数学物理方法第二次作业答案.docx
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数学物理方法第二次作业答案
第七章数学物理定解问题
1.研究均匀杆的纵振动。
已知x
0端是自由的,则该端的边界条件为
__
。
2.研究细杆的热传导,若细杆的
x
0端保持绝热,则该端的边界条件为
。
3.弹性杆原长为l,一端固定,另一端被拉离平衡位置
b而静止,放手任其振动,将其平衡
位置选在x轴上,则其边界条件为
ux00,uxl0
。
4.一根长为l的均匀弦,两端x
0和xl固定,弦中张力为T0。
在x
h点,以横向力F0拉
弦,达到稳定后放手任其振动,该定解问题的边界条件为
___f(0)=0,f(l)=0;
_____。
5、下列方程是波动方程的是
D
。
A
utt
a2uxxf;
B
ut
a2uxx
f;
C
ut
a2uxx;
D
utt
a2ux。
6、泛定方程utta2uxx0要构成定解问题,则应有的初始条件个数为
B
。
A
1个;
B
2个;
C
3个;
D
4个。
7.“一根长为l两端固定的弦,用手把它的中
u
h
u
点朝横向拨开距离h,(如图〈1〉所示)然后放0
x
l/2
手任其振动。
”该物理问题的初始条件为(D
)。
图〈1〉
2hx,x
[0,l]
ut
h
A.
ut
l
2
l
B.
0
o
ut
0
2h
(l
x),x
l]
t0
l
[
2
2h
l
x,x[0,
]
ut
l
2
C.ut
0
h
D.
0
2h
l
(lx),x[
l]
l
2
utt
0
0
8.“线密度为
,长为l的均匀弦,两端固定,开始时静止,后由于在点x0(0x0
l)受谐变
力F0sint的作用而振动。
”则该定解问题为(
B
)。
utt
a2uxx
F0sin
t
(x
x0),(0x
l)
A.
ux0
0,ux
l
0,
ut
0
0
1
utt
a2uxx
F0sint
(xx0),(0xl)
B.ux0
0,ux
l
0
ut0
0,utt
0
0
utt
a2uxx
F0sin
t
(x
x0),(0
xl)
C.
ut0
0,utt
0
0
utt
a2uxx
0,(0
x
l)
D.ux
0,ux
F0sin
t(x
x0)
0
l
ut
0
0,utt
0
0
9.线密度为
长为l的均匀弦,两端固定,用细棒敲击弦的
x0处,敲击力的冲量为
I,然后
弦作横振动。
该定解问题为:
(
B
)。
utt
a2uxx
I
A.ux
0
0,ux
l
0
ut
0
0,utt
0
0
u
a
2u
xx
0,(0xl)
tt
C.ux
0
0,ux
l0
ut
0,utt
I
0
0
utt
a
2
uxx
I
(x
x0)
B.ux
0
0,ux
l
0
ut
0
0,utt
0
0
utt
a2uxx
0,(0
x
l)
D.ux
0
0,ux
l0
ut
0,utt
I
(x
x0)
0
0
10.下面不是定解问题适定性条件的(D)。
A.有解B.解是唯一的
C.解是稳定的D.解是连续的
11、名词解释:
定解问题;边界条件
答:
定解问题由数学物理方程和定解条件组成,定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。
研究具体的物理系统,还必须考虑研究对象所处的特定“环境”,而周围花牛的影响常体现为边界上的物
理状况,即边界条件,常见的线性边界条件,数学上分为三类:
第一类边界条件,直接规定了所研究的物
理量在边界上的数值;第二类边界条件,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值;第
三类边界条件,规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。
用表示边界即
(1)第一类边界条件:
直接规定了所研究的物理量在边界上的数值,
2
,代表边界
(2)第二类边界条件:
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值,
(3)第三类边界条件:
规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值,
第八章分离变数(傅里叶级数)法
ut
a2uxx0,(0
x
l)
1.用分离变数法求定解问题uxx
00,uxxl
0
的解,其中
(x)为x的已知函数。
ut0
(x)
解:
令(x)bx
设
utt
a2uxx0,(0xl)
.用分离变数法求定解问题
uxx
00,uxxl
0
的解,其中b为常数。
2
ut0
bx,utt0
0
3
解:
以分离变数形式的试探解
u(x,t)
X(x)T(t)
代入泛定方程和边界条件,得
XT
a2XT
0
X
T
,
X
a2T
X
X0;T
a2T0;
X(0)0
X(l)0
X
X
0
X(0)
0,
X(l)
0
本征值:
n2
2
1,2,3,
);本征函数:
Xn(x)
n
x
n
l2
(n
c2sin
l
n2
2
代入T
2
T0,得Tn(t)
n2
2a2
将n
2
a
l2
Tn(t)0
l
其通解为Tn(t)
Acosn
at
Bsinnat
l
l
n
a
