人教版数学七年级上册第3章一元一次方程专项提升训练数轴类综合运用一.docx
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人教版数学七年级上册第3章一元一次方程专项提升训练数轴类综合运用一
人教版数学七年级上册第3章【一元一次方程】专项提升训练:
数轴类综合运用
(一)
1.如图,点O为原点,A、B为数轴上两点,AB=15,且OA:
OB=2:
1
(1)A、B对应的数分别为 、 ;
(2)点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度相向而行,则几秒后A、B相距1个单位长度?
(3)动点P从点A出发,沿数轴正方向运动,M为线段AP的中点,N为线段PB的中点.在点P运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长.
2.在一个“磁悬浮”的轨道架上做钢球碰撞实验,如图1所示,轨道长为180cm,轨道架上有三个大小、质量完全相同的钢球A、B、C,轨道左右各有一个钢制挡板D和E,其中C到左挡板的距离为30cm,B到右挡板的距离为60cm,A、B两球相距40cm.现以轨道所在直线为数轴,假定A球在原点,B球代表的数为40,如图2所示,解答下列问题:
(1)在数轴上,找出C球及右挡板E所代表的数,并填在图中括号内.
(2)碰撞实验中(钢球大小、相撞时间不记),钢球的运动都是匀速,当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时,这个钢球停留在被撞钢球的位置,被撞钢球则以同样的速度向前运动,钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动.
①现A球以每秒10cm的速度向右匀速运动,则A球第二次到达B球所在位置时用了 秒;经过63秒时,A、B、C三球在数轴上所对应的数分是 、 、 ;
②如果A、B两球同时开始运动,A球向左运动,B球向右运动,A球速度是每秒8cm,B球速度是每秒12cm,问:
经过多少时间A、B两球相撞?
相撞时在数轴上所对应的数是多少?
3.数轴是学习有理数的一种重要工具,任何有理数都可以用数轴上的点表示,这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.
如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一条“折线数轴”.图中点A表示﹣10,点B表示10,点C表示18,我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发,以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.当点P到达点C时,两点都停止运动.设运动的时间为t秒.问:
(1)t=2秒时,点P在“折线数轴”上所对应的数是 ;点P到点Q的距离是 个单位长度;
(2)动点P从点A运动至C点需要 秒;
(3)P、Q两点相遇时,t= 秒;此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是 ;
(4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等,直接写出t的值.
4.如图,小明在一张纸面上画了一条数轴,折叠纸面,使表示数﹣1的点与表示数5的点重合.请你回答以下问题:
(1)表示数﹣2的点与表示数 的点重合:
表示数7的点与表示数 的点重合.
(2)若数轴上点A在点B的左侧,A,B两点之间距离为12,A,C两点之间距离为4,且A,B两点按小明的方法折叠后重合,则点A表示的数是 ;点B表示的数是 ;点C表示的数是数是 .
(3)已知数轴上的点M分别到
(2)中A,B两点的距离之和为2020,求点M表示的数是多少?
5.如图,点A、B分别在数轴原点O的两侧,且
OB+8=OA,点A对应数是20.
(1)求B点所对应的数;
(2)动点P、Q、R分别从B、O、A同时出发,其中P、Q均向右运动,速度分别为2个单位长度/秒,4个单位长度/秒,点R向左运动,速度为5个单位长度/秒,设它们的运动时间为t秒,当点R恰好为PQ的中点时,求t的值及R所表示的数;
(3)当t≤5时,BP+
AQ的值是否保持不变?
若不变,直接写出定值;若变化,试说明理由.
6.数轴上有A、B、C三个点,分别表示有理数﹣24、﹣10、10,两条动线段PQ和MN,PQ=2,MN=4,如图,线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动,线段PQ同时以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动,当点Q运动到C时,线段PQ立即以相同的速度返回,当点P运动到点A时,线段PQ、MN立即同时停止运动,设运动时间为t秒(整个运动过程中,线段PQ和MN保持长度不变,且点P总在点Q的左边,点M总在点N的左边)
(1)当t为何值时,点Q和点N重合?
(2)在整个运动过程中,线段PQ和MN重合部分长度能否为1,若能,请求出此时点P表示的数;若不能,请说明理由.
7.如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上一点,且AB=14.动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒.
(1)写出数轴上点B表示的数 ,点P表示的数 (用含t的代数式表示);
(2)动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、Q同时出发,问点P运动多少秒时追上点Q?
(3)若M为AP的中点,N为PB的中点.点P在运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长.
