12命题及其关系充要条件.docx
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12命题及其关系充要条件
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,但q
p,则p是q的充分不必要条件;
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;
(4)如果q⇒p,且p
q,则p是q的必要不充分条件;
(5)如果p
q,且q
p,则p是q的既不充分又不必要条件.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)命题“α=
,则tanα=1”的否命题是“若α=
,则tanα≠1”.( × )
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.(2015·山东)若m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
答案 D
解析 原命题为“若p,则q”,则其逆否命题为“若綈q,则綈p”.
∴所求命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
2.已知命题p:
若x=-1,则向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.2C.3D.4
答案 B
解析 向量a,b共线⇔x-x(x+2)=0⇔x=0或x=-1,
∴命题p为真,其逆命题为假,
故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2.
3.(2015·重庆)“x>1”是“
”的( )
A.充要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 x>1⇒x+2>3⇒
,
⇒x+2>1⇒x>-1,故“x>1”是“
”成立的充分不必要条件.因此选B.
4.若a,b为实数,则“0 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D ;当a>0,b<0时,由b< 得到ab<0,因此“0 ”的既不充分也不必要条件.故选D. 5.(教材改编)下列命题: ①x=2是x2-4x+4=0的必要不充分条件; ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件; ③sinα=sinβ是α=β的充要条件; ④ab≠0是a≠0的充分不必要条件. 其中为真命题的是________(填序号). 答案 ②④ 题型一 命题及其关系 例1 (1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数“的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 (2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”. (2)先证原命题为真: 当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|= , ∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假: 取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q“形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. (1)命题“若α= ,则cosα= ”的逆命题是( ) A.若α= ,则cosα≠ B.若α≠ ,则cosα≠ C.若cosα= ,则α= D.若cosα≠ ,则α≠ (2)命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( ) A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0 B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0 C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0 D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0 答案 (1)C (2)D 解析 (1)命题“若α= ,则cosα= ”的逆命题是“若cosα= ,则α= ”. (2)“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D. 题型二 充分必要条件的判定 例2 (1)(2015·四川)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (2)“a>0,b>0”是“ + ≥2”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 (1)B (2)A 解析 (1)根据指数函数的单调性得出a,b的大小关系,然后进行判断. ∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时loga3 ,b= 时,loga3 (2)若a>0,b>0,则根据基本不等式可得 + ≥2;反之, + ≥2,则ab>0,不一定有a>0,b>0.故“a>0,b>0”是“ + ≥2”的充分不必要条件.故选A. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断; (2)集合法: 根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的某种条件. (1)(2015·陕西)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)若命题p: φ= +kπ,k∈Z,命题q: f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则p是q的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A 解析 (1)∵sinα=cosα⇒cos2α=cos2α-sin2α=0;cos2α=0⇔cosα=±sinα sinα=cosα,故选A. (2)当φ= +kπ,k∈Z时,f(x)=±cosωx是偶函数,所以p是q的充分条件;若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则sinφ=±1,即φ= +kπ,k∈Z,所以p是q的必要条件,故p是q的充要条件,故选A. 题型三 充分必要条件的应用 例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 ∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, ∴ ∴ 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 2.本例条件不变,若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}, ∵綈P是綈S的必要不充分条件, ∴P⇒S且S P.∴[-2,10][1-m,1+m]. ∴ 或 ∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. (1)ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( ) A.0 C.a≤1D.0 (2)已知条件p: 2x2-3x+1≤0,条件q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若 p是 q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 (1)C (2) 解析 (1)方法一 当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根. 当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1. 设此时方程的两根分别为x1,x2, 则x1+x2=- ,x1x2= , 当只有一个负实根时, ⇒a<0; 当有两个负实根时, 综上所述,a≤1. 方法二 (排除法)当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B. (2)命题p为 , 命题q为{x|a≤x≤a+1}. 綈p对应的集合A={x|x>1或x< }, 綈q对应的集合B={x|x>a+1或x ∵綈p是綈q的必要不充分条件, ∴ 或 ∴0≤a≤ . 1.等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)已知p: (a-1)2≤1,q: ∀x∈R,ax2-ax+1≥0,则p是q成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p: x2+2x-3>0;条件q: x>a,且 q的一个充分不必要条件是 p,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,1] C.[-1,+∞)D.(-∞,-3] 解析 (1)由(a-1)2≤1解得0≤a≤2,∴p: 0≤a≤2. 当a=0时,ax2-ax+1≥0对∀x∈R恒成立; 当a≠0时,由 得0 ∴q: 0≤a≤4. ∴p是q成立的充分不必要条件. (2)由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件. ∴{x|x>a}{x|x<-3或x>1},∴a≥1. 答案 (1)A (2)A 温馨提醒 (1)本题用到的等价转化 ①将綈p,綈q之间的关系转化成p,q之间的关系. ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题,在解题中经常用到. [方法与技巧] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法: 直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法: 即利用A⇒B与綈B⇒綈A;B⇒A与綈A⇒綈B;A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断: 设A={x|p(x)},B={x|q(x)}: 若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件. [失误与防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言. A组 专项基础训练 (时间: 30分钟) 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B 解析 依题意,得原命题的逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.(2015·天津)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由|x-2|<1得1<x<3,所以1<x<2⇒1<x<3;但1<x<3 1<x<2,故选A. 3.给出命题: 若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是( ) A.3B.2C.1D.0 答案 C 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”, 显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.已知A,B是非空集合,条件甲: A∪B=B,条件乙: AB,那么( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若AB,则A∪B=B,反之A∪B=B,则A⊆B,故甲是乙的必要不充分条件.故选B. 5.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为菱形的对角线互相垂直,所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件;又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形,所以“AC⊥BD” “四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件. 综上,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. 6.(2015·福建)“对任意x∈ ,ksinxcosx<x”是“k<1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 ∀x∈ ,ksinxcosx<x⇔∀x∈ ,k< ,令f(x)=2x-sin2x.∴f′(x)=2-2cos2x>0,∴f(x)在 为增函数,∴f(x)>f(0)=0. ∴2x>sin2x,∴ >1,∴k≤1,故选B. 7.“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 “a≠5且b≠-5”推不出“a+b≠0”,例如a=2,b=-2时,a+b=0;“a+b≠0”推不出“a≠5且b≠-5”,例如a=5,b=-6.故“a≠5且b≠-5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件.故选D. 8.函数f(x)= 有且只有一个零点的充分不必要条件是( )
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