最新高等数学上册期末考试试题含答案VB.docx
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最新高等数学上册期末考试试题含答案VB
2019最新高等数学期末考试试题(含答案)
一、解答题
1.在半径为r的球中内接一正圆柱体,使其体积为最大,求此圆柱体的高.
解:
设圆柱体的高为h,则圆柱体底圆半径为
,
令
得
即圆柱体的高为
时,其体积为最大.
2.将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.
解:
将f(x)作偶延拓,作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有bn=0(n=1,2,3,…)
故
(0≤x≤2)
3.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在(-π,π]上的表达式为
试问f(x)的傅里叶级数在x=-π处收敛于何值?
解:
所给函数满足狄利克雷定理的条件,x=-π是它的间断点,在x=-π处,f(x)的傅里叶级数收敛于
4.求下列级数的和:
(1)
;
(2)
;
(3)
;
解:
(1)
从而
因此
,故级数的和为
(2)因为
从而
所以
,即级数的和为
.
(3)因为
从而
,即级数的和为
.
5.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2-14x+111,R′(x)=100-2x.
试求最大利润.
解:
设利润函数L(x).
则L(x)=R(x)-C(x)-50
由于L′(x)=R′(x)-C(x)=(100-2x)-(x2-14x+111)=-x2+12x-11
令L′(x)=0得x=1,x=11.
又当x=1时,L″(x)=-2x+12>0.当x=11时L″(x)<0,故当x=11时利润取得最大值.且最大利润为
L(11)=
6.已知曲线f(x)=xx2与g(x)=ax围成的图形面积等于,求常数a.
解:
如图13,解方程组得交点坐标为(0,0),(1a,a(1a))
∴
依题意得
得a=2.
(13)
7.求下列各曲线所围图形的面积:
(1)与x2+y2=8(两部分都要计算);
解:
如图D1=D2
解方程组得交点A(2,2)
(1)
∴,
.
(2)与直线y=x及x=2;
解:
.
(2)
(3)y=ex,y=ex与直线x=1;
解:
.
(3)
(4)y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb.(b>a>0);
解:
.
(4)
(5)抛物线y=x2和y=x22;
解:
解方程组得交点(1,1),(1,1)
.
(5)
(6)y=sinx,y=cosx及直线;
解:
.
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