na
n
本征解为:
un(x,t)
Xn(x)Tn(t)
(An
Bnsin
(n1,2,3,)
cos
t
t)sin
x
l
l
l
一般解为:
u(x,t)
(Ancosn
at
Bnsinn
at)sinn
x
n1
l
l
l
utt0
0,
Bn
0
Ansinn
xbx
An
2b
n1
l
l
l
0
xsinnxdx2bl(1n)1
ln
u(x,t)
2bl(
1)n1cosn
atsinn
x
n
1
n
l
l
ut
a2uxx
sin
t,(0
x
l)
3.求定解问题
uxx
0
0,uxxl
0
的解
ut
0
0
解:
令u(x,t)
Tn(t)cosn
x
n0
l
(Tn
n2
2a2
Tn)cosn
x
sint
n0
l
2
l
T0
sint
T0
1cos
t
A0
4
Tn
n22a2
Tn
0Tn
l
2
ut
0
0,
Tn(0)
1
A0,Cn0
1
u(x,t)(1cost)
uta2uxx0,(0
4.求定解问题ux0
u0,uxl
ut0
0
n22a2
t
Cne
l2
0
xl)
u0的解,其中u0为常数。
解:
设uw(x,t)v(x,t)
vx
0
0,vx
x
l
u0
v
A(t)x
B(t)
B(t)
0,A(t)
u0
v
u0x
wt
a2wxx
0
wx0
0,wxx
l
0
wt0
u0x,
(n
1)
x
令w(x,t)
Tn(t)sin
2
l
n
0
(n
1
)2
2a2
Tn
2
Tn
0
l2
(n
1
)22a2
2
l2
t
Tn(t)
Cne
(n1)2
2a2
(n
1
)
x
2
l2
t
2
w(x,t)
Cne
sin
l
n
0
(n
1
)
Cnsin
2
x
u0x
l
n0
5
2u0l
Cn
l0
(n
1
)
2u
0l
2
n1
xsin
xdx
(1)
l
1
)
2
2
(n
2
所求的定解问题的解为
(n1)2
2a2
1
2u0l
n1
2
t
(n)x
u(x,t)u0x
(
e
l2
sin
2
1)
n0(n1)2
2
l
2
utt
a2uxx
0,(0
x
l)
5.求定解问题ux0
u0,uxl
u0
的解,其中u0、I、
均为常数。
ut0
u0,ut
I
x0l)
t0
(xx0),(0
答
设
所求的定解问题的解为:
6
第十章球函数
1.当R
r时,函数
1
以Pl(cos)为基本函数族的广义傅里叶级数展开为
R2
2rRcos
r2
R
l
1
1Pl(cos)
r
l
l0
2.已知P0(x)
1、P1(x)
x、P2
(x)
1(3x2
1),则f(x)x2
以Pl(x)为基本函数族的广义
2
傅里叶级数为(
D
).
A.3P2(x)
B.1P1(x)
2P2(x)
2
3
3
C.1
P0(x)
2
P2(x)
D.以上都不对
3
3
3.在球r
r0的内部求解u
0,使满足边界条件urr0
2
1,
cos。
已知P0(cos)
P1(cos)
cos
,P2(cos
)
1(3cos2
1)
2
解
定解问题为:
这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题
当
有限
所求的定解问题的解为
7
4.半径为r
的球形区域外部没有电荷,球面上的电势为
u0
cos
sin2
,u
为常数,求球形区
0
0
域外部的电势分布。
已知P(cos)
1,P(cos)cos
,
1
2
,
P2
(cos)
(3cos
1)
0
1
1(5cos3
2
P3(cos
)
3cos
)。
2
解:
u
0,(r
r0)
ur
cos
2
r
0
u
(Alr
l
Bl
)
l
0
r
l
1)Pl(cos
ur
有限
Al
0
u
Bl
Pl
(cos
)
l
0r
l
1
Bl
Pl(cos
)
2
1
2
(cos)
r0
l1
cos
P0
P2
l0
3
3
0
r0
B2
2r0
3
Bl
0(l0,2)
B
3
3
3
u
r0
P0(cos
)
2r03
P2(cos
)
3r
3r
5.在本来是匀强的静电场E0中放置导体球,球的半径为r0,求球外静电场的电势。
(已知
P0(cos)1,P1(cos)cos)。
解:
如图所示,建立坐标系,则定解问题为:
当
8
6.在点电荷40q的电场中放置一个接地导体球,球的半径为a,球心与点电荷相距r1(r1a)。
求球外静电场的电势。
解:
选择球心为球坐标系的极点,极轴通过点电荷,则极轴是对称轴,问题与无关;
又设导体球接地,所以导体球内电势为0,即,;
在球外,(除点电荷处)任意点的电势是点电荷产生的电势和导体球
感应电荷产生的电势的叠加。
因静电感应电荷只在球面上,故由它在球外所产生的电势满足拉普拉斯方程。
于是定解问题为,
(1)
因为,,
所以
,
(2)
在轴对称情况下,方程(
1)的一般解为,
9
考虑到
(2)的无限远边界条件,应舍弃项,
(3)
以(3)代入
(2)的球面边界条件,
引用母函数
比较两边的广义傅里叶系数,得
(4)
在解(4)中,第二项,相当
于像电荷产生的电势,这像电荷处在球内极轴上,带电量为。
10
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