1、数学物理方法第二次作业答案第七章 数学物理定解问题1研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为_。2研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。4一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为 T0 。在 xh 点，以横向力 F0 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为_ f(0)=0,f(l)=0;_。5、下列方程是波动方程的是D。Autta2uxx f ；Buta2u
2、xxf ；Cuta2uxx ；Dutta2ux 。6、泛定方程 utt a2 uxx 0 要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。A1 个；B2 个；C3 个；D4 个。7 “一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中uhu点朝横向拨开距离 h ，（如图 1所示）然后放 0xl / 2手任其振动。 ”该物理问题的初始条件为 ( D)。图 12h x, x0, l u thA u tl2lB0ou t02h(lx), x, l t 0l22hlx, x 0,u tl2C u t0hD02hl(l x), x ,l l2ut t008“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点
3、 x0 (0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。 ”则该定解问题为 (B)。utta2 u xxF0 sint(xx0 ) ,(0xl )A u x 00,u xl0 ,u t001utta2 u xxF0 sin t( xx0 ) ,(0 x l )B u x 00, u xl0u t 00, ut t00u tta 2 u xxF0 sint(xx0 ) , (0x l )Cu t 00, ut t00utta2u xx0,(0xl )D u x0,u xF0 sint ( xx0 )0lu t00,ut t009线密度为长为 l 的均匀弦，两端固定，用细棒敲击弦的x0
4、 处，敲击力的冲量为I，然后弦作横振动。该定解问题为： （B）。u tta 2 u xxIA u x00, u xl0u t00, ut t00ua2uxx0, (0 x l )ttC u x00, u xl0u t0, ut tI00utta2u xxI(xx0 )B u x00, u xl0u t00, ut t00utta 2u xx0,(0xl )D u x00, u xl0u t0,u t tI( xx0 )0010下面不是定解问题适定性条件的 ( D ) 。A有解 B解是唯一的C解是稳定的 D解是连续的11、名词解释：定解问题；边界条件答：定解问题由数学物理方程和定解条件组成，定解
5、条件包括初值条件、边界条件和连接条件。研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处的特定“环境” ，而周围花牛的影响常体现为边界上的物理状况，即边界条件，常见的线性边界条件，数学上分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值；第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值；第三类边界条件，规定了所研究的物理量以及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。用 表示边界即（ 1）第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值，2， 代表边界（ 2）第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值，（ 3）第三类边界条件：规定
6、了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值，第八章 分离变数（傅里叶级数）法uta2uxx 0,(0xl )1用分离变数法求定解问题 ux x00, ux x l0的解，其中( x) 为 x 的已知函数。u t 0( x)解：令 ( x) bx设utta2uxx 0,(0 x l )用分离变数法求定解问题ux x00,ux x l0的解，其中 b 为常数。2u t 0bx, ut t 003解：以分离变数形式的试探解u( x, t )X ( x)T (t)代入泛定方程和边界条件，得XTa2 X T0XT，Xa 2TXX 0；Ta 2T 0 ；X(0) 0X (l ) 0XX0X (
