高中数学二项分布及其应用知识点+练习.docx
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高中数学二项分布及其应用知识点+练习.docx
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高中数学二项分布及其应用知识点+练习
知识框架
二项分布及其应用
条件概率
\
事件的独立性
“
厂
丿
r~
]
厂
独立重复实验
二项分布
高考要求
二项分布及
其应用
要求层次
重难点
条件概率
A
了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.
事件的独立性
A
n次独立重复试验与二项分布
B
21山迄例题精讲
板块一:
条件概率
(一)知识内容
条件概率
对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)”来表示.把由事件A与B的交(或积),记做D=A“B(或D二AB).
(二)典例分析:
【例1】在10个球中有6个红球,4个白球(各不相同),不放回的依次摸出2个球,在第1次摸出
红球的条件下,第2次也摸出红球的概率是()
D.
【例2】某地区气象台统计,该地区下雨的概率是土,刮风的概率是2,既刮风又下雨的概率是丄,
151510
设A=刮风”,8=下雨”,求P(BA,P(AB).
【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7,活到25岁以上的概率为0.4,求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率.
【例4】把一枚硬币抛掷两次,事件A=第一次出现正面”,事件B=第二次出现反面”,
则P(BA)二.
【例5】抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为.
【例6】设某批产品有4%是废品,而合格品中的75%是一等品,
任取一件产品是一等品的概率是.
【例8】
甲、乙两班共有70名同学,其中女同学
40名•设甲班有30名同学,而女生15名,问在碰
【例7】掷两枚均匀的骰子,记A=点数不同”,8=至少有一个是6点”,求P(A|B)与P(B|A).
到甲班同学时,正好碰到一名女同学的概率
【例9】从1~100个整数中,任取一数,已知取出的一数是不大于50的数,求它是2或3的倍数的概率.
【例10】袋中装有2n_1个白球,2n个黑球,一次取出n个球,发现都是同一种颜色的,问这种颜色是黑色的概率是多少?
【例11】一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次从袋中各取一球(不放回)
⑴已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;
⑵已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率;
⑶已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的是白球的概率.
【例12】有两箱同类零件,第一箱内装50件,其中10件是一等品;第二箱内装30件,其中18件是一等品•现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回),试求:
⑴先取出的零件是一等品的概率;
⑵在先取出的零件是一等品的条件下后取出的仍然是一等品的概率.(保留三位有效数字)
【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7
份和5份•随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份,
⑴求先抽到的一份是女生表的概率p•
⑵己知后抽到的一份是男生表,求先抽到的是女生的概率q•
板块二:
事件的独立性
(一)知识内容
事件的独立性
如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即P(B|A)二P(B),这时,我们称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.
如果事件A,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(AP1A门…「代)二P(A)P(^)…P(An),并且上式中任意多个事件A换成其对立事件后等式仍成立.
(二)典例分析:
【例14】判断下列各对事件是否是相互独立事件
⑴容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球
⑵一筐内有6个苹果和3个梨,从中任意取出1个,取出的是苹果”与把取出的苹果放回筐子,再从筐子中任意取出1个,取出的是梨”.
⑶甲组3名男生、2名女生;乙组2名男生、3名女生,今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,从甲组中选出1名男生”与从乙组中选出1名女生”.
【例15】从甲口袋摸出一个红球的概率是
A.2个球不都是红球的概率
C.至少有一个红球的概率
1,从乙口袋中摸出一个红球的概率是丄,则-是(
323
B.2个球都是红球的概率
【例16】猎人在距离100m处射击一只野兔,
其命中率为-.如果第一次射击未命中,
2
则猎人进行第二
D.2个球中恰好有1个红球的概率
次射击,但距离为150m;如果第二次又未命中,则猎人进行第三次射击,但在射击瞬间距离野兔为200m•已知猎人命中率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率.
【例17】
如图,开关电路中,某段时间内,开关ab、c开或关的概率均为1,且是相互独立的,求
2
这段时间内灯亮的概率.
【例18】
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床
加工的零件不是一等品的概率为1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是
4
等品的概率为-,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
12
分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.
【例19】椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1
⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率;
⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.
【例20】某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰•已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4、3、?
、〕,且
5555
各轮问题能否正确回答互不影响.
⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率.
【例21】甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束•假设在一
局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立•已知前2局中,
甲、乙各胜1局.
⑴求再赛2局结束这次比赛的概率;
⑵求甲获得这次比赛胜利的概率.
【例22】纺织厂某车间内有三台机器,这三台机器在一天内不需工人维护的概率:
第一台为0.9,第
二台为0.8,第三台为0.85,问一天内:
⑴3台机器都要维护的概率是多少?
⑵其中恰有一台要维护的概率是多少?
⑶至少一台需要维护的概率是多少?
【例23】为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类•这三类工程所含项目的个数分别占总数的1,1,1•现有3名工人独立地从中任
236
选一个项目参与建设•求:
⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
【例24】甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为1和-,求:
34
⑴两个人都译出密码的概率;⑵两个人都译不出密码的概率;⑶恰有1个人译出密码的概率;
⑷至多1个人译出密码的概率;⑸至少1个人译出密码的概率.
