高一数学上学期知识点归纳.docx
- 文档编号:14310016
- 上传时间:2023-06-22
- 格式:DOCX
- 页数:26
- 大小:69.36KB
高一数学上学期知识点归纳.docx
《高一数学上学期知识点归纳.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高一数学上学期知识点归纳.docx(26页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高一数学上学期知识点归纳
提示】
上学期知识点及解题技巧归纳
一、常见不等式解法
1.含绝对值不等式的解法
不等式
解集
|x|a(a0)
{x|axa}
|x|a(a0)
x|xa或xa}
|axb|c,|axb|c(c0)
把axb看成一个整体,化成|x|a,
|x|a(a0)型不等式来求解
2.一元二次不等式的解法
2
(1)一元二次不等式axbxc0(a0)的解为“大两边、小中间”,即“大于大根或小于小根”,“大于小根小于大根”.
(2)若a<0,是什么情况?
一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数区别与联系?
望自行思考.
3.分式不等式:
1)
fx
0
fx
gx0
;
(2)
fx
0
fxgx0
;
gx
gx
f
x
0
fx
gx0
fx
0
fx
gx0
3)
g
x
gx
0;
(4)
gx
gx
0
4.指数不等式与对数不等式
判别式
b24ac
0
0
0
二次函数
2
yaxbxc(a0)的图象
O
一元二次方程
2
axbxc0(a0)的根
bb24acx1,22a
(其中x1x2)
b
x1x2
2a
无实根
2
axbxc0(a0)的解集
{x|xx1或xx2}
bx}{x|2a
R
2
axbxc0(a0)的解集
{x|x1xx2}
f(x)
0
logaf(x)
logag(x)
g(x)
0
f(x)g(x)
(1)当a1时,aa
f(x)
g(x);
f(x)
g(x)
f(x)
0
logaf(x)
logag(x)
g(x)
0
f(x)g(x)
(2)当0a1时,aa
f(x)
g(x)
;
f(x)
g(
5.经典例题及易混易错题型略.
二、与集合相关的知识
1.集合间的基本关系
名称
记号
意义
性质
示意图
(1)AA
(1)是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
子集
AB
(或
BA)
A中的任一元素都属于B
(2)A
(3)若AB且BC,则AC
(4)若AB且BA,则AB
(2)任何一个集合是它本身的子集,AA.只有一个子集,就是它本身.
(3)集合是子集和真子集具有传递性,若AB且BC,则AC.
(4)已知集合A有n(n1)个元素,则它有2n个子集,它有2n1个真子集,它有2n1个非空子集,它有2n2非空真子集.
2.集合的基本运算
真子集
AB
(或B
A)
A
(1)(A为
非空子集)
AB,且B中至少
有一元素不属于A
(2)若A
C,则
AC
集合
相等
AB
A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A
(1)AB
(2)BA
易错点拔】
(1)AB包含A=B和AB两种情况.AB分A=?
和A≠?
两种情况.
(2)与∈的区别.
(3)?
与{?
}的区别:
前者代表空集,后者代表一个集合,这个集合的元素的空集,属于集中集?
∈{?
}、?
{?
}均正确.
【解题思路点拔】
学好集合间基本关系须熟记四个结论:
名称
记号
意义
性质
韦恩图
(1)
AIA
A
交集
AIB
{x|
x
A,且
(2)
AI
AA
BB
x
B}
(3)
AIB
AAB=BA
AIB
B
(1)
AUA
A
(2)
AU
A
并集
AUB
{x|
x
xB}
A,或
(3)
AUB
A
A
B
AUB
BAB=B
A
(CuA)
(CuB)=Cu(AB)
德摩根公式
补集
CuA
{x|
x
U,且x
A}
(CuA)
(CuB)=Cu(AB)
德摩根公式
A(CuA)=U
A(CuA)=Φ
2
例:
设Ax|x28x
常用公式及结论】
的子集有多少个?
答案:
150,B
11
0,,
35
x|ax10
,若AIB
,求实数a组成的集合
a=
,故其子集共有
23
8个.
