江苏省苏中三市高三数学调研测试试题.docx
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江苏省苏中三市高三数学调研测试试题
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江苏省苏中三市(南通泰州扬州)2012届高三3月第一次调研测试
2012.03
数学(І)(正题)
一、填空题.本大题共10小题,每小题5分,共50分.把正确答案填在相应位置.
1.在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为.
2.若复数满足(i是虚数单位),则.
3.在右图的算法中,最后输出的的值依次是.
4.一组数据9.8,9.9,10,,10.2的平均数为10,则该组数据的方差为.
5.设全集,集合,则(用列举法表示).
6.在平面直角坐标系中,已知向量,则.
7.将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在1,2号盒子中各有1个球的概率为.
8.设P为函数图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为,则的取值范围是.
9.如图,矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴,若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为.
10.观察下列等式:
,
,
,
,
……
猜想:
▲().
11.在棱长为4的正方体中,E,F分别为棱上的动点,点G为正方形的中心,则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中,面积的最大值为.
12.若对任意的都成立,则的最小值为.
13.如图,在平面直角坐标系中,分别为椭圆的左、右焦点,B,C分别为椭圆的上、下顶点,直线与椭圆的另一个交点为D,若,则直线CD的斜率为.
14.各项均为正偶数的数列中,前三项依次成公差为的等差数列,后三项依次成公比为的等比数列,若,则的所有可能的值构成的集合为.
二、解答题.本大题共2小题,共30分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.
15.在斜三角形中,角,,的对边分别为,,
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
16.如图,在六面体中,,,
求证:
(1);
(2)
17.将52名志愿者分成,两组参加义务植树活动,组种植150捆白杨树苗,组种植200捆沙棘树苗.假定,两组同时开始种植.
(1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时,种植一捆沙棘树苗用时小时.应如何分配,两组的人数,使植树活动持续时间最短?
(2)在按
(1)分配的人数种植1小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时,于是从组抽调6名志愿者加入组继续种植,求植树活动所持续的时间.
18.如图,在平面直角坐标系中,已知圆,圆
(1)若过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设动圆同时平分圆的周长、圆的周长.
①证明:
动圆圆心在一条定直线上运动;
②动圆是否经过定点?
若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
19.已知函数
(1)设,是函数的图象上相异的两点,证明:
直线的斜率大于;
(2)求实数的取值范围,使不等式在上恒成立.
20.设数列的各项均为正数.若对任意的,存在,使得成立,则称数列为“型”数列.
(1)若数列是“”型数列,且,,求;
(2)若数列既是“”型数列,又是“”型数列,证明:
数列是等比数列.
数学(Ⅱ)(附加题)
21.选做题
.选修:
几何证明选讲
如图,是半圆的直径,延长到,使,切半圆于点,,垂足为,若:
:
,求的长.
.选修:
矩阵与变换
在平面直角坐标系中,直线在矩阵对应的变换下得到的直线经过点,求实数的值.
.选修:
坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知圆()与直线相切,求实数的值.
.选修:
不等式选讲
已知,,满足,求证:
22.已知数列满足:
,().
(1)求,的值;
(2)证明:
不等式对于任意的都成立.
23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点在原点,焦点为,过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线、,与轴分别交于、两点,且与交于点,直线与交于点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)求证:
轴;
(3)若直线与轴的交点恰为,求证:
直线过定点.
江苏省苏中三市(南通泰州扬州)2012届高三3月第一次调研测试
数学Ⅰ讲评建议
1.考查双曲线的标准方程与几何性质.答案:
2.考查复数的四则运算.答案:
1 + 2i
3.考查基本算法语句.答案:
2,1
4.考查总体特征数的估计.答案:
0.02
5.考查集合的运算、一元二次不等式,本题要提醒学生注意审题.答案:
{0,1}
6.考查平面向量的数量积.本题可以直接出b=(,2),得,也可以由a得,即,所以.答案:
0
7.考查古典概型.答案:
8.考查导数、基本不等式,倾斜角与斜率的关系.,所以,得.答案:
9.考查幂、指、对函数的图像与性质以及基本运算能力,基本思路为,,其中A、B、C点坐标分别为,,.答案:
10.考查合情推理能力和等差数列知识,提醒学生从等号右侧数都为平方数入手寻找发现规律.答案:
11.考查空间几何体知识和空间想象能力,本题源于《必修2》立体几何章节复习题.
如图①,当与重合,与重合时,四边形在前、后两个面的正投影的面积最大值为12;
如图②,当与重合,四边形在左、右两个面的正投影的面积最大值为8;
如图③,当与D重合,四边形在上、下两个面的正投影的面积最大值为8;
综上得,面积最大值为12.答案:
12
12.考查导数在研究函数上的应用、三角函数的图象与性质,由图形可知,当过原点的直线过点时,取得最大值;当过原点的直线为点处的切线时,取得最小值1;讲评时应强调割线逼近切线的思想方法.答案:
13.考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的斜率、二倍角公式,综合性强.由运用二倍角公式得,再由,得,故.提醒学生注意体会和使用“”这一重要结论.答案:
14.考查数列综合知识.解答过程如下:
设,,,,其中,均为正偶数,则,
整理得,所以,即,则可能为24,26,28,
当时,,;当时,(舍去);当时,,;
所以q的所有可能值构成的集合为.答案:
15.考查正、余弦定理、两角和的三角函数,应提醒学生考虑“斜三角形”这个条件.
