二次函数与相似三角形习题含答案.docx
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二次函数与相似三角形习题含答案.docx
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二次函数与相似三角形习题含答案
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1.
若a0,则函数y
2x2
ax5图象的顶点在第
象限;当x
a时,函数
值随x的增大而
.
4
2.
二次函数y
3(x
)2
(
)的图象的顶点坐标是(
1,-2).
3.
已知y
1(x
1)2
2,当x
时,函数值随
x的增大而减小.
3
4.
已知直线y
2x
1与抛物线y
5x2
k交点的横坐标为
2,则k=
,交点
坐标为
.
5.
用配方法将二次函数
yx22x化成y
a(xh)2
k的形式是
.
3
6.
如果二次函数
y
x2
6x
m的最小值是
1,那么m的值是
.
7.
关于抛物线y
ax2
bx
c(a≠0),下面几点结论中,正确的有(
)
①当a0时,对称轴左边
y随x的增大而减小,对称轴右边
y随x的增大而增大,当
a0时,情况相反.
②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同
.
④一元二次方程
ax2
bx
c
0(a≠0)的根,就是抛物线
y
ax2
bx
c与
x
轴
交点的横坐标.
A.①②③④
B.
①②③C.
①②
D.①
8.如果一次函数
yax
b的图象如图代
13-3-12
中A所示,那么二次函yax2
bx-3的大致图象是(
)
图代
13-2-12
9.函数
y
ax2与
y
a
(a0)在同一直角坐标系中的大致图象是(
)
x
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10.如图代13-3-14,抛物线yx2bxc与y轴交于A点,与x轴正半轴交于B,
C两点,且BC=3,S△ABC=6,则b的值是()
A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4
图代13-3-14
11.已知二次函数yx22ax2b1和yx2(a3)xb21的图象都经过x
轴上两上不同的点M,N,求a,b的值.
12若两个相似三角形的周长之比为2:
3,较小三角形的面积为8cm2,则较大三角形面积
是______________cm2
13.如图(
2),
在
梯形
ABCD中,AB//DC,AC
、BD
相交于点
O,如果
三角形
2
三角形
9
2,则三角形
:
三角形
COB=___________
S
AOB16cm,S
COD
cm
S
DOC
S
D
C
O
A
(2)B
14.如图(4),AB为☉O直径,弦CDAB于点E,CD=6,AB=10,则BC:
AD=___________
C
AOB
D
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15.如图(8),BDAC,CEAB,BD、CE交于点O,那么图形中相似的三角形共有()
(A)2对(B)4对(C)5对(D)6对
A
ED
O
B(8)C
16.如图(11)
梯形ABCD中,AD//BC,
90
对角线AC
BD于P点,AD:
BC=3:
4,
∠ABC=
则BD:
AC值为(
)
A
D
(A)
3
(B)2
(C)
3
(D)3
2
3
3
4
P
B(11)C
17..如图△ABC中∠C=90,D.,E分别为AC,AB上的一点,且BD?
BC=BE?
BA
求证:
DEAB(6分)
C
D
AEB
90
,D
在BC上,AB
BE,EF
BC与F,且∠EAB=∠DAC
7.如图Rt△ABC中∠C=
求证:
(1)△ABC~△BEF
(2)CD=BF
(8分)
A
E
FBDC
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1
2
四,增大;
2.-1
,-2
;3.x
-1;4.-17
,(2,3);
1
5.yx
;
3
9
6.107.A
8.C
9.D
10.B
11.解法一:
依题意,设M(x1,0),N(x2,0),且x1≠x2,则x1,x2为方程x2+2ax-2b+1=0
的两个实数根,
∴
x1
x2
2a,x1·x22b1.
∵x1,x2又是方程
x2
(a3)x
b2
1
0的两个实数根,
∴
x
1+x2=a-3,x1·x2=1-b2.
∴
2a
a
3,
2b
1
1
b2.
解得
a
1,
或
a
1,
b
0;
b
2.
当a=1,b=0
时,二次函数的图象与
x轴只有一个交点,
∴a=1,b=0舍去.
当a=1;b=2时,二次函数y
x2
2x3和yx2
2x
3符合题意.
∴
a=1
,b=2.