8.如图,已知数轴上有A、B、C三个点,它们表示的数分别是﹣24,﹣10,10.
(1)填空:
AB= ,BC= ;
(2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动.试探索:
BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变?
请说明理由.
(3)现有动点P、Q都从A点出发,点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动;当点P移动到B点时,点Q才从A点出发,并以每秒3个单位长度的速度向右移动,且当点P到达C点时,点Q就停止移动.设点P移动的时间为t秒,试用含t的代数式表示P、Q两点间的距离.
9.如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为6,点B在点A的左侧,且AB=20,动点P从点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t秒(t>0)
(1)写出数轴上点B表示的数 ,点P表示的数用含t的式子表示:
;
(2)设点M是AP的中点,点N是PB的中点.点P在直线AB上运动的过程中,线段MN的长度是否会发生变化?
若发生变化,请说明理由;若不变化,求出线段MN的长度.
(3)动点R从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、R同时出发,点P运动多少秒时,与点R的距离为2个单位长度.
10.对于数轴上不重合的两点A,B,给出如下定义:
若数轴上存在一点M,通过比较线段AM和BM的长度,将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”.若线段AM和BM的长度相等,将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”.
(1)当数轴上原点为O,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为 ;
②点M表示的数为m,若点M到线段AB的“绝对距离”为3,则m的值为 ;
(2)在数轴上,点P表示的数为﹣6,点A表示的数为﹣3,点B表示的数为2.点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时,点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动.设移动的时间为t(t>0)秒,当点P到线段AB的“绝对距离”为2时,求t的值.
参考答案
1.解:
(1)设OA=2x,则OB=x,
由题意得,2x+x=15,
解得,x=5,
则OA=10、OB=5,
∴A、B对应的数分别为﹣10、5,
故答案为:
﹣10;5;
(2)设x秒后A、B相距1个单位长度,
当点A在点B的左侧时,4x+3x=15﹣1,
解得,x=2,
当点A在点B的右侧时,4x+3x=15+1,
解得,x=
,
答:
2或
秒后A、B相距1个单位长度;
(3)在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化,
分两种情况:
①当P在点B的左侧时,如图1,
∵M为线段AP的中点,N为线段PB的中点,
∴PM=
AP,PN=
PB,
∴MN=PM+PN=
AP+
PB=
AB=
;
②当P在点B的右侧时,如图2,
同理得:
PM=
AP,PN=
PB,
∴MN=PM﹣PN=
AP﹣
PB=
AB=
;
综上,在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化,AB=
.
2.解:
(1)依题意得:
AC=180﹣30﹣40﹣60=50(cm),40+60=100(cm),
则C代表﹣50,E代表100,
如图所示:
(2)(40+60+60+40+50+30+30+50+40)÷10=40(秒),
[63﹣40﹣(60+60)÷10]×10=130(cm),
130﹣40﹣50﹣30=10(cm),
50+30﹣10=70(cm),
故A球第二次到达B球所在位置时用了40秒;经过63秒时,A、B、C三球在数轴上所对应的数分是﹣50、40、﹣70;
(3)设经过t秒时间A、B两球相撞,依题意有
8t+12t=2×180﹣40,
解得t=16,
16×8﹣80×2=﹣32.
故经过16秒时间A、B两球相撞,相撞时在数轴上所对应的数是﹣32.
故答案为:
40;﹣50、40、﹣70.
3.解:
如图所示:
(1)设动点P从点A出发,运动2秒后的点对应数为x,
∵点P以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,
∴AP=2×2=4,
又∵x﹣(﹣10)=4,
解得:
x=﹣6,
又∵同时,动点Q从点C出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,
∴QC=2×1=2,
又∵AC=28,AC=AO+OB+BC,
∴点P到点Q的距离=28﹣4﹣2=22;
故答案为﹣6,22;
(2)由图可知:
动点P从点A运动至C分成三段,分别为AO、OB、BC,
AO段时间为
,OB段时间为
=10,BC段时间为
=4,
∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19(秒),
故答案为19秒;
(3)设点Q经过8秒后从点B运动到OB段,再经进y秒与点P在OB段相遇,
依题意得:
3+y+2y=10,
解得:
y=
,
∴P、Q两点相遇时经过的时间为8+
=
(秒),
此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是为3+
=
;
故答案为
,
;
(4)当点P在AO,点Q在BC上运动时,依题意得:
10﹣2t=8﹣t,
解得:
t=2,
当点P、Q两点都在OB
上运动时,
t﹣5=2(t﹣8)
解得:
t=11,
当P在OB上,Q在BC上运动时,
8﹣t=t﹣5,
解得:
t=
;
当P在BC上,Q在OA上运动时,
t﹣8﹣5+10=2(t﹣5﹣10)+10,
解得:
t=17;
即PO=QB时,运动的时间为2秒或
秒或11秒或17秒.
