第五讲多种函数交叉综合问题.docx
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第五讲多种函数交叉综合问题
中考数学重难点专题讲座
第五讲多种函数交叉综合问题
【例1】2020,西城,一模
将直线
沿
轴向下平移后,取得的直线与
轴交于点
,与双曲线
交于点
.
⑴求直线
的解析式;
⑵假设点
的纵标为
,求
的值(用含有
的式子表示).
【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目超级常见,一模中有多套题都是如此考法。
题目一样不难,设元以后计算就能够够了。
此题先设平移后的直线,然后联当即可。
比较简单,看看就行.
【解析】
将直线
沿
轴向下平移后通过x轴上点A(
),设直线AB的解析式为
.
则
解得
∴直线AB的解析式为
.
(2)设点
的坐标为
,∵直线
通过点
,
∴
∴
∴
点的坐标为
∵点
在双曲线
上
∴
∴
【例2】2020,丰台,一模
如图,一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于A、B两点.
(1)求出这两个函数的解析式;
(2)结合函数的图象回答:
当自变量x的取值范围知足什么条件时,
【思路分析】第一问直接看图写出A,B点的坐标(-6,-2)(4,3),直接代入反比例函数中求m,成立二元一次方程组求k,b。
继而求出解析式。
第二问通过图像能够直接得出结论。
此题尽管简单,可是事实上却有很多转变。
比如不给图像,直接给出解析式求
的区间,考生是不是仍然能反映到用图像来看区间。
数形结合是初中数学当中超级重要的一个思想,希望大伙儿要活用这方面的意识去解题。
【解析】
解:
(1)由图象知反比例函数
的图象通过点B(4,3),
∴
. ∴m=12.
∴反比例函数解析式为
.
由图象知一次函数
的图象通过点A(-6,-2),B(4,3),
∴
解得
∴一次函数解析式为
.
(2)当0 . 【例3】2020,密云,一模 已知: 如图,正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 (1)试确信上述正比例函数和反比例函数的表达式; (2)依照图象回答,在第一象限内,当 取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值? (3) 是反比例函数图象上的一动点,其中 ,过点 作直线 轴,交 轴于点 ;过点 作直线 轴交 轴于点 ,交直线 于点 .当四边形 的面积为6时,请判定线段 与 的大小关系,并说明理由. 【思路分析】第一问由于给出了一个定点,因此直接代点即可求出表达式。 第二问那么是利用图像去分析两个函数的大小关系,考生需要对坐标系有直观的熟悉。 第三问略有难度,一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发觉四边形其实确实是整个矩形减去两个三角形的剩余部份,直接求出矩形面积即可.部份同窗会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜. 【解析】 解: (1)将 别离代入 中 , 得 , , ∴ , . ∴反比例函数的表达式为: ; 正比例函数的表达式为 . (2)观看图象得,在第一象限内,当 时, 反比例函数的值大于正比例函数的值. (3) . 理由: ∵ , ∴ ,即 . ∵ , ∴ . ∴ . ∴ . ∴ . ∴ 【例4】2020,石景山,一模 已知: 与 两个函数图象交点为 ,且 , 是关于 的一元二次方程 的两个不等实根,其中 为非负整数. (1)求 的值; (2)求 的值; (3)若是 与函数 和 交于 两点(点 在点 的左侧),线段 ,求 的值. 【思路分析】此题看似有一个一元二次方程,可是本质上仍然是正反比例函数交点的问题。 第一问直接用判别式求出k的范围,加上非负整数这一条件得出k的具体取值。 代入方程即可求出m,n,继而求得解析式。 注意题中已经给定m 第三问联立方程代入以后将A,B表示出来,然后利用 构建方程即可。 【解析】 (1) ∵ 为非负整数,∴ ∵ 为一元二次方程 ∴ (2)把 代入方程得 解得 ∵ ∴ 把 代入 与 可得 (3)把 代入 与 可得 , ,由 ,可得 解得 ,经查验 为方程的根。 ∴ 【例5】2020,海淀,一模 已知: 如图,一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限的交点为 . (1)求 与 的值; (2)设一次函数的图像与 轴交于点 ,连接 ,求 的度数. 