【例25】从10位同学(其中6女,4男)中,随机选出3位参加测验,每位女同学能通过测验的概率均为4,每位男同学能通过测验的概率均为3,试求:
55
⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率;
⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到,且三人中恰有二人通过测验的概率.
【例26】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为1与p,且乙投球2次均
2
未命中的概率为—.
16
⑴求乙投球的命中率p;
⑵求甲投球2次,至少命中1次的概率;
⑶若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.
【例27】一汽车沿一街道行驶,需要通过三个设有红绿灯的路口,每个信号灯彼此独立工作,且红绿
灯信号显示时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯时已通过的路口个数,求X的分布列以
及该汽车首次遇到红灯时至少通过两个路口的概率.
【例28】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
⑴2人都射中的概率?
⑵2人中有1人射中的概率?
⑶2人至少有1人射中的概率?
⑷2人至多有1人射中的概率?
【例29】(07福建)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6,且每次试
跳成功与否相互之间没有影响,求:
⑴甲试跳三次,第三次才成功的概率;
⑵甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;
⑶甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
【例30】A、B两篮球队进行比赛,规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束(七局四胜制),A、B
两队在每场比赛中获胜的概率均为-,X为比赛需要的场数,求X的分布列及比赛至少要进2
行6场的概率.
【例31】已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物•血液化验结果
呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病•下面是两种化验方法:
方案甲:
逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:
先任取3只,将它们的血液混在一起化验•若结果呈阳性则表明患病动物为这3只
中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2
只中任取1只化验.
求依方案甲、乙分别所需化验次数的分布列以及方案甲所需化验次数不少于方案乙所需化验次数的概率.
【例32】为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,
单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表:
预防措施
甲
乙
丙
丁
P
P0.9
0.8
0.7
0.6「
费用(万元)
90
60
30
10
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元的前
提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.
【例33】某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:
考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:
在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c,且三门课程考试是否及格相
互之间没有影响.
⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(说明理由)
⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.
板块三:
独立重复试验与二项分
(一)知识内容
1.独立重复试验
如果每次试验,只考虑有两个可能的结果A及A,并且事件A发生的概率相同.在相同的条件下,
重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就称它们为n次独立重复试验.
n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为R(k)=丄pk(1—p)n±(k=0,1,2,山,n).
2.二项分布
若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q"-p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率是P(X=k)=Vpkqn±,其中k=0,1,2,H|,n.
于是得到X的分布列
X
0
1
…
k
…
n
P
—00n
Cnpq
_11n1
Cnpq_
…
_kknk
Cnpq_
…
—nn0
Cnpq
由于表中的第二行恰好是二项展开式(q+p)n=疋p°qn+C:
p1qn」+||)+C:
pkqn上坤|C:
pnq0各对应
项的值,所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).
(二)典例分析:
【例1】某人参加一次考试,4道题中解对3道则为及格,已知他的解题正确率为0.4,
则他能及格的概率为(保留到小数点后两位小数)
【例2】某篮球运动员在三分线投球的命中率是-,他投球10次,恰好投进3个球的概率.(用
2
数值表示)
【例3】接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80,现有5人接种了该疫苗,至少有3人出现发热
【例4】
甲乙两人进行围棋比赛,
局比赛获胜的概率均为
比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每
-,则甲以3:
1的比分获胜的概率为()
3
A.-8
27
B.64
81
C.-
9
反应的概率为.(精确到0.01)
【例5】一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型号的自动机床
各自独立工作,则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是()
A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728
【例6】某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买•根据以往资料统计,顾客采用
一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;
若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.
⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
⑵求3位位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.
【例7】某万国家具城进行促销活动,促销方案是:
顾客每消费1000元,便可获得奖券一张,每张奖
券中奖的概率为1,若中奖,贝V家具城返还顾客现金200元•某顾客消费了3400元,得到3
5
张奖券.
⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率;
⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.
【例8】某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株•设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为
5和4,且各株大树是否成活互不影响•求移栽的4株大树中:
65
⑴至少有1株成活的概率;
⑵两种大树各成活1株的概率.
【例9】一个口袋中装有n个红球(n》5且「N*)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则为中奖.
⑴试用n表示一次摸奖中奖的概率p;
⑵若n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率;
⑶记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P•当n取多少时,P最大?
【例10】已知随机变量•服从二项分布,
1
~B(4,-),贝VPC=2)等于
3
【例12】从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到
两次次品的概率(结果保留2位有效数字).
[例13】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是-,从B中摸出
3
个红球的概率为p.
⑴从A中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.
1求恰好摸5次停止的概率;
2记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布.
⑵若A,B两个袋子中的球数之比为1:
2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的
概率是-,求p的值.
5
【例14】设在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若已知事件A至少发生一次的概率等于65,求事件A在一次试验中发生的概率.
81
【例15】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰,至少有2枚鱼雷击中敌舰时,敌舰才被击沉•如果每枚鱼雷的
命中率都是0.6,当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射I枚鱼雷后,求敌舰被击沉的概率(结果保留2位有效数字).
【例16】某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中的任意连续取出2件,求次品
数'的概率分布列及至少有一件次品的概率.
