初三上月考卷福州一中学年第一学期初三数学综合测试二一元二次方程旋转函数圆.docx
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初三上月考卷福州一中学年第一学期初三数学综合测试二一元二次方程旋转函数圆
福州一中2016-2017学年第一学期初三数学综合测试二
(完卷时间100分钟,满分150分)(一元二次方程,旋转,二次函数,圆)
一.选择题(第小题4分,共10小题)
1.一元二次方程x(x﹣1)=0的解是( )
A.x=0 B.x=1 C.x=0或x=1 D.x=0或x=-1
2.下列图形中,既是轴对称又是中心对称的图形是( )
ABCD
3.如图,正三角形ABC内接于圆O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A,B重合,则∠BPC等于( )
A.30° B.60° C.90° D.45°
4.正三角形ABC的内切圆半径为1,则△ABC的边长是( )
A.
B.2
C.2 D.4
5.如图,两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,弦AB与小圆相切于点C,则AB=( )
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
6.若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=100°,则弦AB所对的圆周角的度数为( )
A.50 B.130 C.40 D.50或130
第3题 第4题 第5题
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x
…
﹣3
-2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
-8
-9
﹣5
7
…
则这个函数图象的对称轴是( )
A.直线x=1 B.直线x=-2 C.直线x=2 D.直线x=-8
8.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
9.如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点.若PB切⊙O于点B,则PB的最小值是( )
第8题 第9题
A.
B.
C.3 D.2
10.已知二次函数y=x2﹣x+
,当自变量x取m时,对应的函数值小于0,当自变量x取m﹣1、m+1时,对应的函数值为y1、y2,则y1、y2满足( )
A.y1>0,y2>0 B.y1<0,y2>0 C.y1<0,y2<0 D.y1>0,y2<0
二.填空题(每小题4分,共6小题)
11.将抛物线y=2x2向上平移3单位,得到的抛物线的解析式是 .
12.某小区2013年绿化面积为2000平方米,计划2015年绿化面积要达到2880平方米.如果每年绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是 .
13.圆内接四边形ABCD的内角∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,则∠D= 度.
14.已知k为实数,在平面直角坐标系中,点P(k2+1,k2﹣k+1)关于原点对称的点Q在第 象限.
15.如图,巳知AB是⊙O的一条直径,延长AB至C点,使得AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D.若CD=
,则线段BC的长度等于 .
16.一块三角形材料如图所示,∠A=∠B=60°,用这块材料剪出一个矩形DEFG,其中,点D,E分别在边AB,AC上,点F,G在边BC上.设DE=x,矩形DEFG的面积s与x之间的函数解析式是s=﹣
x2+
x,则AC的长是 .
第15题
第16题
三.解答题(共9小题,共86分)
17.解关于x的方程(本题满分10分)
(1)用配方法解方程:
x2-8x+1=0.
(2)
18.(本题满分6分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠CAB=35°,求∠ABC的度数
19.(本题满分8分)已知:
关于x的方程x2﹣4x+m=0.
(1)方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程的一个根是1,求m的值及另一个根.
20.(本题满分8分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)分别写出图中点A和点C的坐标;
(2)画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′;
(3)在
(2)的条件下,求点C旋转到点C′所经过的路线长(结果保留π).
21.(本题满分8分)如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知:
AB=24cm,CD=8cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求
(1)中所作圆的半径.
22.(本题满分12分)如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交于点D.
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2.求CD的长.
23.(本题满分12分)某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于50%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)的关系符合一次函数y=﹣x+140.
(1)直接写出销售单价x的取值范围.
(2)若销售该服装获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价为多少元时,可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若获得利润不低于1200元,试确定销售单价x的范围.
24.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图①,求证:
MN2=AM2+BN2;
思路点拨:
考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了.
请你完成证明过程:
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
25.(本题满分12分)如图,已知抛物线y=ax2+b经过点A(4,4)和点B(0,﹣4).C是x轴上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C在以AB为直径的圆上,求点C的坐标;
(3)将点A绕C点逆时针旋转90°得到点D,当点D在抛物线上时,求出所有满足条件的点C的坐标.
福州一中2016-2017学年第一学期初三数学综合测试二
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
B
B
D
D
A
C
B
A
二.填空题(共9小题)
11
1220%139014三151162
三.解答题(共9小题)
17.x1=4+
x2=4-
(2)x1=3x2=
18.【解答】解:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°,
∵∠CAB=35°,
∴∠ABC=90°﹣∠CAB=55°.
19.【解答】解:
由题意知,△=16﹣4m≥0
∴m≤4.
∴当m≤4时,关于x的方程x2﹣4x+m=0有实数根;
(2)把x=1代入得:
1﹣4+m=0,
解得:
m=3,
将m=3代入得:
x2﹣4x+3=0,解得:
x=1或x=3,
故m=3,方程的另一根为3.
20.
【解答】解:
(1)点A坐标为(1,3);点C坐标为(5,1);
(2)
(3)所经过的路线是以点A为圆心,以AC为半径的
圆,
∴经过的路线长为:
π×2×
=
π.