【思路分析】若是一道题单纯考正反比例函数是可不能太难的,因此在中考中常常会综合一些其他方面的知识点。 比如此题求角度就牵涉到了勾股定理和特定角的三角函数方面,需要考生思维转换要迅速。 第一问比较简单,不说了。 第二问先求出A,B具体点以后此题就转变成了一道三角形内线段角的计算问题,利用勾股定理发觉OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO即可。 解: (1)∵点 在双曲线 上, ∴ 又∵ 在直线 上, ∴ . (2)过点A作AM⊥x轴于点M. ∵直线 与 轴交于点 , ∴ . 解得 . ∴点 的坐标为 . ∴ . ∵点 的坐标为 , ∴ . 在Rt△ 中, ∴ . ∴ . 由勾股定理,得 . ∴ ∴ . ∴ 【总结】中考中有关一次函数与反比例函数的问题一样都是成对显现的。 无非也就一下这么几个考点: 1、给交点求解析式;2,y的比较,3,夹杂进其他几何问题。 除注意计算方面的问题之外,还需要考生对数形结合,分类讨论的思想把握熟练。 例如y的比较这种问题,纯用代数方式通常需要去解一个一元二次不等式,可是若是用图像去做就会比较简单了。 整体来讲这种问题不难,做好细节就能够够取得全分。 第二部份发散试探 【试探1】2020,北京 如图,A、B两点在函数 的图象上. (1)求 的值及直线AB的解析式; (2)若是一个点的横、纵坐标均为整数,那么咱们称那个点是格点.请直接写出图中阴影部份(不包括边界)所含格点的个数。 【思路分析】由于已经给出了点,第一问没有难度。 第二问在于要分析有哪些格点在双曲线的边界上,哪些格点在其中。 保险起见直接用1-6的整数挨个去试,由于数量较少,因此能够很明显看出。 【试探2】2020,宣武,一模 如图,一次函数 的图象与反比例函数 的图象交 于两点,直线 别离交 轴、 轴于 两点. (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式; (2)求 的值. 【思路分析】第一问一样是用代点和列二元一次方程组去求解析式。 第二问看到比例关系,考生需要第一时刻想到是不是能够用相似三角形去分析。 可是图中并未直接给出可能的三角形,因此需要从A引一条垂线来组成一对相似三角形,从而求解。 【试探3】2020,崇文,一模 已知: 关于x的一元二次方程kx2+(2k-3)x+k-3=0有两个不相等实数根(k<0). (1)用含k的式子表示方程的两实数根; (2)设方程的两实数根别离是 , (其中 ),假设一次函数y=(3k-1)x+b与反比例函数y= 的图像都通过点(x1,kx2),求一次函数与反比例函数的解析式. 【思路分析】此题是一道多种函数交叉的典型例题,一方面要解方程,另一方面还要求函数解析式。 第一问求根,直接求根公式去做。 第二问通过代点能够成立一个比较繁琐的二元一次方程组,认真计算就能够够。 【试探4】2020,东城,一模 如图,反比例函数 的图象过矩形OABC的极点B,OA、0C别离在x轴、y轴的正半轴上,OA: 0C=2: 1. (1)设矩形OABC的对角线交于点E,求出E点的坐标; (2)假设直线 平分矩形OABC面积,求 的值 【思路分析】此题看似麻烦,夹杂了一次函数与反比例函数和图形问题。 可是事实上画出图,通过比例能够很轻易发觉B点的横纵坐标关系,巧妙设点就能够够轻松求解。 第二问更不是难题,平分面积意味着必然过B点,代入即可。 第三部份试探题解析 【试探1解析】 (1)由图象可知,函数 ( )的图象通过点 ,可得 .设直线 的解析式为 . ∵ , 两点在函数 的图象上, ∴ 解得 ∴直线 的解析式为 . (2)图中阴影部份(不包括边界)所含格点的个数是 3 . 【试探2解析】 (1)把 , 代入 ,得: . 反比例函数的解析式为 . 把 , 代入 得 把 , ; , 别离代入 得 解得 , 一次函数的解析式为 (2)过点 作 轴于点 点的纵坐标为1, . 由一次函数的解析式为 得 点的坐标为 , 在 和 中, , , . . 【试探3解析】 解: (1) kx2+(2k-3)x+k-3=0是关于x的一元二次方程. ∴ 由求根公式,得 . ∴ 或 (2) ,∴ . 而 ,∴ , . 由题意,有 解之,得 . ∴一次函数的解析式为 ,反比例函数的解析式为 . 【试探4解析】 (1)由题意,设B ,那么 ∵B在第一象限, B(4,2) ∴矩形OABC对角线的交点E为 (2)∵直线 平分矩形OABC必过点 ∴1=2x2+m m=-3
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- 第五 多种 函数 交叉 综合 问题
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