【例17】某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行
评审•假设评审结果为支持”或不支持”的概率都是-.若某人获得两个支持”则给予10万
2
元的创业资助;若只获得一个支持”则给予5万元的资助;若未获得支持”则不予资助.求:
⑴该公司的资助总额为零的概率;
⑵该公司的资助总额超过15万元的概率.
【例18】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8,他射击3次,恰好2次击中目标的概率是多
少?
【例19】设飞机A有两个发动机,飞机B有四个发动机,如有半数或半数以上的发动机没有故障,就
【例20】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1-P,且各发动机互不影响.如果至少50%
的发动机能正常运行,飞机就可以顺利地飞行•问对于多大的P而言,四发动机飞机比二发
动机飞机更安全?
【例21】一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯
的事件是相互独立的,并且概率都是1•
3
⑴设•为这名学生在途中遇到红灯的次数,求的分布列;
⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数,求的分布列;
⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
【例22】一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数丄为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求ij•
【例23】某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位)⑴5次预报中恰有2次准确的概率;
⑵5次预报中至少有2次准确的概率;
⑶5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率;
【例24】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位
乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为-,求至少有两位乘客在20层下的概
3
率.
【例25】10个球中有一个红球,有放回的抽取,每次取一球,求直到第n次才取得k(k 概率. 【例26】某车间为保证设备正常工作,要配备适量的维修工•设各台设备发生的故障是相互独立的,且每台设备发生故障的概率都是0.01•试求: ⑴若由一个人负责维修20台,求设备发生故障而不能及时维修的概率;⑵若由3个人共同负责维修80台设备,求设备发生故障而不能及时维修的概率,并进行比较说明哪种效率高. 【例27】A,B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组 成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效•若在一个试验组中,服用A有效的小 白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为 2,服用B有效的概率为丄•观察3个试验组,求至少有1个甲类组的概率.(结果保留四 32 位有效数字) 【例28】已知甲投篮的命中率是0.9,乙投篮的命中率是0.8,两人每次投篮都不受影响,求投篮3次 甲胜乙的概率.(保留两位有效数字) 【变式】若甲、乙投篮的命中率都是p=0.5,求投篮n次甲胜乙的概率.(n・N,n>1) [例29】省工商局于某年3月份,对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查,结果显示,某种刚进 入市场的x饮料的合格率为80%,现有甲,乙,丙3人聚会,选用6瓶x饮料,并限定每人喝2瓶,求: ⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率; ⑵甲,乙,丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率(精确到0.01). 【例30】在一次考试中出了六道是非题,正确的记“v号,不正确的记“X号.若某考生随手记上六个 符号,试求: ⑴全部是正确的概率; ⑵正确解答不少于4道的概率;⑶至少答对2道题的概率. 【例31】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛,校队的实力比系队强,当一个校队队员 与系队队员比赛时,校队队员获胜的概率为0.6. 现在校、系双方商量对抗赛的方式,提出了三种方案: ⑴双方各出3人;⑵双方各出5人; ⑶双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利. 问: 对系队来说,哪一种方案最有利? 右单板块四: 二项分布的期望与方 (一)知识内容 二项分布的均值与方差: 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,则E(X)二np,D(x)二npq(q=1一p). (二)典例分析: 【例32】一盒子内装有10个乒乓球,其中3个旧的,7个新的,每次取一球,取后放回,取4次,则取到新球的个数的期望值是. 【例33】同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为',则的数学期望是() A.20B.25C.30D.40 【例34】已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为() A.10和0.8B.20和0.4C.10和0.2D.100和0.8 【例35】某服务部门有n个服务对象,每个服务对象是否需要服务是独立的,若每个服务对象一天中 A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p) 需要服务的可能性是p,则该部门一天中平均需要服务的对象个数是() 【例36】已知随机变量X服从参数为6,0.4的二项分布,则它的期望E(X)=,方差 D(X)=• 【例37】已知随机变量X服从二项分布,且E(J=2.4,D(J=1.44,则二项分布的参数n,p的值分 别为、• 【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是•(用数字作答) 【例39】已知X~B(10,0.8),求E(X)与D(X)• 【例40】同时抛掷4枚均匀硬币80次,设4枚硬币正好出现2枚正面向上,2枚反面向上的次数为',则的数学期望是() A•20B.25C.30D.40 【例41】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是丄,2,丄• 352 ⑴现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率; ⑵用•表示乙投篮3次的进球数,求随机变量•的概率分布及数学期望. 【例42】抛掷两个骰子,当至少有一个2点或3点出现时,就说这次试验成功.⑴求一次试验中成功的概率; ⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差. 【例43】某寻呼台共有客户3000人,若寻呼台准备了100份小礼品,邀请客户在指定时间来领取•假 设任一客户去领奖的概率为4%•问: 寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请? 若能使每一 位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少礼品? 【例44】某批数量较大的商品的次品率是5%,从中任意地连续取出10件,X为所含次品的个数,求 E(X)• 【例45】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人 员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参 加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. ⑴任选1名下岗人员,求该人参加过培
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- 高中数学 二项分布 及其 应用 知识点 练习