21.
【解答】解:
(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点,以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆,如图.
(2)连接OA,设OA=x,AD=12cm,OD=(x﹣8)cm,
则根据勾股定理列方程:
x2=122+(x﹣8)2,
解得:
x=13.
答:
圆的半径为13cm.
22.
【解答】解:
(1)CD与⊙O相切.理由如下:
如图,连接OC,
∵CA=CB,
∴
=
∴OC⊥AB,
∵CD∥AB,
∴OC⊥CD,
∵OC是半径,
∴CD与⊙O相切.
(2)∵CA=CB,∠ACB=120°,
∴∠ABC=30°,
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°,
∴OC=
OD
∵OA=OC=2,
∴D0=4,
∴CD=
=2
23.
【解答】解:
(1)60≤x≤90;…(3分)
(2)W=(x﹣60)(﹣x+140),…(4分)
=﹣x2+200x﹣8400,
=﹣(x﹣100)2+1600,…(5分)
抛物线的开口向下,∴当x<100时,W随x的增大而增大,
而60≤x≤90,∴当x=90时,W=﹣(90﹣100)2+1600=1500.
∴当销售单价定为90元时,可获得最大利润,最大利润是1500元.
(3)由W=1200,得1200=﹣x2+200x﹣8400,
整理得,x2﹣200x+9600=0,
解得,x1=80,x2=120,…(11分)
可知要使获得利润不低于1200元,销售单价应在80元到120元之间,
而60≤x≤90,
所以,销售单价x的范围是80≤x≤90.
24.
思路点拨:
考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了.
请你完成证明过程:
(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【分析】
(1)将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,证明△CDN≌△CBN,再利用勾股定理求出即可;
(2)将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,证明△CGN≌△CBN,进而利用勾股定理求出即可.
【解答】
(1)证明:
将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,
则△DCM≌△ACM.
有CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A.
又由CA=CB,得CD=CB.
由∠DCN=∠ECF﹣∠DCM=45°﹣∠DCM,
∠BCN=∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM=90°﹣45°﹣∠ACM,
得∠DCN=∠BCN.
又CN=CN,
∴△CDN≌△CBN.
∴DN=BN,∠CDN=∠B.
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.
∴在Rt△MDN中,由勾股定理,
得MN2=DM2+DN2.即MN2=AM2+BN2.
(2)关系式MN2=AM2+BN2仍然成立.
证明:
将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,
则△GCM≌△ACM.
有CG=CA,GM=AM,
∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM.
又由CA=CB,得CG=CB.
由∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°,
∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣(∠ECF﹣∠ACM)=45°+∠ACM.
得∠GCN=∠BCN.
又CN=CN,
∴△CGN≌△CBN.
有GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°,
∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°.
∴在Rt△MGN中,由勾股定理,
得MN2=GM2+GN2.即MN2=AM2+BN2.
【点评】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的证明,根据已知作出正确的辅助线是解题关键.
25.
【分析】
(1)根据抛物线y=ax2+b的图象经过点A(4,4)和点B(0,﹣4),利用待定系数法求解二次函数的解析式即可.
(2)过点A作AE⊥x轴于E,连接AB交x轴于点M,得到△OMB≌△EMA后得到MB=MA,OM=ME=
,然后求得线段MB的长后即可表示出点C的坐标;
(3)分点C在点(4,0)的右侧时和当点C在点(4,0)的左侧时两种情况分类讨论即可确定答案.
【解答】解:
(1)∵抛物线y=ax2+b的图象经过点A(4,4)和点B(0,﹣4),
∴
,解得:
,
∴抛物线的解析式为:
;…(3分)
(2)过点A作AE⊥x轴于E,连接AB交x轴于点M,
OB=AE=4,∠MOB=∠AEM=90°,∠OMB=∠AME,
∴在△OMB与△EMA中,
∴
∴△OMB≌△EMA,
∴MB=MA,OM=ME=
,
∴以M为圆心,MB为半径的⊙M,即为以AB为直径的圆.
由勾股定理得
,
∴点C的坐标为
,
.
(3)如图2,当点C在点(4,0)的右侧时,
作AE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴AC=DC,∠ACD=90°,即∠ACF+∠DCF=90°,
∵∠FDC+∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠FDC,
又∵∠DFC=∠AEC=90°,
在△DFC与△CEA中,
∴△DFC≌△CEA,
∴EC=DF,FC=AE,
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,
∴OF=CE,
∴OF=DF,
当点C与点(4,0)的重合时,点D与原点重合;
当点C在点(4,0)的左侧时,同理可得OF=DF;
∴综上所述,点D在直线y=﹣x的图象上.
设点C的坐标为(m,0),
则点D的坐标为(m﹣4,4﹣m),(13分)
又∵点D在抛物线
的图象上,
∴
,
解得:
m1=0,m2=6,
∴当点C的坐标为(6,0)或(0,0)时,
点D落在抛物线
的图象上.
【点评】本题考查了二次函数的综合知识,特别是题目中涉及到的分类讨论的数学思想更是中考中的高频考点,同时也是一个易错点.
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