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泊松分布及其应用研究
科技大学
信息与电气工程学院
《课程论文》
目:
泊松分布及其应用研究
业:
通信工程
级:
13级3班
名:
黄夏妮
号:
1304040322
1.摘要
2.泊松分布的概念
3.计数过程为广义的泊松过程
4.泊松分布及泊松分布增量
5.泊松分布的特征
6.泊松分布的应用
7.
12
基于MATLAB的泊松过程仿真
As参考文献
摘要
作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。
服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛•如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学.概率论等等。
并且在某些函数关系起着一种重要作用。
例如线性的.指数的、三角函数的等等。
同样,在为观察现象构造确定性模型时,某些概率分布也经常出现。
泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型•它具有很多性质。
为此本文讲述了泊松分布的一些性质,并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
二、泊松分布的概念:
定义1设随机变量X的可能取值为0J2…,且
k
P{X=H=L"K=O」2・・・M>O为常数。
则称X服从参数为入的泊松分布,记作X〜D(X)O
定义2设£是任意一个随机变量,称0(t)=^C8 征函数。 主要结论: 定理1如果X是一个具有以入为参数的泊松分布,则E(X)=X且D 证明设X是一随机变量,若E{[X-E(X)]-}存在,则称它为X的方差,记作D(X),即D(X)=E{[X-E(X)]-}O设X服从泊松分布D(X),即 有: P{X=k}=—=0,1,2, »3女》3上T 则e(x)=I: £""矿迄厲=荷"/=几 *=0K! 21\K—1/ 00jX 从而E(仔事h电計扩+Z吕-F+彳故D(X)=E(X')-E(X)'=/l'+/l-/l-=/l 定理2设随机变量Xn(n=12,…)服从二项分布,其分布律为 P{$严好=(? ;;龙(1一几)i,R=0」2…川。 2* 又设卄“0是常数,则鯉叭皿肓小 显然,当k=0时,故P{Xn=k}T/。 当k且kf8时,有 从而P{x”=灯->务*儿,故limP{x„=k}=^e~^ k\k\ 定理3设以是服从参数为入的泊松分布的随机向量•则: p入—ALVX 77 J♦ 证明已知钗的特征函数为知(“=/(严),故〃=(説-几)/販的特征函数为: 对任意的—有戶=1+令一缶+£”Too)。 从而对任意的点列A.TO0,有烈g/)=厂但是纟亍是N(0,1)分布的特征函数,由于分布函数列伉⑴}弱收敛于 分布函数尸(X)的充要条件是相应的特征函数列{cPn(t)}收敛于 又因为血是可以任意选取的,这就意味着 limP 2->x 匸血成立。 三、计数过程为广义的泊松过程 1•计数过程 设为XT={N(t)2T=lQs)}—随机过程,如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足S Xt={N(A2T=[0,8)}为计数过程。 将增量N(t)-N(to)=△"(",0,0<5 “在[t't)出现k个质点”,即(N(t,,t)=k}是一随机事件,其概率记为Pk(t,,t)=P(N(t,,t)=k},k=O,l,2…总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。 2.泊松过程 计数过程{N(t),teO}称为强度为入的泊松过程,如果满足条件: (1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性; (2)N(0)=0: ⑶对于充分小的P,(l,l+At)=P{N(t,t+Al)=l}=/tAt+O(Al),其中常数久>0,称为过程N⑴的强度。 (4)对于充分小的At XX 工巧(r,『+&)=YP{N(r,『+&)"}=o(d) j=2j=2 亦即对于充分小的AZ,在(Z,Z+A/)或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。 了解泊松过程,就很容易去了解泊松分布的相关性质,其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔出现质点数目的计数。 四、泊松分布及泊松分布增量 1.泊松分布产生的一般条件 在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。 若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流(泊松流)。 例如一放射性源放射出的a粒子数;某交换台收到的呼叫数;到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。 2•泊松分布及泊松分布增量的概率 (1)泊松分布的概率: 对泊松流,在任意时间间隔(0,t),事件出现的次数服从参数为nt的泊松分布,入称为泊松流的强度。 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为: P(X=k)=e•人一,k=(U,2…其中兄>0是常数,则称X服从参数为X的泊k'・ 松分布,记作X〜P(入)。 (2)泊过分布增量的概率: Pu(to,t)=P{N(to,t)=k}=W: Y"e从5,t>to,k=O,12- K} 由上式易知增量N(to,t)=N(t)-N(to)的概率分布是参数=2(t-lo)的泊松分布,且只与时间f-G有关。 3.泊松分布的期望和方差: 由泊松分布知ElN(t)-N(t„)]=D[N(t)-N(to)]=/l(t-t„) 特别地,令山=0,由于假设N(0)二0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为: E|N(t)|=/ll.D[N(t)l=xt, 泊松过程的强度入(常数)等于单位长时间间隔出现的质点数目的期望值。 即对泊松分布有: E(X)=D(X)=/l 五、泊松分布的特征 (1)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。 要观察到这类事件,样本含量n必须很大。 (2)2是泊松分布所依赖的唯一参数。 2值愈小,分布愈偏倚,随着几 的增大,分布趋于对称。 (3)当兄=20时分布泊松分布接近于正态分布;当兄=50时,可以认为泊松分布呈正态分布。 在实际工作中,当2^20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。 六、泊松分布的应用 1)二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件,即每次试验中 事件出现的概率P很小,而贝努里试验的次数n很大时,事件发生的概率。 例1通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为P=0.0001,假设在某路段时间有1000辆汽车通过此路口,试求在此时间发生事故次数X的概率分布和发生2次以上事故的概率。 分析首先在某时间段发生事故是属于稀有事件,观察通过路口的 1000辆汽车发生事故与否,可视为是n=1000次伯努里试验,出现事故 的概率为P二0.0001,因此X是服从二项分布的,即X~8(1000,0.0001)。 Q=p(x>2}=l-p(x=O}-p{x=! }=! -0,9999'她・1000x0.0001xO.9999网由于n=1000很大,且P=0.0001很小,上面的式子计算工作量很大, 则可以用: 求近似•注意到np=I(X)OxO.OOOl=O,H故有 P22}"罟严晋严“004. 2)泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现频数的概率。 这里的 频数指在相同条件下,进行大量试验,在这大量试验中,稀有事件发 生的次数。 例2已知患色盲者占0.25%,试求: ①为发现一例色盲者至少要检查25人的概率;②为使发现色盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的辨色力进行检查? 分析设X表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数,则 X-0(0-0025)O X*・25 解p{x>25}=为p(l・P)=(1-/? )'■*=(0.9975尸a0.94k・25 设至少对n个人的辨色能力进行检查,于是p{xWri}M0・9。 从而: XA-1XA-I p{x k=I 由彳S舲"9嗣•因此至少要检查920人。 七、基于MATLAB的泊松过程仿真 1、首先我们建立一个poisson函数,即poisson.m: functionpoisson(m)%Thisfunctioncanhelpustosimulatepoissonprocesses. %Ifyougivemaintegerlike123andsoon,thenyouwill %afiguretoillustratethemsampletracesoftheprocess. rand(*state',0): %复位伪随机序列发生器为0状态 K=10;%设置计数值为10 %m=6;%设置样本个数 color=char('r+*/b+','g+\*m+'/c+'): %不同的轨道采用不同的颜色表示 1ambda=1;%设置到达速率为1 forn=l: m u=rand(bK);%产生服从均匀分布的序列 T=zeros(bK+i);%长生K+1维随机时间全零向量 k=zeros(bK+l);%产生K+1维随机变量全零向量 forj=l: K T(j+l)=T(j)-log(u(j))/lambda;%计算到达时间 end fori=l: Kplot([T(i): 0.001: T(i+l)]Jk(i): k(i)].color(n.[1,2]));holdon;endend2、下面我们在命令窗口键入以下命令: clear;poisson(l); 就可以得到一条样本轨道,如下所示: 键入poisson (2),得到的图如下: 键入poisson(3)•得到的图如下: 键入poisson(4).仿真结果: 键入poisson(5),仿真结果: 键入poissonl(6),仿真结果: 八、参考文献 [1]宗舒等-概率论与数理统计教程[M]•高等教育・1983.10. [2]复旦大学编.概率论(第一册)-概率论基础[M]・人民教育出 社.1979. [3]王梓坤-概率论基础及应用[M]•科学1976.9. [4]孝瑞,邓集贤1概率引论及数理统计应用[M]1: 髙等教育, 19861
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