空间向量与垂直关系练习题.docx
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空间向量与垂直关系练习题.docx
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空间向量与垂直关系练习题
课时作业(十九)
[学业水平层次]
一、选择题
1.已知平面a的法向量为a=(1,2,—2),平面B的法向量为b
=(—2,—4,k),若a丄伏则k=()
A.4B.—4C.5D.—5
【解析】taXa丄b,「.ab=—2—8—2k=0.
k=—5.
【答案】D
2.在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是()
A.PAXABB.PAXCD
C.PC丄BDD.PC丄AB
【解析】由题意知PA丄平面ABCD,所以PA与平面上的线AB、CD都垂直,A、B正确;又因为菱形的对角线互相垂直,可推得对角线BD丄平面PAC,故PCXBD,C选项正确.
【答案】D
3.已知AB=(1,5,—2),BC=(3,1,z),若ABXBC,BP=(x—1,
4.
y—3),且BPX平面ABC,则实数x,y,z分别为()
40
x=~7,解得d匚
15
y=—〒•
又BP丄平面ABC,「.BP丄AB,BP丄BC,
(x—1)+5y+6=0,则3x—1+y—12=0,
【答案】B
5.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件:
DB丄
AC,DC丄AB,AD=BC,则点D的坐标为(
A.(1,1,1)
亠j11“
B.
(—1,—1,—D或3,3!
【解析】设D(x,y,z),则BD=(x,y—1,z),CD=(x,y,z
—1),AD=(x—1,y,z),AC=(—1,0,1),AB=(—1,1,0),BC=(0,
—1,1).又DB丄AC?
—x+z=0①,DC丄AB?
—x+y=0②,AD=BC?
(x—1)2+y2+T=2③,联立①②③得x=y=z=1或x=y=z
1一『111)
=—3,所以点D的坐标为(1,1,1)或「3,—3,—3}故选D.
【答案】D
二、填空题
6.已知直线I与平面a垂直,直线I的一个方向向量u=(1,—3,Z),向量v=(3,—2,1)与平面a平行,则z=.
【解析】由题意知u丄v,「.uv=3+6+z=0,二z=—9.
【答案】—9
7.已知a=(x,2,—4),b=(-1,y,3),c=(1,—2,z),且a,b,
c两两垂直,则(x,y,z)=.
—x+2y—12=0,
【解析】由题意,知x—4—4z=0,
—1—2y+3z=0.
解得x=—64,y=—26,z=—17.
【答案】(—64,—26,—17)
8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB=
——
(2,—1,—4),AD=(4,2,0),AP=(—1,2,—1).对于结论:
①AP丄AB;②APIAD:
③諒是平面ABCD的法向量;④aP//—D.其中正确的是.
【解析】vaBaP=0,ADAP=0,
•••AB丄AP,AD丄AP,贝卩①②正确.
————
又AB与AD不平行,
•aP是平面ABCD的法向量,则③正确.
————
由于BD=AD—AB=(2,3,4),AP=(—1,2,—1),
•BD与AP不平行,故④错误.
【答案】①②③
三、解答题
9.如图3-2-16,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.
10.
图3-2-16
求证:
AM丄平面BDF.
【证明】以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(农/,0),B(0,^2,o),d(V2,o,o),f(V2,V2,1),m$,乎,1
0).
设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,
贝Sn丄BD,n丄DF,
x=y,
、Z=—V2y,
丨nBD=辰-佝=0,所以一一
nDF=2y+z=0取y=1,得x=1,z=—.2.则n=(1,1,—2).
f(yJ2V2
因为AM=—专,一学,1•
122丿
所以n—2AM,得n与AM共线.
所以AM丄平面BDF.
11.如图3-2-17,底面ABCD是正方形,AS丄平面ABCD,且AS
=AB,E是SC的中点.求证:
平面BDE丄平面ABCD.
图3-2-17
【证明】法一一设AB=BC=CD=DA=AS=1,建立如图所示
的空间直角坐标系Axyz,则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),S(0,0,1),
连接AC,设AC与BD相交于点0,连接OE,则点O的坐标为
因为AS=(0,0,1),OE=0,0,2J,
f1—
所以OE=2AS所以OE//AS.