4.解:
(1)由折叠知,表示数﹣1的点与表示数5的点关于表示数2的点对称,
∴表示数﹣2的点与表示数6的点关于表示数2的点对称,
表示数7的点与表示数﹣3的点关于表示数2的点对称,
故答案为:
6,﹣3;
(2)∵折叠后点A与点B重合,
∴点A和点B关于表示数2的点对称,
∵A,B两点之间距离为12,
∴点A和点B到表示数2的点的距离都为
×12=6,
∴点A表示的数为2﹣6=﹣4,点B表示的数为2+6=8,
∵A,C两点之间距离为4,
∴①当点C在点A左侧时,点C表示的数为﹣4﹣4=﹣8,
②当点C在点A右边时,点C表示的数为﹣4+4=0,
∴点C表示的数为﹣8或0,
故答案为:
﹣4,8,﹣8或0;
(3)如图,由
(2)知,点A表示的数为﹣4,点B表示的数为8,
设点M表示的数为m,
①当点M在点A左侧时,m<0,
∴(MO+BO)+(MO﹣AO)=2020,
∴(﹣m+8)+(﹣m﹣4)=2020,
∴m=﹣1008,
②当点M在点B的右侧时,m>0,
∴(MO+BO)+MO﹣AO)=2020,
∴(m﹣8)+(m+4)=2020,
∴m=1012,
即点M表示的数为1012或﹣1008.
5.解:
(1)∵点A对应的数是20,
∴OA=10,
∵
OB+8=OA,
∴OB=24.
又∵点B在原点的左侧,
∴点B对应的数为﹣24.
(2)当运动时间为t秒时,点P对应的数为2t﹣24,点Q对应的数为4t,点R对应的数为﹣5t+20,
依题意,得:
4t+2t﹣24=2(﹣5t+20),
解得:
t=4,
∴﹣5t+20=0,
即R所表示的数为0;
当点R恰好为PQ的中点时,t=4,R所表示的数为0;
(3)当t≤5时,BP+
AQ的值保持不变;理由如下:
当t≤5时,BP+
AQ=2t+
(20﹣4t)=10,
∴当t≤5时,BP+
AQ的值保持不变,定值为10.
6.解:
(1)当Q、N第一次重合时,有3t﹣t=(﹣10)﹣(﹣24),
解得,t=7,
当Q、N第二次重合时,有3t+t=[10﹣(﹣24)]+[10﹣(﹣10)],
解得,t=13.5,
综上,当t=7s或13.5s时,点Q和点N重合;
(2)①在PQ与MN两线段第一次重合中,
当Q在线段MN上,且MQ=1时,有3t﹣t=[﹣10﹣(﹣24)]﹣(4﹣1),
解得,t=5.5,
此时P点表示的数为:
﹣24﹣2+3×5.5=﹣9.5;
当P在线段MN上,且PN=1时,有3t﹣t=(﹣10)﹣(﹣24)+1,
解得,t=7.5,
此时P点表示的数为:
﹣24﹣2+3×7.5=﹣3.5;
②在PQ与MN两线段第二次重合中,
当P在线段MN上,且PN=1时,有3t+t=[10﹣(﹣24)+[10﹣(﹣10)]﹣(2﹣1),
解得,t=13.25,
此时P点表示的数为:
10﹣2﹣3×[13.25﹣
]=2.25;
当Q在线段MN上,且MQ=1时,有3t+t=[10﹣(﹣24)+[10﹣(﹣10)]+(4﹣1),
解得,t=14.25,
此时P点表示的数为:
10﹣2﹣3×[14.25﹣
]=﹣0.75;
综上,在整个运动过程中,线段PQ和MN重合部分长度能为1,此时P点表示的数是﹣9.5或﹣3.5或﹣0.75或2.25.
7.解:
(1)∵点A表示的数为8,B在A点左边,AB=14,
∴点B表示的数是8﹣14=﹣6,
∵动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t(t>0)秒,
∴点P表示的数是8﹣5t.
故答案为:
﹣6,8﹣5t;
(2)设点P运动x秒时,在点C处追上点Q,
则AC=5x,BC=3x,
∵AC﹣BC=AB,
∴5x﹣3x=14,
解得:
x=7,
∴点P运动7秒时追上点Q.