解法二:
∵二次函数
y
x2
2ax
2b1的图象对称轴为
x
a,
二次函数y
x2
(a
3)x
b2
1的图象的对称轴为
x
a
3
,
2
又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M,N,
∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.
∴
a
a
3
.
2
解得
a
1
.
∴两个二次函数分别为yx2
2x
2b
1和y
x2
2xb2
1.
依题意,令y=0,得
x2
2x
2b
1
0,
x2
2x
b2
1
0.
①+②得
b2
2b
0.
解得
b10,b2
2.
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∴
a
1,
a
1,
b
0;
或
2.
b
当a=1,b=0时,二次函数的图象与
x轴只有一个交点,
∴a=1,b=0舍去.
当a=1,b=2时,二次函数为y
x2
2x
3和y
x2
2x3符合题意.
∴
a=1
,b=2.
1.182.3:
43.1:
34.D5.A
6.提示△DBE~△ABC
7.提示
(1)证∠FEB=∠ABC
(2)
∵△ABC~△BEF∴AC
AB
BF
BE
再证△ABE~△ACD∴AB
AC
BE
CD[
∴AC
AC
∴CD=BF
BF
CD
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相似三角形与抛物线
如图1,已知抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点
O,与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式;(用顶点式求得抛物线的解析式为
y
1x2
x)
...
4
⑵若点C在抛物线的对称轴上,点
D在抛物线上,且以
O、C、D、B四点为顶点的四边形
为平行四边形,求D点的坐标;
⑶连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点
P,使得△OBP与△OAB相
似?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
y
y
A
A
O
B
O
B
x
x
图1例1题图图2
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2:
如图,已知抛物线y=ax2+4ax+t(a>0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为(-1,0).
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP是什么四
边形?
并证明你的结论;
(3)连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式.
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2
5
3
及原点
O(0,0)
.
3、已知抛物线
yax
bxc
经过
P(
,,
,
33)E
2
0
(1)求抛物线的解析式.(由一般式得抛物线的解析式为
2
2
5
3
y
x
x)
...
3
3
(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC
下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于
B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC.是否存在点Q,使得△OPC与
△PQB相似?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)如果符合
(2)中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形
y
△OPC,△PQB,△OQP,△OQA之间存在怎样的关系?
为什么?
CPB
Q
OE
Ax
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4、如图,四边形
OABC
是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点
A在x
轴上,点
C
在y轴上,将边
BC
折叠,使点
B落在边
OA
的点
D处。
已知折叠
CE
55,且
3
tanEDA。
4
(1)判断△OCD与△ADE是否相似?
请说明理由;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线
CE与y轴所围成的三角形相似?
如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果
不存在,请说明理由。
y
CB
E
O
DA
x
练习
2图
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5、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y
ax2
bxc(a
0)的图象与x轴交于
A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,其顶点的横坐标为
1,且过点(2,3)和
(3,12).
(1
)求此二次函数的表达式;(由一般式得抛物线的解析式为
y
x
2
2x3)
...
(2
)若直线l:
ykx(k0)与线段BC交于点
D(不与点B,C重合),则是否存在这样
的直线l,使得以B,O,D为顶点的三角形与
△BAC相似?
若存在,求出该直线的函数
表达式及点D的坐标;若不存在,请说明理由;
A(1,0),B(3,0),C(0,3)
(3)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO与ACO的大小(不必证明),并写出此时点P的横坐标xp的取值范围.
x
l
C
ABy
O
x1
练习3图
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练习6、如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积;
(3)△AOB与△DBE是否相似?
如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
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7如图,抛物线经过A(4,0),B(10),,C(0,2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过
P作
PM
x轴,垂足为
M,是否存在
P点,使得以
A,P,
M为顶点的三角形与
△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点
P的坐标;若不存在,
请说明理由;
(3)在直线
AC
上方的抛物线上有一点
D,使得
△DCA的面积最大,求出点
D的坐标.
8、如图,一次函数y=-2x的图象与二次函数
y=-x2+3x图象的对称轴交于点B.
(1)写出点B的坐标
;
(2)已知点P是二次函数y=-x2
+3x
图象在
y
轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x
..
沿y轴向上平移,分别交
x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相
似,则点P的坐标为
.
D
C
O
B
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