(1)容斥原理:
card(AUB)cardAcardBcard(AIB)card(AUBUC)cardAcardBcardCcard(AIB)
Ax|x2例:
已知集合数a的取值范围是
4x
Bx|x22
a1
2
xa
0,若BA,则实
card(AIB)card(BIC)
card(CIA)card(AIBIC)
易错点分析:
读不懂集合,导致求
。
答案:
a1或a1
x2+1=x-1的根。
(2)AIBAAUBBABCUBCUA
AICUB
CUAUBR
A={y|y=x2+1},B={y|y=x-1}
则A∩B=[1,+∞).
三、函数及其表示
例:
A={(x,y)|y=x+1},B={y|y=x2+1},则A∩B=
1.映射与函数的区别与联系
解题思路及注意点:
读懂集合中元素的意义是解决集合问题的关键
例:
AIB
x,y|x2y24,B,求r的取值范围.
2
x,y|x3
2
r
,其中r
0,若
区别:
主要区别体现在对集合的要求上,映射定义中两个集合为“非空集合”,个集合为“非空数集”.即映射可以是非空图集到非空图集的映射,也可是非空图集到非空数集的映射.函数仅为非空数集到非空数集.
函数定义中两
【解题思路点拔】
学好集合问题须做到“五看”:
一看代表元素,分清数集、点集、还是其它集合;
二看约束条件;
三看能否化简,化简后再研究集合,将变得简单;
四看能否数形结合,它是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.
联系:
均为一对一或一对多,不可多对一.函数是数集上的一种映射,即函数是特殊的映射,
映射是函数概念的推广.
提示】
(1)函数图像是特点是什么?
判断两个非空数集能否构成函数,须看是否满足任意性、存在性、唯一性,缺一不可.须会从图形和代数式两种判断方法.
(2)原象、象与函数定义域、值域区别与联系?
函数定义域、值域与集合函数定义域=集合A,函数值域集合B.
A和集合B的关系?
五看端点值能不能取等号;同时还要注意各个端点的画法,即实心的点与空心的圆圈的应用
3.经典例题及易混易错题型忽视空集是任何非空集合的子集,导致思维不全面.
AB,勿忘空集和集合本身.树立分类讨论思想,分Φ和非空集合两种情况进行讨论
(3)从集合Aa1,a2,a3,,an到集合Bb1,b2,b3,,bm的映射有m个.
(4)第一个集合中的元素必须有象.
2.函数的三要素:
定义域、值域和对应法则.讲解如何从图像尤其是分段函数图像判断定义域和值域.
树立函数定义域优先原则,在求解函数单调区间、值域、奇偶性时,均要先求函数定义域
3.两个函数相同的定义及判断方法
只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数).与表示自变量和函数值的字母无关.
相同函数的判断方法:
①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备).实际解题时,定义域、对应法则哪一要素容易判断不相等,先判断谁,只要有一个不相等,即不为同一函数.
4.常见函数概念
(1)分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
(1)分段函数是一
个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是
各段值域的并集.
(2)复合函数
将原函数yf[g(x)]分解为两个基本函数:
内函数ug(x)与外函数,称yf[g(x)]为f、g的复合函数.
(3)反函数
就是把y与x互换一下,用含有y的代数式表示x.为了书写习惯,再调换x、y位置即可.
1y
a.单调函数必有反函数,但并非反函数存在时一定是单调的(如x).因此,所有偶函数不存在反函数.
b.如果一个函数有反函数且为奇函数,那么它的反函数也为奇函数.
c.互为反函数的两个函数增减性相同.
d.函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称
11
e.一般地,f(x3)f(x3)的反函数.f(x3)是先f(x)的反函数,在左移三个单位.f(x3)是先左移三个单位,在f(x)的反函数.
(4)抽象函数
无具体函数解析式的函数均为抽象函数.
5.函数定义域的求法
(1)具体函数定义域求法
一般遵循以下原则:
a.f(x)是整式时,定义域是全体实数.
b.f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
c.f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
d.对数函数的真数大于零,当指数、对数、指数函数或对数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.
e.零(负)指数幂的底数不能为零.
f.若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.
h.对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.
i.由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.
