零这个隐含条件。
例8•实数a、b、c在数轴上对应的点分别是A、B、C,其位置如图所示。
试化简:
|c|-|cb||a-c「|ba|。
BC.A
―>_I1>
01
解:
由图可知:
a0,b:
:
0,c:
:
0,bc,|b||a|,|c|:
:
|a|
所以|c|=_c,|cb|c-b
|a_c|=a_c,|ba|=_b「a
所以|c|-|cb||a_c||ba|
=-ccba-c-b-a
=-C
说明:
这类绝对值化简问题,关键是脱去绝对值的符号,转化为一般的实数运算,而脱去绝对值的符号,又得先判定绝对值符号中各个数的正负性,本题无论是数形结合还是绝对值问题的化简都很有代表性。
L2
例9.化简:
a-6a9|^4|,其中3:
:
:
a4。
解:
、a2-6a9|a-4|
二.(a一3)2|a-4|
=|a-3||a-4|
因为3:
:
:
a:
:
:
4
所以a2-6a9|a-4|
=|a-3||a-4|
二a「34「a=1
说明:
化简二次根式,往往把被开方数化为完全平方式,根据二次根式性质.a2=|a|化
去根号,转化为绝对值问题,然后再根据绝对值定义化去绝对值符号。
(a1)
当a--2时,原式
(a1)2
21)22
说明:
对于分式条件求值问题,要特别注意求得的未知数的值应使原分式有意义。
例11.现定义两种运算“二”“:
”对任意两个整数a,b
a二b=ab-1,a:
b=ab-1
求4:
[(6二8)二(3:
5)]的值。
解:
由a二b=ab-1知6二8=68-1=13
由a:
b=ab-1知3:
5=35-1=14
.4:
[(6二8)二(3:
5)]
=41(13二14)
=^41(1314-1)
=4:
26
=426-1
=103
例12.请你将
1,
1
1
—?
一
1
1—?
1
--按一定规律排列如下
2
3
4
5
6
第1行
1
1
1
第2行
—•
2
3
第3行
1
1
1
4
5
6
1
1
1
1
第4行
―
—
7
8
9
10
第5行
1
1
1
1
1
11
12
13
14
15
1
1
1
1
1
1
第6行
—
16
17
18
19
20
21
则第20行第十个数是多少?
解:
观察①每行的数的个数与行数相同;②每个数的分母都是自然数呈递增趋势;③分母为偶数的数为负数;④每行最后一个数的分母是每行个数之和。
所以第19行最后一个数的分母为
(1+19)汉19
123,,19190
2
11
第20行第一个数就为——,第20行第十个数就为—
191200
巩固练习
1.已知a、b、m是实数4a2-4amm2|m-2b|.b-2=0,求(ab)m的值。
2.已知实数a、b、c(在数轴上的位置如图所示)
acb
-3-2-101234
化简2a-2|-|c-b卜|ab2|
3•比较23与1.6的大小。
1212
4.已知x,y=4,求一xxyy的值。
22
x2-11
5.化简求值:
x
(1),其中x=2-1o
x-1x
22
6.如果代数式4y-2y+5的值为7,则代数式2y-y+1的值是
241
7.已知:
x-2x-1=0,求x-4的值。
x
2F2
8.当1 9.定义新运算: x*y=x2y,求a*b[b*(-a)]。 x—y 10. 计算: (1、2)0(寸)'2cos30 1=②1+孑二,@1+3+5=32④;⑤: 12.观察下列等式: 9一1=8, 16-4=12, 25-9=16, 36-16=20, 这些等式反映自然数间的某种规律,设n(n_1)表示自然数,用关于n的等式表示 这个规律为。 13.如图,用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下图: 则第n个图 形中需用黑色瓷砖块(用含n的代数式表示)。 14.--amb^^与-32abm是同类项,则m—n= 5 15.因式分解: (1)x2-y2-6x9 (2)a3-5a2 11 16.已知a+—=10,求(a——)2的值。 aa 参考答案 1.256 2.—3a—2b+c-4 3.2316 4.8 5.2x2=22 6.2 7.34 8.2 9. 22 -2a-3ab2b 2.2 a-b 10. 3,3 11. ④1357=42⑤13579=52 12. (n2)2-n2=4(n1) 13. 4n8 14. -1 15. (1)(x-3y)(x-3-y) 2 (2)a(a-5) 16. 96
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