第1小题的解法还可以为:
,
于是,即.…………………………………3分
因为A,C为三角形的内角,所以,从而,
所以a = c,故=1.……………………………………………………………………7分
第2小题,可先用A+B与A求解,最后化简为A、C的关系.
16.考查直线与平面平行、垂直的判定与性质,提醒学生要规范书写.
17.考查函数模型及其应用,可以从总时间和总树苗数两个角度考虑.
18.考查直线与圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系,考查学生运算能力.
思路2:
设圆:
(),①
易得圆:
,②
圆:
,③
由①②得,将代入得,
由①③得,将代入得,
代入③得,
整理得,
由得或
所以定点的坐标为,.
思路3(几何方法):
利用定点M在直线C1C2上,C1C2的中点为N,动圆圆心C满足CC12+12=r2=CN2+CM2,则CM2=CN2—CC12+1=C1N2+1=9,进而得出结论.(建议课堂上不讲解)
19.考查函数的图像与性质,
第2小题思路2依题意得,设,
当时,恒成立;………………………………………………8分
当时,,………………………………10分
①时,,在上单调递减,
所以恒成立;………………………………………………12分
②时,注意到当时,,
于是,
必存在,使得当时,有,不能使恒成立.
综上所述,实数的取值范围为.………………………………………16分
20.考查等比数列知识,
第2小题思路2:
由题设知,当n≥8时,
an-6,an-3,an,an+3,an+6成等比数列;
an-6,an-2,an+2,an+6也成等比数列.
从而当n≥8时,an2=an-3an+3=an-6an+6.(*)
且an-6an+6=an-2an+2.
所以当n≥8时,an2=an-2an+2,即.
于是当n≥9时,an-3,an-1,an+1,an+3成等比数列,
从而an-3an+3=an-1an+1,故由(*)式知an2=an-1an+1,
即.
当n≥9时,设.
当2≤m≤9时,m+6≥8,从而由(*)式知am+62=amam+12,
故am+72=am+1am+13,
从而,
于是.
因此对任意n≥2都成立.
因为,所以,
于是.
故数列{an}为等比数列.
南通市2012届高三第一次调研测试
数学II讲评建议
21.【选做题】
A.选修4—1:
几何证明选讲
本小题主要考查圆的几何性质等基础知识,考查推理论证能力.满分10分.
如图,AB是半圆O的直径,延长AB到C,使BC,
CD切半圆O于点D,DE⊥AB,垂足为E.
若AE∶EB 3∶1,求DE的长.
解:
连接AD、DO、DB.
由AE∶EB3∶1,得∶2∶1.
又DE⊥AB,所以.
故△为正三角形.……………………………5分
于是.
而,故.
所以.在△中,.…………………10分
B.选修4—2:
矩阵与变换
本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
在平面直角坐标系xOy中,直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点,求实数的值.
解:
设变换T:
,则,即……………5分
代入直线,得.将点代入上式,得k4.……………10分
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
在极坐标系中,已知圆()与直线相切,求实数a的值.
解:
将圆化成普通方程为,整理,得.
将直线化成普通方程为.……………………………6分
由题意,得.解得.…………………………………10分
21D.
.
22.本题
(2)可由题设求出数列{an}的通项公式:
(方法1)
因为,,所以.
于是在两边取倒数得,整理得
,而,
所以,得,
所以,
故不等式对于任意都成立.
(方法2)
由,…猜想:
.
用数学归纳法证明猜想
证明:
①当时,由
(1),知,不等式成立.………………………4分
②设当时,成立,………………………………6分
则当时,由归纳假设,知.
,
所以,
即当时,不等式成立.
由①②,得不等式对于任意成立.……………………10分
23.解:
(1)设抛物线的标准方程为,
由题意,得,即.
所以抛物线的标准方程为.………………3分
(2)设,,且,.
由(),得,所以.
所以切线的方程为,即.
整理,得,①
且C点坐标为.
同理得切线的方程为,②
且D点坐标为.
由①②消去,得.…………………………………………5分
又直线的方程为,③
直线的方程为.④
由③④消去,得.
所以,即轴.………………………………………………7分
(3)由题意,设,代入
(1)中的①②,得,.
所以都满足方程.
所以直线的方程为.
故直线过定点.……………………………………………………10分
本题也可以在设A、B两点坐标时设为(4m2,4m),(4n2,4n),解得M、N的横坐标为4mn.
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