1e5fab2e710abb68a98271fe910ef12d2bf9a961.docx
- 文档编号:14984456
- 上传时间:2023-06-29
- 格式:DOCX
- 页数:42
- 大小:245.28KB
1e5fab2e710abb68a98271fe910ef12d2bf9a961.docx
《1e5fab2e710abb68a98271fe910ef12d2bf9a961.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《1e5fab2e710abb68a98271fe910ef12d2bf9a961.docx(42页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高中数学函数的性质单调性奇偶性最值
函数的单调性和奇偶性
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数
上的单调性.
证明:
在(0,+∞)上任取x1、x2(x1≠x2),令△x=x2-x1>0
则
∵x1>0,x2>0,∴
∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0
∴
上递减.
总结升华:
[1]证明函数单调性要求使用定义;
[2]如何比较两个量的大小?
(作差)
[3]如何判断一个式子的符号?
(对差适当变形)
举一反三:
【变式1】用定义证明函数
上是减函数.
思路点拨:
本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径.
证明:
设x1,x2是区间
上的任意实数,且x1<x2,则
∵0<x1<x2≤1∴x1-x2<0,0<x1x2<1
∵0<x1x2<1
故
,即f(x1)-f(x2)>0
∴x1<x2时有f(x1)>f(x2)
上是减函数.
总结升华:
可以用同样的方法证明此函数在
上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2.判断下列函数的单调区间;
(1)y=x2-3|x|+2;
(2)
解:
(1)由图象对称性,画出草图
∴f(x)在
上递减,在
上递减,在
上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在
上递增.
举一反三:
【变式1】求下列函数的单调区间:
(1)y=|x+1|;
(2)
(3)
.
解:
(1)
画出函数图象,
∴函数的减区间为
,函数的增区间为(-1,+∞);
(2)定义域为
,
其中u=2x-1为增函数,
在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,
则
上为减函数;
(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
单调增区间为:
(-∞,0),单调减区间为(0,+∞).
总结升华:
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间;
[2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析:
先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:
内外层函数同向变化
复合函数为增函数;内外层函数反向变化
复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
3.已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与
的大小.
解:
又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则
.
4.求下列函数值域:
(1)
;1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);
(2)y=x2-2x+3; 1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2].
思路点拨:
(1)可应用函数的单调性;
(2)数形结合.
解:
(1)
2个单位,再上移2个单位得到,如图
1)f(x)在[5,10]上单增,
;
2)
;
(2)画出草图
1)y∈[f
(1),f(-1)]即[2,6];
2)
.
举一反三:
【变式1】已知函数
.
(1)判断函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.
思路点拨:
这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即可得到我们相对熟悉的形式.
,第二问即是利用单调性求函数值域.
解:
(1)
上单调递增,在
上单调递增;
(2)
故函数f(x)在[1,3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值,f
(1)=-2
x=3时f(x)有最大值
∴x∈[1,3]时f(x)的值域为
.
5.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间
上是增函数,求:
(1)实数a的取值范围;
(2)f
(2)的取值范围.
解:
(1)∵对称轴
是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知
只需
;
(2)∵f
(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2,∴-2a≥-4
∴f
(2)=-2a+11≥-4+11=7
.
类型四、判断函数的奇偶性
6.判断下列函数的奇偶性:
(1)
(2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6)
(7)
思路点拨:
根据函数的奇偶性的定义进行判断.
解:
(1)∵f(x)的定义域为
,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;
(2)∵x-1≥0,∴f(x)定义域
不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数;
(3)对任意x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x),则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数;
(4)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;
(5)
,∴f(x)为奇函数;
(6)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;
(7)
,∴f(x)为奇函数.
举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性:
(1)
;
(2)f(x)=|x+1|-|x-1|; (3)f(x)=x2+x+1;
(4)
.
思路点拨:
利用函数奇偶性的定义进行判断.
解:
(1)
;
(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)∴f(x)为奇函数;
(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1
∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)为非奇非偶函数;
(4)任取x>0则-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0,则-x>0f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时,f(0)=-f(0)∴x∈R时,f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数.
举一反三:
【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:
f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
证明:
设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f
(2).
解:
法一:
∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50∴f
(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二:
令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g
(2)∴f(-2)+8=-f
(2)-8
∴f
(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
8.f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画出函数图象.
解:
∵奇函数图象关于原点对称,∴x>0时,-y=(-x)2-(-x)
即y=-x2-x又f(0)=0,
,如图
9.设定义在[-3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a-1)<f(a)时,求a的取值范围.