(3)线段MN的长度不发生变化,都等于7;理由如下:
∵①当点P在点A、B两点之间运动时:
MN=MP+NP=
AP+
BP=
(AP+BP)=
AB=
×14=7,
②当点P运动到点B的左侧时:
MN=MP﹣NP=
AP﹣
BP=
(AP﹣BP)=
AB=7,
∴线段MN的长度不发生变化,其值为7.
8.解:
(1)由题意,得
AB=﹣10﹣(﹣24)=14,BC=10﹣(﹣10)=20.
故答案为:
14,20;
(2)答:
不变.
∵经过t秒后,A、B、C三点所对应的数分别是﹣24﹣t,﹣10+3t,10+7t,
∴BC=(10+7t)﹣(﹣10+3t)=4t+20,
AB=(﹣10+3t)﹣(﹣24﹣t)=4t+14,
∴BC﹣AB=(4t+20)﹣(4t+14)=6.
∴BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变.
(3)经过t秒后,P、Q两点所对应的数分别是﹣24+t,﹣24+3(t﹣14),
由﹣24+3(t﹣14)﹣(﹣24+t)=0解得t=21,
①当0<t≤14时,点Q还在点A处,
∴PQ═t,
②当14<t≤21时,点P在点Q的右边,
∴PQ=(﹣24+t)﹣[﹣24+3(t﹣14)]=﹣2t+42,
③当21<t≤34时,点Q在点P的右边,
∴PQ=[﹣24+3(t﹣14)]﹣(﹣24+t)=2t﹣42.
9.解:
(1)点B表示的数为6﹣20=﹣14,点P表示的数为6﹣4t;
故答案为:
﹣14;6﹣4t;
(2)分两种情况:
情况
(1)点P在B的右侧运动时,
∵点M是AP中点,点N是PB中点
∴PM=
AP,NP=
PB
∴PM+PN=
AP+
PB=
AB=
×20=10
∴MN=10
情况
(2)点P在点B的左侧运动时,
∵点M是AP中点,点N是PB中点
∴PM=
AP,NP=
PB
∴PM﹣PN=
AP﹣
PB=
AB=
×20=10
∴MN=10
以上两种情况,线段MN没有变化,长度为10
(3)分两种情况:
情况
(1)点R在点P的左侧
20+2t=4t+2解得t=9.
情况
(2)点R在点P的右侧
2+2t+20=4t解得t=11.
答:
9秒或11秒
10.解:
(1)①∵数轴上原点为O,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为5,
∴OA=1,OB=5,
而1<5,
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1.
故答案为1;
②点M表示的数为m,点A表示的数为﹣1,点B表示的数为5,
若点M到线段AB的“绝对距离”为3,则可分三种情况:
Ⅰ)当点M在点A的左边时,MA<MB,
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3,
∴﹣1﹣m=3,
∴m=﹣4,符合题意;
Ⅱ)当点M在点A、B之间时,
∵MA=m+1,MB=5﹣m,
如果m+1=3,那么m=2,此时5﹣m=3,符合题意;
Ⅲ)当点M在点B的右边时,MB<MA,
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3,
∴m﹣5=3,
∴m=8,符合题意;
综上,所求m的值为﹣4或2或8.
故答案为﹣4或2或8;
(2)点P运动到点A时需要的时间为:
秒,点B运动到点A时需要的时间为:
5秒,点P、点B相遇需要的时间为:
秒.
移动的时间为t(t>0)秒,点P表示的数为﹣6+2t,点B表示的数为2﹣t.
分四种情况:
①当0<t≤
时,PA<PB,
∵PA=﹣3﹣(﹣6+2t)=3﹣2t=2,
∴t=
,符合题意;
②当
<t≤
时,
PA=﹣6+2t﹣(﹣3)=2t﹣3,PB=2﹣t﹣(﹣6+2t)=8﹣3t,
如果2t﹣3=2,t=
,此时8﹣3t=
<2,不合题意,舍去;
如果8﹣3t=2,t=2,此时2t﹣3=1<2,不合题意,舍去;
③当
<t≤5时,PB<PA,
∵PB=(﹣6+2t)﹣(2﹣t)=3t﹣8=2,
∴t=
,符合题意;
④当t>5时,PA<PB,
∵PA=(﹣6+2t)﹣(﹣3)=2t﹣3=2,
∴t=
<5,不合题意,舍去.
综上,所求t的值为
或
.
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- 人教版 数学 年级 上册 一元一次方程 专项 提升 训练 数轴 综合 运用