又因为AS丄平面ABCD,
所以OE丄平面ABCD.
又因为OE?
平面BDE,
所以平面BDE丄平面ABCD.
法二设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z),
ff1111
因为BD=(-1,1,0),BE=i—2,2,21
所以n1丄BD,
ni丄BE,
IniBD=—x+y=0,即-
f111
niBE=—2x+qy+2z=0,
令x=1,可得平面BDE的一个法向量为ni=(1,1,0).
因为AS丄平面ABCD,
所以平面ABCD的一个法向量为n尸AS=(0,0,1).因为n1n2=0,
所以平面BDE丄平面ABCD.
[能力提升层次]
1.
如图3-2-18,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列
图3-2-18
向量中,能作为平面AEF的法向量的是()
A.(1,—2,4)
B.(—4,1,—2)
C.(2,—2,1)
D.(1,2,—2)
【解析】设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),正方体
ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,
…(1^(1
则A(1,0,0),EJ,1,2J,F-,0,1丿
T1T1
故AE=0,1,2,af=—2,o,1.
iAEn=0,所以即
ITAFn=0,
[1
所以—2z,
tx=2z.
y+|z=0,
1—2x+z=0,
当z=—2时,n=(—4,1,—2),故选B.
【答案】B
2.(2014遵义高二检测)如图3-2-19,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1丄底面A1B1C1,/BAC=90°°AB=AC=AA=1,D是棱CG的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是()
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ丄平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ丄平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ丄平面A1BD
D.不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】以A1为原点,A1B1,A1C1,AA所在直线分别为x轴,
y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得几(0,0,0),B1(1,0,0),
/仁TT
G(0,1,0),B(1,0,1),DO,1,2丿,P(0,2,0),A1B=(1,0,1),A1D=
nA[B=x+z=0,
向量为n=(x,y,z),贝S_1取z=—2,则x=2,
nA1D=y+qz=0,
y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,—2).假设DQ丄平
TTTTT
面A1BD,且B1Q=«1P=X—1,2,0)=(—入2入0),则DQ=DB1+B1Q
/「T
=J—X—1+2入—2J,因为DQ也是平面A1BD的法向量,所以n
—广111x
=(2,1,—2)与DQ=J—入—1+2X—2共线,于是有一2—=
—1
—1+2X21
―1—=—2=4成立,但此方程关于入无解.故不存在DQ与平面
A1BD垂直,故选D.
【答案】D
3.如图3-2-20,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正
方形,PD丄底面ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD中点,则直线EF与平面PBC的位置关系.
图3-2-20
【解析】以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,
111)1!
—z轴建立空间直角坐标系,贝yE-,2,2/,F&,0,0!
,二EF=
f11)T1
0,-2,—2J,平面PBC的一个法向量n=(0,1,1),TEF=-刃,
•••EF//n,
•••EF丄平面PBC.
【答案】垂直
4.(2014广州高二检测)如图3-2-21,在四棱锥P-ABCD中,底
面ABCD为直角梯形,且AD//BC,/ABC=ZPAD=90°侧面PAD
1
丄底面ABCD.若PA=AB=BC=^AD.
图3-2-21
(1)求证:
CD丄平面FAC;
(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE/平面PCD?
若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.
【解】因为/PAD=90°所以PA丄AD.又因为侧面PAD丄底面
ABCD,且侧面PAD门底面ABCD=AD,所以PA丄底面ABCD.又因为/BAD=90°所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=2,贝SA(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(-1,1,0),
可得APCD=0,ACCD=0,所以APICD,AC丄CD.又因为APAAC=A,所以CD丄平面FAC.
■z们ff1)
⑵设侧棱FA的中点是E,则E0,0,2J,BEj—1,°,刃
nCD=0,f
设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),贝Sf因为CD
nPD=0,
f一x+y=0,
=(—1,1,0),PD=(0,2,—1),所以取x=1,则y=1,
I2y—z=0,
z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).
—f,z,1—f
所以nBE=(1,1,2)厂1,0,2=0,所以n丄BE.
因为BE?
平面PCD,所以BE//平面PCD.
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