解:
∵f(a-1)<f(a)∴f(|a-1|)<f(|a|)
而|a-1|,|a|∈[0,3]
.
类型六、综合问题
10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间
的图象与f(x)的图象重合,
设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).
答案:
①③.
11.求下列函数的值域:
(1)
(2)
(3)
思路点拨:
(1)中函数为二次函数开方,可先求出二次函数值域;
(2)由单调性求值域,此题也可换元解决;(3)单调性无法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t范围.
解:
(1)
;
(2)
经观察知,
,
;
(3)令
.
12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[-1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.
解:
(1)∵f(x)=(x-a)2-1∴a≤0或a≥2
(2)1°当a<-1时,如图1,g(a)=f(-1)=a2+2a
2°当-1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=-1
3°当a>1时,如图3,g(a)=f
(1)=a2-2a
,如图
13.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f
(2)=1,且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y),解不等式:
f(x)+f(x-2)≤3.
解:
令x=2,y=2,∴f(2×2)=f
(2)+f
(2)=2∴f(4)=2
再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f
(2)=2+1=3∴f(8)=3
∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为:
f[x(x-2)]≤f(8)
.
14.判断函数
上的单调性,并证明.
证明:
任取0<x1<x2,
∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1·x2>0
(1)当
时
0<x1·x2<1,∴x1·x2-1<0
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)
上是减函数.
(2)当x1,x2∈(1,+∞)时,
上是增函数.
难点:
x1·x2-1的符号的确定,如何分段.
15.设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.
解:
当a=0时,f(x)=x2+|x|+1,此时函数为偶函数;
当a≠0时,f(x)=x2+|x-a|+1,为非奇非偶函数.
(1)当x≥a时,
[1]
且
[2]
上单调递增,
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当x<a时,
[1]
上单调递减,
上的最小值为f(a)=a2+1
[2]
上的最小值为
综上:
.
学习成果测评
基础达标
一、选择题
1.下面说法正确的选项()
A.函数的单调区间就是函数的定义域
B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2.在区间
上为增函数的是()
A.
B.
C.
D.
3.已知函数
为偶函数,则
的值是()
A.
B.
C.
D.
4.若偶函数
在
上是增函数,则下列关系式中成立的是()
A.
B.
C.
D.
5.如果奇函数
在区间
上是增函数且最大值为
,那么
在区间
上是()
A.增函数且最小值是
B.增函数且最大值是
C.减函数且最大值是
D.减函数且最小值是
6.设
是定义在
上的一个函数,则函数
,在
上一定是()
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数.
7.下列函数中,在区间
上是增函数的是()
A.
B.
C.
D.
8.函数f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上是减函数,则()
A.f(3)+f(4)>0 B.f(-3)-f
(2)<0 C.f(-2)+f(-5)<0 D.f(4)-f(-1)>0
二、填空题
1.设奇函数
的定义域为
,若当
时,
的图象
如右图,则不等式
的解是____________.
2.函数
的值域是____________.
3.已知
,则函数
的值域是____________.
4.若函数
是偶函数,则
的递减区间是____________.
5.函数
在R上为奇函数,且
,则当
,
____________.
三、解答题
1.判断一次函数
反比例函数
,二次函数
的单调性.
2.已知函数
的定义域为
,且同时满足下列条件:
(1)
是奇函数;
(2)
在定义域上
单调递减;(3)
求
的取值范围.
3.利用函数的单调性求函数
的值域;
4.已知函数
.
①当
时,求函数的最大值和最小值;
②求实数
的取值范围,使
在区间
上是单调函数.
能力提升
一、选择题
1.下列判断正确的是()
A.函数
是奇函数 B.函数
是偶函数
C.函数
是非奇非偶函数 D.函数
既是奇函数又是偶函数
2.若函数
在
上是单调函数,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
3.函数
的值域为()
A.
B.
C.
D.
4.已知函数
在区间
上是减函数,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
5.下列四个命题:
(1)函数
在
时是增函数,
也是增函数,所以
是增函数;
(2)若
函数
与
轴没有交点,则
且
;(3)
的递增区间
为
;(4)
和
表示相等函数.
其中正确命题的个数是()
A.
B.
C.
D.
6.定义在R上的偶函数
,满足
,且在区间
上为递增,则()
A.
B.
C.
D.