(2)抽象函数或复合函数定义域求法
a.若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出.
b.若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域.
6.函数值域或最值求法:
(1)分析或观察法:
对于比较简单的函数,通过观察直接得到值域或最值.
(2)利用常见函数值域法:
熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及幂函数的值域,是求解复杂函数值域的基础.
(3)配方法:
将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.
(4)判别式法:
若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程
2
a(y)xb(y)xc(y)0,则在a(y)0时,由于x,y为实数,故必须有
2
b(y)4a(y)c(y)0,从而确定函数的值域或最值.
(5)函数单调性法
(6)换元法
(7)利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等)
(8)分离常数法
(9)反函数法:
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.
(10)数形结合法:
利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.x
(11)利用函数有界性(a等).
(12)不等式法:
利用基本不等式确定函数的值域或最值.
与值域求法相关的变型题(已知函数值域,求解参数范围)
已知函数
22
xlgm23m2x22m1x5
(1)如果函数
的定义域为R
求实数m的取值范围。
(2)如果函数
x的值域为
R求实数m的取值范围。
【易错点分析】此题学生易忽视对m23m2是否为零的讨论,而导致思维不全面而漏解。
另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。
解析:
1)据题意知若函数的定义域为
2
3m2x22m1x5
3m
2x2
2m1x5,当m2
3m2=0时,即m1
当
2
m3m
2
0时,
据二次函数知识若对任意x值函数值大
2
0
9
m
解之得
m
1或
4综上所知
m的取值范围为m1
R即对任意的
2
x值m
2
0恒成立,令gxm2
或2。
经验证当m1时适合,m23m于零恒成立,只需0
(2)如果函数f
2xmx的值域为R即对数的真数
3m
2
2x2m1x
5
能取到任意
的正数,令gx
22
m23m2x22m1x
5当
m23m2=0时,
即m1或2。
2
经验证当m2时适合,当m23m20时,据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值
2
m23m209902m2m只需0解之得4综上可知满足题意的m的取值范围是4。
【知识点归类点拔】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母,要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。
同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。
再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念,前者是对任意的自变量x的值函数值恒正,后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。
7.函数解析式求法
函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
1.待定系数法:
若已知函数解析式的构造时,可用待定系数法.
2.换元法或配凑法:
已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意新元的取值范围.当已知表达式较简单时,也可用凑配法.
3.消元/参法或构造方程组法:
若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x).
4.图形法:
已知函数尤其是分段函数图像求解析式
四、函数单调性判断方法
(一)增减函数图像特点:
在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.另外一种夹角说法.
(二)判断方法
1.定义法:
一般要将式子f(x1)f(x2)化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号.
2.多个函数四则运算单调性:
若函数f(x)与g(x)在区间I上有相同的单调性,则在区间I上有以下性质:
f(x)与f(x)+C有相同单调性;
f(x)与af(x)有相同单调性(a>0);f(x)与af(x)有相反单调性(a<0);
f(x)与g(x)都是增函数或减函数,f(x)+或-g(x)是增函数或减函数;
f(x)与g(x)都是增函数或减函数时,若两者都大于0,则f(x)*g(x)也是增函数或减函数;
若两者都小于0,则f(x)*g(x)也是减函数或增函数.
3.复合函数单调性:
(1)首先将原函数yf[g(x)]分解为基本函数:
内函数ug(x)与外函数yf(u)
(2)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
(3)根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4.图像法:
略.
(三)经典例题及易混易错题型
例.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1) 1 2 2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y= (2)a3a1的单调递减区间. 解: 设0 21272122又2a2a12(a)20,3a22a13(a)20. 4833 由f(2a2+a+1) 2a2+a+1>3a2-2a+1.解之,得0 35 又a2-3a+1=(a-2)2-4. 1 ∴函数y= (2) 2 a23a1 3 的单调减区间是[2,+∞ 3 2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 上学 知识点 归纳