7、0)0,X (l )0本征值：n 221,2,3,) ；本征函数：X n (x)nxnl 2(nc2 sinln22代入 T2T 0 ，得 Tn (t )n22 a 2将 n2al 2Tn (t ) 0l其通解为 Tn (t )Acos na tB sin n a tllnan an本征解为： un (x,t )X n ( x)Tn (t )( AnBn sin( n 1,2,3, )costt) sinxlll一般解为： u( x, t)( An cos na tBn sin na t) sin nxn 1lllut t 00,Bn0An sin nx bxAn2bn 1lll0x s i
8、nn x d x 2bl ( 1n) 1l nu( x, t )2bl (1)n 1 cos na t sin nxn1nlluta2uxxsint,(0xl )3求定解问题ux x00, ux x l0的解u t00解：令 u(x, t )Tn (t) cos nxn 0l(Tnn22 a 2Tn ) cos nxsin tn 0l2lT0sin tT01 costA04Tnn2 2 a2Tn0 Tnl2u t00 ，Tn ( 0 )1A0 ,C n 01u(x, t) (1 cos t)ut a2 uxx 0, (04求定解问题 u x 0u0 ,u x lu t 00n2 2a 2tCn
9、 el 20x l )u0 的解，其中 u 0 为常数。解：设 u w( x, t ) v( x, t)v x00,vxxlu0vA(t ) xB(t )B(t)0, A(t )u0vu0 xwta 2 wxx0w x 00, wx xl0w t 0u0 x,(n1 )x令 w( x, t)Tn (t )sin2ln0(n1)22 a2Tn2Tn0l 2(n1)2 2a 22l 2tTn (t)Cn e( n 1 )22a 2( n1)x2l2t2w( x, t)Cn esinln0( n1)Cn sin2xu0 xln 052u0 lCnl 0(n1)2u0 l2n 1x sinxdx( 1
10、)l1)22(n2所求的定解问题的解为( n 1 )22a212u0 ln 12t( n ) xu(x,t ) u0 x(el 2sin21)n 0 (n1) 22l2utta2 uxx0,(0xl )5求定解问题 u x 0u0 ,u x lu0的解，其中 u0 、 I 、均为常数。u t 0u0 ,utIx0 l )t 0( x x0 ),(0答设所求的定解问题的解为：6第十章 球函数1当 Rr 时，函数1以 Pl (cos ) 为基本函数族的广义傅里叶级数展开为R 22rR cosr 2Rl11 Pl ( c o s)rll 02已知 P0 (x)1、 P1 ( x)x 、 P2(x)1
11、 (3x 21) ，则 f ( x) x 2以 Pl ( x) 为基本函数族的广义2傅里叶级数为 (D).A 3 P2 (x)B 1 P1 (x)2 P2 (x)233C 1P0 (x)2P2 ( x)D以上都不对333 在 球 rr0 的内 部求 解 u0 ，使 满足 边界 条件 u r r021 ，c o s 。 已知 P0 ( c o s)P1 (cos )cos， P2 (cos)1 (3cos21)2解定解问题为：这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题当有限所求的定解问题的解为74半径为 r的球形区域外部没有电荷，球面上的电势为u0cossin 2， u为常数，求球形区00域 外
12、部 的 电势 分 布 。 已 知 P (cos )1 ， P (cos ) cos，12，P2(cos )(3cos1)011 (5cos 32P3 (cos)3cos) 。2解：u0,( rr0 )u rcos2r0u( Al rlBl)l0rl1 )Pl (cosu r有限Al0uBlPl(cos)l0 rl1BlPl (cos)212(cos )r0l 1cosP0P2l 0330r0B22r03, Bl0(l 0,2)B333ur0P0 (cos)2r03P2 (cos)3r3r5在本来是匀强的静电场 E0 中放置导体球，球的半径为 r0 ，求球外静电场的电势。 （已知P0 (cos
13、) 1， P1 (cos ) cos ）。解：如图所示，建立坐标系，则定解问题为：当86在点电荷 4 0 q 的电场中放置一个接地导体球， 球的半径为 a ，球心与点电荷相距 r1 (r1 a) 。求球外静电场的电势。解：选择球心为球坐标系的极点，极轴通过点电荷，则极轴是对称轴，问题与 无关；又设导体球接地，所以导体球内电势为 0，即 ， ；在球外，（除点电荷处） 任意点 的电势是点电荷 产生的电势 和导体球感应电荷产生的电势 的叠加。因静电感应电荷只在球面上， 故由它在球外所产生的电势 满足拉普拉斯方程。 于是定解问题为，（ 1）因为 ， ，所以，（ 2）在轴对称情况下，方程（1）的一般解为，9考虑到（ 2）的无限远边界条件，应舍弃 项，（ 3）以（ 3）代入（ 2）的球面边界条件，引用母函数比较两边的广义傅里叶系数，得（ 4）在解（ 4）中，第二项 ，相当于像电荷产生的电势，这像电荷处在球内极轴 上，带电量为 。10