二、填空题
1.函数
的单调递减区间是____________________.
2.已知定义在
上的奇函数
,当
时,
,那么
时,
______.
3.若函数
在
上是奇函数,则
的解析式为________.
4.奇函数
在区间
上是增函数,在区间
上的最大值为8,最小值为-1,
则
__________.
5.若函数
在
上是减函数,则
的取值范围为__________.
三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)
2.已知函数
的定义域为
,且对任意
,都有
,且当
时,
恒成立,证明:
(1)函数
是
上的减函数;
(2)函数
是奇函数.
3.设函数
与
的定义域是
且
,
是偶函数,
是奇函数,且
,求
和
的解析式.
4.设
为实数,函数
,
.
(1)讨论
的奇偶性;
(2)求
的最小值.
综合探究
1.已知函数
,
,则
的奇偶性依次
为()
A.偶函数,奇函数 B.奇函数,偶函数
C.偶函数,偶函数 D.奇函数,奇函数
2.若
是偶函数,其定义域为
,且在
上是减函数,则
的
大小关系是()
A.
>
B.
<
C.
D.
3.已知
,那么
=_____.
4.若
在区间
上是增函数,则
的取值范围是________.
5.已知函数
的定义域是
,且满足
,
,如果对于
,都有
,
(1)求
;
(2)解不等式
.
6.当
时,求函数
的最小值.
7.已知
在区间
内有一最大值
,求
的值.
8.已知函数
的最大值不大于
,又当
,求
的值.
答案与解析
基础达标
一、选择题
1.C.
2.B.
3.B.奇次项系数为
4.D.
5.A.奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性
6.A.
7.A.
在
上递减,
在
上递减,
在
上递减
8.D.
二、填空题
1.
.奇函数关于原点对称,补足左边的图象
2.
.
是
的增函数,当
时,
3.
.该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数值最大
4.
.
5.
.
三、解答题
1.解:
当
,
在
是增函数,当
,
在
是减函数;
当
,
在
是减函数,
当
,
在
是增函数;
当
,
在
是减函数,在
是增函数,
当
,
在
是增函数,在
是减函数.
2.解:
,则
,
3.解:
,显然
是
的增函数,
,
4.解:
对称轴
∴
(2)对称轴
当
或
时,
在
上单调
∴
或
.
能力提升
一、选择题
1.C.选项A中的
而
有意义,非关于原点对称,选项B中的
而
有意义,非关于原点对称,选项D中的函数仅为偶函数;
2.C.对称轴
,则
,或
,得
,或
3.B.
,
是
的减函数,当
4.A.对称轴
5.A.
(1)反例
;
(2)不一定
,开口向下也可;(3)画出图象
可知,递增区间有
和
;(4)对应法则不同
6.A.
二、填空题
1.
.画出图象
2.
.设
,则
,
,
∵
∴
,
3.
.
∵
∴
即
4.
.
在区间
上也为递增函数,即
5.
.
.
三、解答题
1.解:
(1)定义域为
,则
,
∵
∴
为奇函数.
(2)∵
且
∴
既是奇函数又是偶函数.
2.证明:
(1)设
,则
,而
∴
∴函数
是
上的减函数;
(2)由
得
即
,而
∴
,即函数
是奇函数.
3.解:
∵
是偶函数,
是奇函数,∴
,且
而
,得
,
即
,
∴
,
.
4.解:
(1)当
时,
为偶函数,
当
时,
为非奇非偶函数;
(2)当
时,
当
时,
,
当
时,
不存在;
当
时,
当
时,
,
当
时,
.
综合探究
1.D.
,
画出
的图象可观察到它关于原点对称或当
时,
,
则
当
时,
,则
2.C.
,
3.
.
,
4.
.设
则
,而
,则
5.解:
(1)令
,则
(2)
,
则
.
6.解:
对称轴
当
,即
时,
是
的递增区间,
; 当
,即
时,
是
的递减区间,
; 当
,即
时,
.
7.解:
对称轴
,当
即
时,
是
的递减区间,
则
,得
或
,而
,即
;
当
即
时,
是
的递增区间,则
, 得
或
,而
,即
不存在;当
即
时, 则
,即
;∴
或
. 8.解:
,
对称轴
,当
时,
是
的递减区间,而
,
即
与
矛盾,即不存在;
当
时,对称轴
,而
,且
即
,而
,即
∴
.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- e5fab2e710abb68a98271fe910ef12d2bf9a961